Rotationskörper

Definition und Grundidee

Ein Rotationskörper ist ein geometrischer Körper, dessen Oberfläche entsteht, wenn eine erzeugende Kurve um eine Rotationsachse gedreht wird. Die Kurve und die Achse, die auch Figurenachse heißt, liegen in derselben Ebene. Bekannte Rotationskörper sind der Torus, der durch Rotation eines Kreises entsteht, sowie Kegel und Zylinder.

Volumen und Oberfläche lassen sich durch Integralrechnung oder mithilfe der Guldinschen Regeln bestimmen. Schneidet die erzeugende Kurve die Drehachse, muss bei der Volumenberechnung geklärt werden, ob einzelne Teilvolumina positiv oder negativ zum Gesamtvolumen beitragen.

Volumen durch Integration

Entsteht der Körper durch Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f im Intervall [a,b], der x-Achse sowie den Geraden x = a und x = b um die x-Achse, gilt die Scheibenformel

V = π · ∫ₐᵇ (f(x))² dx.

Bei einer Rotation um die y-Achse gibt es zwei wichtige Fälle. Bei der Scheibenmethode („disc integration“) wird die Fläche durch den Graphen, die y-Achse und die Geraden y = f(a) und y = f(b) begrenzt. Dazu wird y = f(x) nach der Umkehrfunktion x = f⁻¹(y) aufgelöst. Sie existiert, wenn f stetig und streng monoton ist. Andernfalls kann f gegebenenfalls in entsprechende Abschnitte zerlegt werden; deren Volumina werden getrennt berechnet und addiert:

V = π · ∫min(f(a),f(b))^max(f(a),f(b)) (f⁻¹(y))² dy.

Durch die Substitution y = f(x) folgt

V = π · ∫min(a,b)^max(a,b) x² · |f′(x)| dx.

Der Betrag von f′ und die mit Minimum und Maximum festgelegten Grenzen sorgen für ein positives Integral.

Bei der Zylindermethode („shell integration“) rotiert die Fläche zwischen dem Graphen von f, der x-Achse sowie x = a und x = b um die y-Achse. Dann gilt

V = 2π · ∫ₐᵇ x f(x) dx.

Guldinsche Regeln

Die Guldinschen Regeln vereinfachen die Berechnung von Oberfläche und Volumen, wenn sich der Linien- oder Flächenschwerpunkt des rotierenden Objekts leicht bestimmen lässt. Dabei bezeichnet M die Oberfläche, V den Rauminhalt, L die Länge der erzeugenden Linie oder Profillinie, A den Flächeninhalt der erzeugenden Fläche, R den Radius des Schwerpunktkreises und r den Radius eines rotierenden Kreises.

Nach der ersten Regel ist die Mantelfläche eines Rotationskörpers, dessen Rotationsachse die erzeugende Linie nicht schneidet, gleich dem Produkt aus der Länge L der Profillinie und dem Umfang des Kreises, den ihr Linienschwerpunkt beschreibt:

M = L · 2πR.

Für den Graphen einer Funktion f ergibt sich bei Rotation um die x-Achse

M = 2π · ∫ₐᵇ f(x) √(1 + [f′(x)]²) dx.

Dabei ist R = yₛ = (1/L) ∫L y dL die y-Koordinate des Linienschwerpunktes und dL = √(1 + (dy/dx)²) dx das Linienelement. Bei Rotation um die y-Achse lautet die entsprechende Formel

M = 2π · ∫min(f(a),f(b))^max(f(a),f(b)) f⁻¹(y) √(1 + [(f⁻¹(y))′]²) dy.

Existiert die Umkehrfunktion nicht auf dem gesamten Intervall, muss auch hier abschnittsweise für stetige und streng monotone Teile gerechnet werden.

Nach der zweiten Regel ist das Volumen gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt A der erzeugenden Fläche und dem Umfang des Kreises, den ihr Flächenschwerpunkt beschreibt:

V = A · 2πR.

Für die Rotation der Fläche zwischen f(x), der x-Achse sowie x = a und x = b um die x-Achse führt dies mit y = f(x)/2 und dA = f(x) dx wieder zu

V = π · ∫ₐᵇ (f(x))² dx.

Eine gekippte Rotationsachse kann durch eine Koordinatentransformation behandelt werden. Für einen Rotationstorus ergeben die Regeln die Oberfläche M = 2πr · 2πR = 4π²rR und das Volumen V = πr² · 2πR = 2π²r²R.

Kurven in Parameterform

Ist die erzeugende Kurve in einem Parameterintervall [a,b] durch (x(t), y(t)) gegeben, können Volumen und Oberfläche direkt über den Parameter t berechnet werden. Für die Volumina bei Rotation um die x- beziehungsweise y-Achse gilt

Vₓ = ∫ₐᵇ πy² · (dx/dt) dt,

Vᵧ = ∫ₐᵇ πx² · (dy/dt) dt.

Die zugehörigen Oberflächeninhalte sind

Mₓ = ∫ₐᵇ 2πy √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt,

Mᵧ = ∫ₐᵇ 2πx √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.

Näherung mit der Fassregel

Die Keplersche Fassregel liefert einen Näherungswert für das Volumen eines Körpers, wenn seine Querschnittsfläche q an drei Stellen bekannt ist:

V = h/6 · (q(0) + 4q(h/2) + q(h)).

Der Querschnitt in der Mitte wird dabei vierfach gewichtet. Für einen Rotationskörper, der durch Rotation um die x-Achse entsteht, wird das exakte Volumen

V = π · ∫ₐᵇ (f(x))² dx

näherungsweise berechnet durch

V ≈ π(b − a)/6 · ((r(a))² + 4(r((a + b)/2))² + (r(b))²).

Dazu werden die Radien an den beiden Intervallenden und in der Intervallmitte verwendet.