Das Video kommt von YouTube: erst beim Abspielen verbindet sich die Seite mit YouTube (Google).
Volumen von Rotationskörpern - Integral Advanced 3 Remake
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 55 Zeilen
- so Mo zusammen Jan hockt in der Kneipe und gönnt sich sein wohlverdientes Feierabendbier ah so ein kühles hefeewizen Gibt's was besseres nach dem
- dritten oder so kommt man dann durchaus auf die komischen Ideen z.B mal auszurechnen wie vielen so ein Weizenglas überhaupt reingeht wirklich
- ein halber Liter oder wird J verarscht und es ist weniger drin wie man das mit Hilfe der Integralrechnung ausrechnet erfahrt ihr in diesem
- Video so wie viel Bier passt in mein Glas eigentlich eine ganz banale Frage wie
- immer in Mathe gibt's jed auch keine einfache banale Antwort drauf sondern ihr müsst erstmal rechnen wie macht ihr das jetzt aber in den vorherigen Videos
- habt ihr dazu das Integral näher kennengelernt ganz wichtig wenn ihr nicht wisst was das ist unbedingt die früheren Videos in der Playlist
- abchecken in denen habt ihr dann z.bpiel gelernt dass man mit dem Integral Flächen berechnen kann warum also nicht auch das Volumen von dem Körper und zwar
- von ein besonderen Körper einem sogenannten Rotationskörper what was ist den das jetzt schon wieder dazu mal ein einfaches Beispiel ihr habt die Funktion
- f vonx = 1 also einfach eine konstante bei 1 man könnte auch sagen ein gerader Strich klar die Funktion ist einfach überall gleich 1 stellt euch jetzt mal
- vor die würde sich um die x-Achse drehen natürlich nur gedanklich würde da dann ein Zylinder entstehen mit einem Radius von ein klar die gerade ist ja genau ein
- eine Längeneinheit von der x-Achse Weg ihr habt also ein Körper in diesem Fall den Zylinder mit einer Funktion hier F vonx = 1 beschrieben und weil die
- Funktion sich dabei gedanklich um die x-Achse dreht man kann auch sagen rotiert nennt man den Körper dann Rotationskörper soweit so gut wie
- berechnet ihr jetzt aber das Volumen von so einem Rotationskörper dazu zersägt ihr den Rotationskörper what was zersägen hä wie genau ihr zersägt ihn in
- ganz viele Scheiben Scheibe für Scheibe sägt ihr von dem Rotationskörper runter in unserem Beispiel Scheibe für Scheibe von dem Zylinder moment mal zersägen
- zerteilen irgendwie müsst euch das doch bekannt vorkommen wenn ihr die Videos zum integral angeschaut habt habt ihr gelernt dass man sich das Integral als
- Summe ganz ganz ganz vieleer kleiner Rechtecke vorstellen kann da habt ihr also die Fläche unter der Kurve in ganz viele Rechtecke zerteilt hier unterteilt
- ihr ein Volumen in ganz viele Scheibchen und wie beim normalen integral berechnet ihr dann die einzelnen Scheibchen einzeln und adert dann alle zusammen für
- das Gesamtvolumen die große Frage ist jetzt wie groß ist denn das Volumen von so einer Scheibe das ist ja eigentlich nichts weiter als ein ganz schmaler
- Zylinder und das Volumen von dem berechnet ihr mit dieser Formel V = pi mal R hoch 2 x H also pi mal den Radius hoch 2 mal die Höhe die wie gesagt
- wenzig schmal ist R also der Radius ist dabei nichts anderes als der Funktionswert F von X haben wir ja bei unserem Beispiel Zylinder F vonx = 1 am
- Anfang gezeigt und H die Höhe ist ein ganz kurzes Stück auf der x-Achse also können wir das mal Delta x nennen geil damit haben wir das Volumen einer
- Scheibe nämlich V = pi mal F von x hoch 2 mal Delta x wie schon besprochen ist das gesamte Volumen dann die Summe aller Scheibchen und hier kommt wieder das
- Integral zum Einsatz wenn eure Scheiben ganz ganz ganz dünn werden kriegt man es einfach nicht mehr hin den Spaß auszurechnen ihr könnt aber einfach
- wieder die integralschreibweise benutzen wir erinnern uns das Volumen einer Scheibe sieht so aus anstelle von Delta x schreibt ihr dann DX und macht vorne
- noch das geschwungene Essen das steht wie ihr wisst für Summe wir wollen ja alle scheibenvolumina zusammenzählen also das Gesamtvolumen außerdem habt ihr
- noch eure Grenzen A und B sprich da wo euer Rotationskörper anfängt und da wo er aufhört wenn ihr die Herleitung nicht ganz verstanden habt ist das nur halb so
- wild war auch nur die nicht ganz mathematisch korrekte Kurzfassung für die Aufgaben braucht ihr die Ini wichtig ist dass was rauskommt und das ist diese
- Formel hier das PI könnt ihr noch vors integral ziehen und da steht sie die legendäre sagenumwobene na ja doch eher einfach nur mathematische Formel zum
- rotationsvolumen V gesamt g=ich pi mal das Integral von A bis B von F von X ins Quadrat DX genug trockene Herleitung haen wir mal ein Beispiel raus bevor wir
- uns an Jans Weizenglas ranwagen nehmen wir mal noch ein einfacheres Glas hat jemand gerade ein glasparat Danke Schön damit das als Rotationskörper um die
- x-Achse beschrieben werden kann müssen wir es hinlegen also um 90 gr drehen jetzt brauchen wir irgendeine Funktion die das Glas oder besser den Ranz des
- Glases beschreibt das hier sieht doch schon mal ganz gut aus in der Regel bekommt ihr die Funktion vorgegeben müss also nicht selber drauf kommen in
- unserem Fall lautet die Funktion f vonx = w√ von X ist natürlich nur eine Näherung das Glas geht von 0 bis 8 auf der x-Achse das bedeutet Grenzen sind 0
- und 8 den ganzen Spaß dreht er jetzt um die x-Achse der Rotationskörper sieht dann so aus jetzt müsst ihr einfach alles in die Formel für das
- rotationsvolumen Einsetzen für F vonx setzt ihr Wurzel x ein und für die Grenzen die 0 unten und die 8 oben Wurzel x hoch 2 ist einfach x ihr habt
- also für das Volumen V = pi mal das Integral von 0 bis 8 von X DX das müsst ihr jetzt nur noch ausrechnen die Stammfunktion von X ist ein/b x hoch 2
- und wenn ihr da dann eure Grenzen einsetzt bekommt ihr pi mal 1/ x 8 hoch 2- 1/ x 0 für euer Volumen raus das ergibt dann einfach pi mal 32 oder 32 PI
- was ungefähr 100,5 Volumeneinheiten sind so genug Set kümmern wir uns mal ob Jans Weizenglas weil wir nichts anderes zu tun hatten haben wir sogar ein
- originales Weizenglas extra für diese Aufgabe ausgemessen na ja zumindest versucht so gut wie das eben mit dem Goo dre geht na ja egal wir sind S auf jeden
- Fall auf diese Funktion hier gekommen die den Rand des weizenglases beschreibt fonx = -0,001 x hoch 3 + 0,034x hoch 2 -
- 0,249x + 3,4 ihr denkt euch jetzt bestimmt wat solche kackwerte hat ein Weizenglas ja wie so ziemlich alles Natürliche hat auch ein Weizenglas
- irgendwelche krummen Werte klar dass da nichts Schönes gerades rauskommt die Natur ist halt eben krumm aber deshalb gibt's ja sowas wie taschenrech und
- Computer mit denen man das alles dann ganz locker berechnen kann aber die Formel dazu aufstellen könnt ihr auf jeden Fall drückt Pause und versucht
- selbst die Formel für das Volumen für Jans Weizenglas aufzustellen kleiner Tipp wir haben das Glas schon so ins Koordinatensystem gelegt dass die
- Grenzen 0 und 18 sind der Spaß hier soll wieder um die x-Achse rotieren wie sieht also eure Formel fürs Volumen aus richtig ihr habt V = pi mal das Integral
- von 0 bis 18 von F von x hoch 2 DX und das ist PI mal das Integral von 0 bis 18 von Klammer auf - 0,001x hoch 3 + 0,034x H 2 -
- 0,249x + 3,4 K zu ins Quadrat DX die Klammer ist wichtig da ihr die gesamte Funktion ins Quadrat nehmt das hat ihr jetzt wenn ihr nicht ganz lebensmüde
- oder recheng geil seid in den Taschenrechner rauskommen dann ca 653,448 Volumeneinheiten was ca 650 ml entspricht falls ihr mit Zentimeter
- gerechnet habt Jans Glas fastst also mehr als einen halben Liter macht ja auch Sinn die eichmarkierung liegt ja etwas unterhalb vom Glasrand damit die
- Schaumkrone noch Platz hat so was müsst ihr euch zu Rotationskörpern merken erstmal alle denen wir mit der Bierglas Aufgabe Angst
- gemacht haben wenn ihr abisona Aufgabe bekommt bekommt ihr meistens gescheite Werte also irgendwas mit dem sich halbwegs rechnen lässt also keine Panik
- das läuft dann solltet ihr im Hinterkopf haben dass so ein Rotationskörper nichts anderes ist als eine Funktion die gedanklich um die x-Achse rotiert das
- Volumen von so einem Ding rechnet ihr dann mit dieser Formel hier aus V = pi mal das Integral von der unteren Grenze bis zur oberen Grenze von F von X ins²r
- DX denkt dran wenn ihr die Funktion einsetzt eine Klammer drum zu machen damit ihr auch wirklich die ganze Funktion quadriert schaut unbedingt mal
- auf unserer App vorbei dort gibt's noch mehr Videos zum Thema integral und Stammfunktion ansonsten macht's gut Leute bis gleich im nächsten Video
Zum Nachlesen
RotationskörperAuch Kegel und Zylinder sind Rotationskörper. Das Volumen und die Oberfläche werden mit den sogenannten Guldinschen Regeln (benannt nach dem …
IntegralrechnungDie Integralrechnung ist aus der Aufgabe entstanden, Flächeninhalte oder Volumina zu berechnen, die durch gekrümmte Linien bzw. Flächen begrenzt sind. Unter dem …
Prinzip von Cavalieri... Volumen. Das Volumen des Vergleichskörpers ist die Differenz der Volumina von Zylinder und Kegel, also. π ⋅ r 2 ⋅ r − 1 3 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ r = 2 3 π …
VolumenintegralEin Volumenintegral oder Dreifachintegral ist in der Mathematik ein Spezialfall der mehrdimensionalen Integralrechnung, der vor allem in der Physik …