Umkehrfunktion

Grundidee und Definition

Eine Umkehrfunktion oder inverse Funktion ordnet die Wirkung einer bijektiven Funktion wieder zurück. Ist f: A -> B eine Funktion und gilt b = f(a), dann heißt a ein Urbildelement von b unter f. Ein Element von B kann im Allgemeinen kein, ein oder mehrere Urbildelemente haben. Eine Umkehrfunktion existiert genau dann, wenn jedes Element von B genau ein Urbildelement besitzt. Dann ist f invertierbar, und man definiert f^{-1}: B -> A so, dass jedes b in B auf sein eindeutig bestimmtes Urbildelement in A abgebildet wird.

Eine Funktion ist genau dann invertierbar, wenn sie bijektiv ist, also zugleich injektiv und surjektiv. Injektiv bedeutet: Jedes Element der Zielmenge B hat höchstens ein Urbildelement. Surjektiv bedeutet: Jedes Element von B hat mindestens ein Urbildelement. Zusammen heißt das: genau ein Urbildelement.

Formal kann man die Umkehrfunktion auch über eine Funktion g: B -> A beschreiben. Sie muss g(f(a)) = a für alle a in A und f(g(b)) = b für alle b in B erfüllen. Mit der Komposition von Funktionen schreibt man dies als g ∘ f = id_A und f ∘ g = id_B. Dabei ist id_A die identische Abbildung auf A. Existiert ein solches g, ist es eindeutig und heißt Umkehrfunktion von f. Alle im Artikel genannten Definitionen führen zum gleichen Ergebnis und sind äquivalent zur Bijektivität.

Schreibweise und zentrale Eigenschaften

Für eine bijektive Funktion f: A -> B bezeichnet f^{-1}: B -> A die Umkehrfunktion. Die hochgestellte -1 ist dabei keine negative Potenz im Sinn der Multiplikation, sondern steht für die Umkehrung bezüglich der Komposition von Funktionen. Die Schreibweise kann mit der Urbildfunktion verwechselt werden: Für jede Funktion existiert eine Urbildfunktion von der Potenzmenge P(B) in die Potenzmenge P(A). Bei bijektiven Funktionen passt die Schreibweise zusammen, weil f^{-1}(b) dann genau das einzige Element der Urbildmenge f^{-1}({b}) ist.

Die Umkehrfunktion ist selbst bijektiv, und ihre Umkehrfunktion ist wieder die ursprüngliche Funktion: (f^{-1})^{-1} = f. Für eine bijektive Funktion f: A -> B gilt f(f^{-1}(b)) = b für alle b in B und f^{-1}(f(a)) = a für alle a in A. In Kompositionsschreibweise heißt das f ∘ f^{-1} = id_B und f^{-1} ∘ f = id_A.

Sind f: A -> B und g: B -> C bijektiv, dann ist auch g ∘ f: A -> C bijektiv. Die Umkehrfunktion der Komposition ist f^{-1} ∘ g^{-1}; die Reihenfolge kehrt sich also um. Eine Funktion f: A -> A kann außerdem ihre eigene Umkehrfunktion sein. Das gilt genau dann, wenn f ∘ f = id_A. Eine solche Funktion heißt Involution. Bei Teilmengen von R entsteht der Graph der Umkehrfunktion durch Spiegelung des Graphen von f an der Geraden y = x. Ist f: R -> R differenzierbar, f'(x) != 0 und y := f(x), dann gilt die Umkehrregel (f^{-1})'(y) = 1 / f'(f^{-1}(y)).

Einfache Beispiele

Ein anschauliches Beispiel ist die Zuordnung der 26 Buchstaben des lateinischen Alphabets zu den Zahlen 1 bis 26. Die Funktion f: A -> B ordnet jedem Buchstaben seine Nummer im Alphabet zu. Sie ist bijektiv. Die Umkehrfunktion f^{-1}: B -> A ordnet dann jeder Zahl n den n-ten Buchstaben im Alphabet zu.

Für die reelle Funktion f: R -> R mit f(x) = 3x + 2 gilt: Sie ist bijektiv, und ihre Umkehrfunktion lautet f^{-1}(x) = (x - 2) / 3. Allgemeiner ist eine lineare Funktion f: R -> R mit f(x) = alpha x + beta genau dann bijektiv, wenn alpha != 0. In diesem Fall gilt f^{-1}(x) = (x - beta) / alpha.

Diese Beispiele zeigen das Grundprinzip: Man kann die ursprüngliche Rechenvorschrift rückgängig machen, wenn die Zuordnung eindeutig in beide Richtungen funktioniert.

Nicht bijektive Funktionen umkehren

Für nicht bijektive Funktionen gibt es keine echte Umkehrfunktion im oben definierten Sinn. Oft möchte man aber trotzdem eine Art Umkehrung erhalten. Wenn eine Funktion nicht surjektiv ist, kann man die Zielmenge auf das Bild der Funktion verkleinern. Dann wird die Funktion surjektiv. Dieser Weg ist immer möglich, aber das Bild kann schwer genau zu bestimmen sein, und wichtige Eigenschaften der ursprünglichen Zielmenge können verloren gehen.

Wenn eine Funktion nicht injektiv ist, kann man den Definitionsbereich einschränken, sodass jedes Element des Bildes nur noch ein Urbildelement hat. Diese Einschränkung kann aber willkürlich sein und muss überall konsistent verwendet werden. Eine andere Möglichkeit ist, eine geeignete Äquivalenzrelation auf dem Definitionsbereich zu verwenden und die Funktion auf Äquivalenzklassen zu übertragen; das ist anspruchsvoller und verändert die Art der Argumente.

Typische Beispiele sind die trigonometrischen Funktionen sin, cos und tan. Sie sind nicht bijektiv, werden aber auf geeignete Teilmengen von Definitionsbereich und Zielmenge eingeschränkt. So entstehen bijektive Funktionen, deren Umkehrfunktionen Arkussinus (arcsin), Arkuskosinus (arccos) und Arkustangens (arctan) heißen. Die Exponentialfunktion von R nach R ist injektiv, aber nicht surjektiv; ihr Bild ist die Menge der positiven reellen Zahlen. Schränkt man die Zielmenge darauf ein, erhält man als Umkehrfunktion den Logarithmus. Die Quadratfunktion x -> x^2 ist von R nach R weder injektiv noch surjektiv. Wählt man als Zielmenge R_0^+ = [0, infinity) und schränkt den Definitionsbereich ebenfalls auf R_0^+ ein, wird sie bijektiv; ihre Umkehrfunktion ist die Quadratwurzelfunktion.

Berechnung von Umkehrfunktionen

Die konkrete Bestimmung einer Umkehrfunktion kann schwierig sein. Bei reellen Funktionen, die durch einen Term T mit Variable x gegeben sind, versucht man die Gleichung y = T(x) durch Äquivalenzumformungen nach x aufzulösen, also in die Form x = T'(y) zu bringen. Dann beschreibt T' die Umkehrfunktion. Dabei müssen Definitionsbereich und Zielmenge genau beachtet werden, weil sie entscheiden, welche Umformungen gültig sind und ob die Lösung eindeutig ist.

Für f: R -> R mit f(x) = 2x - 1 erhält man aus y = 2x - 1 die Gleichungen 2x = y + 1 und x = (y + 1) / 2. Also lautet die Umkehrfunktion f^{-1}(y) = (y + 1) / 2, häufig auch f^{-1}(x) = (x + 1) / 2 geschrieben.

Ein zweites Beispiel ist f: (0, infinity) -> R mit f(x) = (x^2 - 1) / (2x). Aus y = (x^2 - 1)/(2x) folgt x^2 - 2xy - 1 = 0. Wegen x > 0 bleibt die Lösung x = y + sqrt(y^2 + 1). Daher ist f^{-1}(y) = y + sqrt(y^2 + 1). Hier wird die Quadratwurzel verwendet; sie ist selbst als Umkehrfunktion der eingeschränkten Quadratfunktion definiert. Auch Logarithmus-, Arcus- und Areafunktionen erweitern die Menge der mathematischen Standardoperationen, weil sie nicht mit den Grundrechenarten allein berechnet werden können.

Verallgemeinerungen und höhere Mathematik

In der höheren Mathematik betrachtet man oft Mengen mit zusätzlicher Struktur, zum Beispiel geordnete Mengen oder Vektorräume. Funktionen, die mit dieser Struktur verträglich sind, heißen Morphismen. Bei geordneten Mengen sind monotone Funktionen ein Beispiel. Ist ein Morphismus bijektiv, ist nicht immer automatisch auch seine Umkehrfunktion wieder ein Morphismus. Wenn eine bijektive Funktion und ihre Umkehrfunktion beide Morphismen sind, nennt man sie Isomorphismus.

Bei linearen Abbildungen ist die Situation besonders wichtig: Eine bijektive lineare Abbildung ist immer ein Isomorphismus. Damit ein solcher Isomorphismus zwischen Vektorräumen existieren kann, müssen die Vektorräume dieselbe Dimension haben. In endlicher Dimension wird eine lineare Abbildung durch eine quadratische Matrix dargestellt. Sie ist genau dann bijektiv, wenn diese Matrix eine Inverse besitzt; diese inverse Matrix beschreibt die Umkehrfunktion. In der Funktionalanalysis können unendlichdimensionale topologische Vektorräume auftreten. Dort ist die Umkehrfunktion einer bijektiven stetigen linearen Abbildung im Allgemeinen nicht zwangsläufig stetig. Sind beide Räume Banachräume, folgt die Stetigkeit aber aus dem Satz über die offene Abbildung.

Als Verallgemeinerungen gibt es Links- und Rechtsinverse. Eine Linksinverse g: B -> A zu f: A -> B erfüllt g ∘ f = id_A. Eine Funktion besitzt genau dann eine Linksinverse, wenn sie injektiv ist. Eine Rechtsinverse h: B -> A erfüllt f ∘ h = id_B. Hat f eine Rechtsinverse, muss f surjektiv sein; umgekehrt hängt die allgemeine Existenz für alle surjektiven Funktionen mit dem Auswahlaxiom zusammen. Rechtsinverse sind immer injektiv, Linksinverse immer surjektiv. Besitzt eine Funktion sowohl eine Links- als auch eine Rechtsinverse, stimmen sie mit der echten Umkehrfunktion überein.