Holomorphe Funktion

Grundbegriff und komplexe Differenzierbarkeit

Eine holomorphe Funktion ist eine komplexwertige Funktion f: U → ℂ, die auf einer offenen Menge U ⊂ ℂ in jedem Punkt komplex differenzierbar ist. Für z₀ ∈ U lautet die Definition

f′(z₀) = limₕ→0 (f(z₀+h) − f(z₀))/h.

Der Grenzübergang erfolgt aus jeder Richtung der komplexen Ebene. Diese stärkere Forderung als im Reellen führt dazu, dass holomorphe Funktionen lokal durch die lineare Funktion z ↦ f(z₀)+f′(z₀)(z−z₀) approximiert werden können. Ist U = ℂ, heißt f ganz.

Schreibt man z = x+iy und f(z)=u(x,y)+iv(x,y), so ist f genau dann holomorph, wenn u und v stetig reell differenzierbar sind und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen:

∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = −∂v/∂x.

Äquivalent sind unter anderem: einmalige komplexe Differenzierbarkeit überall, beliebig häufige Differenzierbarkeit, lokale Darstellung durch eine Potenzreihe, lokale Existenz einer Stammfunktion sowie die Cauchysche Integralformel. Holomorphe Funktionen werden mit 𝒪(U) bezeichnet.

Für komplexe Zahlen gilt z=x+iy mit Realteil x und Imaginärteil y; i²=−1. Die Norm ist |x+iy|=√(x²+y²), und offene Mengen enthalten um jeden ihrer Punkte eine offene Kreisscheibe. Die üblichen Ableitungsregeln – Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel – gelten auch im Komplexen.

Eine wichtige geometrische Folge ist die Winkeltreue: Nichtkonstante holomorphe Funktionen erhalten Winkel und Orientierung, außer an einer diskreten Menge von Punkten. Ist f′(z)≠0, wirkt die Ableitung lokal als Drehstreckung. Bei f(z)=zⁿ mit n≥2 werden im Nullpunkt Winkel ver-n-facht; dort liegt keine Winkeltreue vor.

Potenzreihen, Beispiele und Anwendungen

Holomorphe Funktionen sind analytisch: Um jeden Punkt c∈U besitzen sie eine Taylorentwicklung

f(z)=Σₙ₌₀∞ aₙ(z−c)ⁿ, aₙ=f⁽ⁿ⁾(c)/n!.

Die Reihe konvergiert in einer Kreisscheibe und auf kompakten Teilmengen absolut und gleichmäßig. Holomorphe Funktionen sind deshalb beliebig oft differenzierbar; auch jede Ableitung ist holomorph. Der Konvergenzradius einer Potenzreihe Σaₙ(z−c)ⁿ ist

R=1/(limsupₙ→∞ ⁿ√|aₙ|).

Für |z−c|<R konvergiert die Reihe, für |z−c|>R divergiert sie. Über den Rand macht R keine allgemeine Aussage: Σzⁿ konvergiert dort nirgends, Σzⁿ/n an jedem Randpunkt außer z=1, und Σzⁿ/n² an jedem Randpunkt.

Beispiele sind Polynome, die ganze Funktionen sind, die Exponentialfunktion eᶻ=Σₙ₌₀∞zⁿ/n!, Sinus und Kosinus sowie der Logarithmus in einem geeigneten Gebiet. Es gilt eᶻ⁺ʷ=eᶻeʷ, (eᶻ)′=eᶻ und Eulers Formel eⁱʷ=cos(w)+i sin(w); daher ist eᶻ 2πi-periodisch. Der Hauptzweig Log ist auf ℂ\ℝ≤0 definiert, erfüllt Log′(z)=1/z und Log(z)=log|z|+i Arg(z). Sinus und Kosinus sind ganz, Tangens und hyperbolische Tangens dagegen meromorph.

Typische Näherungen sind sin(z)≈z−z³/6 und für z nahe 25: √z≈5+(1/10)(z−25)−(1/1000)(z−25)².

Holomorphie ermöglicht auch die gliedweise Integration und Differentiation gleichmäßig konvergenter Reihen. Aus 1+z+z²+…=1/(1−z) folgt etwa 1+2z+3z²+…=1/(1−z)² und durch Integration −log(1−z)=z+z²/2+z³/3+… . Potenzreihen kodieren Folgen, etwa die Partitionszahlen p(n) in P(z)=Σp(n)zⁿ. Für sie erhielten Hardy und Ramanujan die asymptotische Formel p(n)≈[1/(4√3 n)]e^{π√(2n/3)}.

Kurvenintegrale, Cauchy-Sätze und Singularitäten

Im Komplexen wird über Kurven integriert. Für eine glatte Kurve γ:[0,1]→D ist

∫γ f(z) dz = ∫₀¹ f(γ(t))γ′(t) dt.

Besitzt f eine holomorphe Stammfunktion F, hängt das Integral nur von den Endpunkten ab: ∫γf(z)dz=F(b)−F(a). Auf einfach zusammenhängenden Gebieten, insbesondere Sterngebieten, besitzt jede holomorphe Funktion eine Stammfunktion. Auf ℂ{0} gilt dies für f(z)=1/z nicht. Der Cauchysche Integralsatz besagt auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet: ∫γf(z)dz=0 für jeden geschlossenen Weg. Nach dem Satz von Morera ist eine stetige Funktion holomorph, wenn ihre Integrale über alle enthaltenen Dreieckswege verschwinden.

Die Cauchysche Integralformel rekonstruiert Funktionswerte aus Randwerten:

f(z)=1/(2πi) ∮∂Bᵣ(a) f(w)/(w−z) dw,

und für k∈ℕ₀:

f⁽ᵏ⁾(z)=k!/(2πi) ∮∂Bᵣ(a) f(w)/(w−z)ᵏ⁺¹ dw.

Daraus folgen die Mittelwertgleichung, das Maximumprinzip und die Cauchyschen Ungleichungen |aₙ|≤M(r)/rⁿ.

Auf Ringgebieten werden holomorphe Funktionen durch Laurent-Reihen mit negativen und positiven Potenzen dargestellt: f(z)=Σₙ₌−∞∞aₙ(z−c)ⁿ. Isolierte Singularitäten haben genau drei Typen: Eine hebbare Singularität kann holomorph ergänzt werden, etwa (sin z)/z bei z=0. Eine Polstelle der Ordnung m hat die Form h(z)/(z−a)ᵐ mit h(a)≠0; dann gilt |f(z)|→∞. Eine wesentliche Singularität ist weder hebbar noch ein Pol, etwa exp(1/z). Nach Casorati-Weierstraß liegt das Bild in jeder punktierten Umgebung einer wesentlichen Singularität dicht in ℂ; nach dem großen Satz von Picard wird dort jeder Wert, bis auf höchstens einen, unendlich oft angenommen.

Das Residuum Res(f;c) ist der Koeffizient a₋₁ der Laurent-Reihe. Der Residuensatz lautet

(1/(2πi))∮γ f(z)dz=Σⱼ χ(γ;aⱼ)Res(f;aⱼ).

Damit lassen sich geschlossene Integrale, Null- und Polstellen sowie reelle Integrale berechnen, zum Beispiel ∫₋∞∞e⁻ᵗ²dt=√π.

Nullstellen, Abbildungen und zentrale Folgerungen

Der Identitätssatz besagt: Stimmen zwei holomorphe Funktionen auf einem Gebiet auf einer Menge mit einem Häufungspunkt im Gebiet überein, so sind sie überall gleich. Daher sind Nullstellen einer nichtkonstanten holomorphen Funktion lokal endlich und höchstens abzählbar. Der Satz von Rouché vergleicht Nullstellen: Gilt auf einer geschlossenen Kurve |g(z)|<|f(z)|, haben f und f+g im Inneren gleich viele Nullstellen, jeweils mit Vielfachheit. Die Jensensche Formel verbindet das Wachstum auf Kreisrändern mit der Nullstellenverteilung.

Eine nichtkonstante holomorphe Funktion bildet Gebiete auf Gebiete ab und ist daher eine offene Abbildung. Lokal sieht sie bis auf biholomorphe Koordinaten wie z↦zⁿ aus. Für n=1 ist sie lokal biholomorph. Das Maximumprinzip sagt, dass eine nichtkonstante holomorphe Funktion im Inneren kein lokales Betragsmaximum besitzt; ein Betragsminimum kann nur an einer Nullstelle liegen. Eine beschränkte ganze Funktion ist nach Liouville konstant. Daraus folgt der Fundamentalsatz der Algebra: Jedes nichtkonstante komplexe Polynom besitzt eine Nullstelle. Der kleine Satz von Picard verschärft dies: Eine nichtkonstante ganze Funktion nimmt jeden komplexen Wert bis auf höchstens einen an.

Das Schwarzsche Lemma gilt für f:𝔼→𝔼 mit f(0)=0: |f(z)|≤|z| und |f′(0)|≤1. Der Satz von Koebe besagt für injektive f:𝔼→ℂ mit f(0)=0 und f′(0)=1, dass B₁/₄(0)⊂f(𝔼), wobei 1/4 bestmöglich ist. Der Satz von Bloch liefert unter f(0)=0 und f′(0)=1 eine injektive Kreisscheibe, deren Bild eine Kreisscheibe mit Radius mindestens 1/72 enthält.

Meromorphe Funktionen sind holomorph bis auf diskrete Polstellen. Ihre Ordnung erfüllt ord(fg;a)=ord(f;a)+ord(g;a) und ord(f/g;a)=ord(f;a)−ord(g;a). Der Produktsatz von Weierstraß konstruiert ganze Funktionen mit vorgegebener diskreter Nullstellenmenge und vorgegebenen Vielfachheiten; der Satz von Mittag-Leffler konstruiert Funktionen mit vorgegebenen Hauptteilen an diskreten Singularitäten.

Der Riemannsche Abbildungssatz besagt, dass jedes einfach zusammenhängende Gebiet, das nicht ganz ℂ ist, biholomorph zur Einheitskreisscheibe 𝔼 ist. Automorphismen von ℂ sind genau f(z)=az+b mit a≠0; diejenigen von 𝔼 haben die Form ζ(z−a)/(1−āz) mit |a|<1 und |ζ|=1.

Folgen, Approximation, harmonische Funktionen und Anwendungen

Konvergiert eine Folge holomorpher Funktionen auf kompakten Teilmengen gleichmäßig, ist die Grenzfunktion holomorph und die Ableitung konvergiert ebenfalls kompakt gegen die Ableitung der Grenzfunktion (Weierstraßscher Konvergenzsatz). Normal konvergente Reihen holomorpher Funktionen stellen wieder holomorphe Funktionen dar. Auch Integrale f(z)=∫ₐᵇF(z,t)dt sind holomorph, wenn F stetig ist und für jedes t holomorph in z. Der Satz von Hurwitz beschreibt Nullstellen unter Konvergenz; der Satz von Montel liefert aus lokal beschränkten Folgen kompakt konvergente Teilfolgen. Der Satz von Vitali gibt Kriterien, wann punktweise Informationen bereits kompakte Konvergenz erzwingen.

Der Satz von Runge erlaubt, eine auf einer offenen Umgebung einer kompakten Menge holomorphe Funktion dort gleichmäßig durch rationale Funktionen mit Polstellen außerhalb der kompakten Menge zu approximieren. Unter der entsprechenden Zusammenhangsbedingung des Komplements ist auch Approximation durch Polynome möglich. Der Satz von Carleman geht weiter: Jede stetige Funktion f:ℝ→ℂ kann mit beliebig vorgegebener stetiger Fehlerfunktion ε(x)>0 durch eine ganze Funktion g so approximiert werden, dass |f(x)−g(x)|<ε(x) für alle x∈ℝ.

Der Real- und Imaginärteil jeder holomorphen Funktion ist harmonisch, erfüllt also Δu=uₓₓ+uᵧᵧ=0. Auf einem Elementargebiet besitzt jede harmonische Funktion lokal eine holomorphe Funktion als Realteil; der zugehörige Imaginärteil heißt konjugiert harmonisch.

Holomorphe Funktionen werden in der Zahlentheorie zur Untersuchung von Folgen, in der Berechnung reeller Integrale und unendlicher Reihen sowie in der theoretischen Physik, etwa bei Riemannschen Flächen und Stringtheorie, verwendet. Periodische holomorphe Funktionen auf Streifen besitzen Fourier-Reihen f(z)=Σₙ₌−∞∞aₙe²πinz. Auf Ringgebieten liefern Laurent-Reihen eine Grundlage für komplexe Fourier-Reihen und Modulformen. Die Cauchyschen Abschätzungen, der Satz von Liouville, der Satz von Phragmén-Lindelöf und der Dreikreisesatz kontrollieren Wachstum und Werteverteilung.

Analytische Fortsetzung und asymptotische Entwicklungen

Eine Taylorreihe kann über ihren ursprünglichen Definitionsbereich hinausreichen. In diesem Fall spricht man von analytischer Fortsetzung. Sie ist eindeutig, sobald die Ausgangsdaten auf einer Menge mit Häufungspunkt in einem Gebiet festgelegt sind; dies folgt aus dem Identitätssatz. Fortsetzung entlang homotoper Wege liefert nach dem Monodromiesatz denselben Wert. Das Schwarzsche Spiegelungsprinzip erlaubt die Fortsetzung über die reelle Achse, wenn das Gebiet symmetrisch ist, die Funktion am Rand reelle Werte annimmt und auf einer Seite holomorph ist.

Das Holomorphiegebiet einer Funktion ist ein Gebiet, in dem die Konvergenzkreisscheibe jeder Taylorreihe vollständig im Gebiet liegt. Es ist ein maximales Gebiet der analytischen Darstellbarkeit. Das Gebiet ℂ ist etwa Holomorphiegebiet von z, ℂ{0} von 1/z und 𝔼 von Σₙ₌₀∞z²ⁿ. Der Lückensatz gibt für Potenzreihen mit hinreichend großen Lücken zwischen den Exponenten ein Kriterium dafür, dass die offene Konvergenzkreisscheibe genau das Holomorphiegebiet ist.

Eine formale Potenzreihe Σaₙzⁿ heißt asymptotische Entwicklung von f auf einem Gebiet D mit 0∈∂D, wenn für jedes k∈ℕ₀ gilt:

lim(z→0,z∈D) z⁻ᵏ(f(z)−Σₙ₌₀ᵏaₙzⁿ)=0.

Eine solche Entwicklung ist höchstens einmalig. Ihre Existenz hängt stark von D ab: exp(1/z) besitzt auf ℂ× keine asymptotische Entwicklung, wohl aber auf geeigneten Kreissektoren. Bei gleichmäßiger asymptotischer Entwicklung darf gliedweise differenziert werden. Der Satz von Ritt sagt, dass auf jedem echten Kreissektor jede formale Potenzreihe als asymptotische Entwicklung einer dort holomorphen Funktion auftritt.

Holomorphe Methoden liefern außerdem Summenformeln für Reihen wie Σₘ₌₀∞f(w(m+a)) bei w→0. Unter geeigneten Wachstumsbedingungen entstehen dabei Integralterme, Bernoulli-Polynome, Ableitungen von f und kontrollierte Restglieder; bei einem einfachen Pol im Ursprung tritt zusätzlich ein Term mit Log(1/w)/w auf.