Torus

Grundidee und Definition

Ein Torus ist ein mathematisches Objekt aus Geometrie und Topologie. Anschaulich ist er eine wulstartige Fläche mit einem Loch, ähnlich einem Rettungsring, Fahrradschlauch, Donut oder O-Ring. Der gewöhnliche Torus ist eine zweidimensionale Fläche.

Ein konkretes Modell ist der Rotationstorus. Er entsteht, wenn man einen Kreis um eine Achse rotieren lässt, die in der Kreisebene liegt und den Kreis nicht schneidet. Dabei bezeichnet R den Abstand des Kreismittelpunkts von der Rotationsachse und r den Radius des erzeugenden Kreises. Ein Rotationstorus ist die Menge aller Punkte, die von einer Kreislinie mit Radius R den festen Abstand r haben; dabei gilt r < R. Wird statt der Kreislinie die gesamte Kreisfläche rotiert, entsteht ein dreidimensionaler Volltorus.

Die allgemeine mathematische Definition lautet: Mit S¹ wird der Kreis beziehungsweise die 1-Sphäre bezeichnet. Der n-Torus ist das n-fache topologische Produkt von Kreisen,

Tⁿ := S¹ × ⋯ × S¹.

Der gewöhnliche Torus ist der 2-Torus T² = S¹ × S¹. Der n-Torus ist eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Das Konzept ist unter anderem in der Topologie, Differentialgeometrie, Fourier-Analysis, Theorie dynamischer Systeme, Funktionentheorie und Theorie elliptischer Kurven wichtig.

Rotationstorus und Berechnungen

In kartesischen Koordinaten mit der z-Achse als Rotationsachse wird ein Rotationstorus durch

(√(x² + y²) − R)² + z² = r²

beschrieben. Nach dem Beseitigen der Wurzel erhält man die Gleichung 4. Grades

(x² + y² + z² + R² − r²)² = 4R²(x² + y²).

Für die Parametrisierung verwendet man zwei Winkel: t ist die toroidale Koordinate und beschreibt die Bewegung um die Rotationsachse; p ist die poloidale Koordinate und beschreibt die Bewegung auf dem erzeugenden Kreis. Beide Winkel laufen von 0 bis 2π. Die kartesischen Koordinaten sind

x = (R + r cos(p)) cos(t), y = (R + r cos(p)) sin(t), z = r sin(p).

Die Oberfläche des Torus beträgt

Aₒ = 4π²rR.

Sie ergibt sich aus der Ersten Guldinschen Regel als Produkt der beiden Kreisumfänge 2πr und 2πR oder aus dem Oberflächenintegral mit dem Flächenelement

dA = r(R + r cos(p)) dp dt.

Der vom Torus umschlossene Volltorus hat nach der Zweiten Guldinschen Regel das Volumen

V = 2π²r²R.

Dies entspricht dem Produkt aus der Kreisfläche Aᵣ = πr² und dem Umfang Uᴿ = 2πR. In der Parametrisierung lautet die Jacobi-Determinante

det(J_f) = r · (r cos(p) + R),

und das Volumenintegral liefert ebenfalls V = 2π²r²R. Der innere Teil mit Abstand von der z-Achse kleiner gleich R hat das Volumen πr²(πR − 4r/3) und die Oberfläche 2πr(πR − 2r). Der äußere Teil mit Abstand größer gleich R hat das Volumen πr²(πR + 4r/3) und die Oberfläche 2πr(πR + 2r).

Topologie und höhere Dimensionen

Ein Torus kann aus einem Rechteck, Quadrat oder Parallelogramm entstehen, indem jeweils gegenüberliegende Seiten miteinander identifiziert beziehungsweise verheftet werden: die rechte Kante mit der linken und die obere mit der unteren. Dadurch kann man eine ebene Fläche ohne Singularitäten auf einen Torus abbilden. Dieses Prinzip wird auch in Computerspielen wie Asteroids oder Pac-Man verwendet: Verlässt ein Spielobjekt das Spielfeld an einer Seite, erscheint es an der gegenüberliegenden Seite wieder.

Der 3-Torus entsteht aus einem Quader oder Würfel, dessen sechs gegenüberliegende Flächen paarweise verheftet werden. Der 4-Torus entsteht aus einem Tesserakt, dessen acht gegenüberliegende Würfel paarweise identifiziert werden. Allgemein ist der n-Torus ein n-dimensionaler Würfel [0,1]ⁿ, dessen gegenüberliegende (n−1)-Hyperwürfel paarweise identifiziert werden. Gleichwertig gilt

Tⁿ ≅ ℝⁿ/ℤⁿ.

Statt eines Würfels kann auch ein beliebiges n-dimensionales Parallelepiped verwendet werden.

Als Produkt von n Kreisen ist Tⁿ eine topologische und eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension n. Er ist kompakt und wegzusammenhängend. Für n > 1 ist er im Gegensatz zur n-Sphäre nicht einfach zusammenhängend. Seine universelle Überlagerung ist die Abbildung

q: ℝⁿ → Tⁿ, (xⱼ)ⱼ ↦ (exp(2π i xⱼ))ⱼ.

Da der Kreis als Kreisgruppe eine Lie-Gruppe ist und Produkte von Lie-Gruppen mit komponentenweiser Multiplikation wieder Lie-Gruppen sind, ist auch der n-Torus eine Lie-Gruppe.

Flache und eingebettete Tori

Der n-Torus kann als S¹ × ⋯ × S¹ in den euklidischen Raum ℝ²ⁿ eingebettet werden. Die von dort induzierte riemannsche Metrik ist flach: Der Torus ist lokal isometrisch zu einer Umgebung von ℝⁿ, und seine Schnittkrümmung ist überall konstant null. Weil der Torus kompakt und damit vollständig ist, handelt es sich um eine flache Mannigfaltigkeit.

Ein flacher 2-Torus kann nicht längentreu auf einen Rotationstorus im ℝ³ abgebildet werden, weil die Schnittkrümmung eines Rotationstorus nicht überall null ist. Flache 2-Tori lassen sich auch durch ein Parallelogramm mit verklebten gegenüberliegenden Seiten oder als Faktorgruppe

ℝ²/(ℤ · v + ℤ · w)

für zwei linear unabhängige Vektoren v,w ∈ ℝ² beschreiben. Für v = (1,0) und w = (0,1) erhält man ℝ²/ℤ² ≅ (ℝ/ℤ)². Elliptische Kurven über den komplexen Zahlen können als ℂ/L für ein Gitter L ⊂ ℂ dargestellt werden und sind mit einer translationsinvarianten Metrik Beispiele für flache Tori.

Eine 2-mal differenzierbare Einbettung eines flachen Torus in den dreidimensionalen Raum ist nicht möglich, weil lokale Extrempunkte positive Krümmung besitzen müssen. Nach dem Einbettungssatz von Nash existieren jedoch fraktale, nur 1-mal differenzierbare Einbettungen des flachen Torus in ℝ³; solche Einbettungen können auch numerisch konstruiert werden.

Ein Clifford-Torus ist ein spezieller in S³ ⊂ ℝ⁴ eingebetteter Torus. Nach der Identifizierung ℝ⁴ = ℂ² und S³ = {(z,w) ∈ ℂ² : |z|² + |w|² = 1} lautet der Standard-Cliffordtorus

T = {(z,w) ∈ ℂ² : |z| = |w| = 1/√2} ⊂ S³.

Bilder dieses Torus unter Isometrien der Standardmetrik werden ebenfalls Clifford-Tori genannt. Durch stereografische Projektion können sie als in ℝ³ eingebettete Tori betrachtet werden. Ein Clifford-Torus ist eine Minimalfläche in S³. Die von Brendle bewiesene Lawson-Vermutung besagt, dass jeder als Minimalfläche in S³ eingebettete Torus ein Clifford-Torus ist.

Schnitte, Färbung und Anwendungen

Bei ebenen Schnitten eines Rotationstorus hängt die Schnittkurve von der Lage der Ebene ab:

• Ebenen, die die Rotationsachse enthalten, schneiden den Torus in Kreispaare.
• Ebenen senkrecht zur Rotationsachse liefern Kreispaare, einen Kreis oder die leere Menge.
• Eine zur Rotationsachse parallele Ebene erzeugt eine spirische Kurve; in Sonderfällen kann sie eine Cassinische Kurve sein.
• Eine geneigte Ebene, die zwei Erzeugerkreise berührt, erzeugt Villarceau-Kreise.

In der Darstellenden Geometrie verwendet man Teile eines Torus zur Konstruktion von Übergangsflächen zwischen Zylindern. Die Darstellung durch den Umriss gehört zu den Umrisskonstruktionen.

Der Sieben-Farben-Satz für den Torus besagt, dass jede Landkarte auf seiner Oberfläche mit höchstens sieben Farben so eingefärbt werden kann, dass angrenzende Gebiete verschiedene Farben besitzen. Sieben Farben sind tatsächlich nötig, weil die Oberfläche in sieben Gebiete aufgeteilt werden kann, von denen sich je zwei berühren. Entsprechend hat jeder Graph, der in den Torus eingebettet werden kann, eine chromatische Zahl von höchstens 7; da der vollständige Graph K₇ in den Torus eingebettet werden kann, ist die chromatische Zahl gleich 7. In der Ebene oder auf einer Kugeloberfläche reichen nach dem Vier-Farben-Satz höchstens vier Farben.

In der algebraischen Gruppentheorie bezeichnet algebraischer Torus eine Gruppe, die isomorph zu einem endlichen Produkt von Kopien der multiplikativen Gruppe eines Körpers ist. Dieser Begriff ist vom topologischen Torus zu unterscheiden und wird beispielsweise in der torischen Geometrie verwendet.

Ein Rettungsring mit Außendurchmesser 76 cm und Innendurchmesser 44 cm besitzt die Torusparameter r = (76 cm − 44 cm)/4 = 8 cm und R = (76 cm + 44 cm)/4 = 30 cm. Daraus folgen V = 2π²r²R ≈ 37899 cm³ = 37,899 dm³ = 0,037899 m³ und Aₒ = 4π²rR ≈ 9475 cm² = 94,75 dm² = 0,9475 m².

Beim Horntorus, den Archytas von Tarent unter anderem für die Würfelverdoppelung verwendete, ist der Abstand R des Kreismittelpunkts von der Achse gleich dem Radius r des ursprünglichen Kreises.