Mittelwertsatz der Differentialrechnung – einfach erklärt

Kernidee und Voraussetzungen

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung, kurz MWS, ist ein zentraler Satz der Analysis. Er verbindet eine globale Änderung einer Funktion auf einem Intervall mit einer lokalen Eigenschaft, nämlich der Ableitung an einer Stelle. Geometrisch bedeutet er: Zwischen zwei Punkten eines Funktionsgraphen gibt es mindestens einen Punkt, an dem die Tangente parallel zur Sekante durch die beiden Randpunkte ist. Die Sekantensteigung wird also mindestens einmal als Tangentensteigung angenommen.

Für eine Funktion f: [a,b] -> R mit a < b gilt der Satz unter zwei Voraussetzungen: f ist auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig, und f ist auf dem offenen Intervall (a,b) differenzierbar. Dann existiert mindestens ein x_0 in (a,b), sodass

f'(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a)

gilt. Es kann auch mehrere solche Stellen geben. Der Satz verallgemeinert den Satz von Rolle und ist wichtig, weil man mit ihm Aussagen über Funktionswerte auf Aussagen über Ableitungen zurückführen kann.

Beweisgedanke

Der Beweis im eindimensionalen Fall benutzt den Satz von Rolle. Man bildet eine Hilfsfunktion

h(x)=f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))(x-a).

Diese Funktion ist wie f auf [a,b] stetig und auf (a,b) differenzierbar. Außerdem gilt h(b)=f(a)=h(a). Damit erfüllt h die Voraussetzungen des Satzes von Rolle. Also gibt es ein x_0 in (a,b) mit h'(x_0)=0.

h'(x_0)=f'(x_0)-((f(b)-f(a))/(b-a))

ist, folgt durch Umstellen genau

f'(x_0)=(f(b)-f(a))/(b-a).

Der Beweis zeigt, dass der Mittelwertsatz auf den Spezialfall zurückgeführt wird, in dem Anfangs- und Endwert gleich sind.

Typische Anwendung

Ein Beispiel ist die Abschätzung

|sin b - sin a| <= |b-a|

für alle a,b in R. Ohne Einschränkung nimmt man a < b an. Die Sinusfunktion ist auf (a,b) differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein x_0 in (a,b), sodass

(sin b - sin a)/(b-a) = sin'(x_0) = cos x_0

gilt. Weil |cos x| <= 1 für alle x in R ist, erhält man

|sin b - sin a| = |cos x_0| |b-a| <= |b-a|.

Allgemeiner kann man mit diesem Vorgehen zeigen, dass stetig differenzierbare Funktionen lokal Lipschitz-stetig sind. Lipschitz-Stetigkeit bedeutet hier, dass Funktionswertänderungen durch ein Vielfaches der Änderung der Eingabewerte beschränkt werden können.

Erweiterter Mittelwertsatz

Der erweiterte Mittelwertsatz vergleicht zwei Funktionen f und g. Seien f: [a,b] -> R und g: [a,b] -> R auf [a,b] stetig und auf (a,b) differenzierbar, mit a < b. Dann existiert mindestens ein x_0 in (a,b), sodass

f'(x_0)(g(b)-g(a)) = g'(x_0)(f(b)-f(a))

gilt.

Wenn zusätzlich g'(x) != 0 auf [a,b] vorausgesetzt wird, dann ist insbesondere g'(x_0) != 0 sowie g(a) != g(b). Dann kann man den Satz in der Bruchform schreiben:

(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f'(x_0)/g'(x_0).

Der Beweis unterscheidet zwei Fälle. Ist g(a)=g(b), liefert der Satz von Rolle eine Stelle x_0 mit g'(x_0)=0, wodurch die Behauptung erfüllt ist. Ist g(a) != g(b), definiert man

h(x):=f(x)-((f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)))(g(x)-g(a)).

Da h(a)=h(b), liefert der Satz von Rolle ein x_0 mit h'(x_0)=0. Daraus folgt durch Umstellen die Aussage des erweiterten Mittelwertsatzes. Aus diesem erweiterten Satz lassen sich die Regeln von L’Hospital gewinnen, mit denen Grenzwerte von Quotienten zweier Funktionen mithilfe von Ableitungen berechnet werden können.

Mehrere Variablen

Für reellwertige Funktionen mehrerer Variablen lautet der Mittelwertsatz ähnlich, aber mit dem Gradienten. Sei f: R^n -> R differenzierbar auf einer offenen, konvexen Menge G Teilmenge von D(f). Für x_1,x_2 in G mit x_1 != x_2 existiert mindestens ein x_0 auf der Verbindungsstrecke zwischen x_1 und x_2, aber nicht an den Endpunkten, sodass

f(x_2)-f(x_1)=∇f(x_0) · (x_2-x_1)

gilt. ∇f(x_0) ist der Gradient, also der Vektor der partiellen Ableitungen, und · bezeichnet das Skalarprodukt. Für n=1 ergibt sich der eindimensionale Mittelwertsatz. Geometrisch tritt die Sekantensteigung zwischen f(x_1) und f(x_2) an mindestens einer Stelle der Verbindungsstrecke als Steigung in Richtung des Vektors x_2-x_1 auf.

Der Beweis reduziert den Fall mehrerer Variablen auf eine eindimensionale Hilfsfunktion

h(t)=f(x_1+t(x_2-x_1))

für t in [0,1]. Auf h wird der eindimensionale Mittelwertsatz angewandt. Mit der Kettenregel erhält man

h'(t)=∇f(x_1+t(x_2-x_1)) · (x_2-x_1),

woraus die Behauptung folgt.

Für vektorwertige Funktionen f: R^n -> R^m reicht eine direkte Übertragung nicht aus. Zwar kann man den Mittelwertsatz auf die einzelnen Komponenten f_i anwenden, aber die passende Stelle auf der Strecke muss nicht für alle Komponenten dieselbe sein. Deshalb verwendet man eine lineare Abbildung A aus der abgeschlossenen konvexen Hülle der Ableitungen auf der Verbindungsstrecke. Bei beschränkten Ableitungen, also Jacobimatrizen, gilt

f(x_2)-f(x_1)=A · (x_2-x_1),

wobei A als Integral der Ableitungen entlang der Strecke beschrieben wird.

Wichtige Folgerungen

Aus dem Mittelwertsatz folgen mehrere Grundresultate der Analysis:

Der Schrankensatz: Ist f: [a,b] -> R stetig und auf (a,b) differenzierbar mit beschränkter Ableitung, dann gilt |f(x)-f(y)| <= L|x-y| für ein L in R_0^+. Dabei kann L = sup{|f'(x)|: x in (a,b)} gewählt werden. Damit lässt sich die Lipschitz-Stetigkeit vieler Funktionen beweisen.
Das Kriterium für Konstanz: Wenn f' ≡ 0 gilt, dann ist f konstant. Daraus folgt der Identitätssatz der Differentialrechnung: Zwei Funktionen mit identischer Ableitung unterscheiden sich nur um eine Konstante. Dieser Satz ist ein wesentlicher Bestandteil des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Außerdem folgt daraus eine Charakterisierung der Exponentialfunktion über die Differentialgleichung f'=f.
Das Monotoniekriterium: Für differenzierbare Funktionen besteht ein Zusammenhang zwischen dem Monotonieverhalten und dem Vorzeichen der Ableitung. Genauer ist f genau dann monoton steigend beziehungsweise fallend, wenn f' >= 0 beziehungsweise f' <= 0 ist. Daraus kann ein hinreichendes Kriterium für die Existenz eines Extremums in einem Punkt hergeleitet werden.
Vergleich zweier Funktionen: Für reelle Funktionen f,g: [a,b] -> R mit f(a)=g(a) und f'(x) <= g'(x) für x in (a,b) gilt f(x) <= g(x) für alle x in [a,b]. Der Beweis betrachtet f(x)-g(x) und wendet den Mittelwertsatz auf das Intervall von a bis x an.