Wohldefiniertheit

Grundidee und Prüfung der Wohldefiniertheit

Wohldefiniertheit bedeutet in Mathematik und Informatik, dass ein Objekt eindeutig festgelegt ist. Ein wohldefinierter Ausdruck liefert definitionsgemäß genau einen Wert beziehungsweise genau eine Interpretationsmöglichkeit. Im weiteren Sinn kann Wohldefiniertheit auch bedeuten, dass eine Definition widerspruchsfrei und formal korrekt ist.

Eine mathematische Definition kann explizit durch eine Gleichung oder implizit durch eine charakteristische Eigenschaft erfolgen. Bei einer impliziten Definition wird zunächst häufig eine Relation als Untermenge eines kartesischen Produkts angegeben. Soll diese Relation beispielsweise eine Funktion oder Verknüpfung sein, muss zusätzlich bewiesen werden, dass sie die dafür nötigen Eigenschaften besitzt. Erst dann ist das Objekt als Funktion oder Verknüpfung wohldefiniert.

Für eine Funktion mit Definitionsmenge und Wertemenge sind insbesondere zwei Bedingungen wichtig: Linkstotalität bedeutet, dass zu jedem Element der Definitionsmenge mindestens ein Wert existiert. Rechtseindeutigkeit bedeutet, dass zu jedem solchen Element höchstens ein Wert gehört. Zusammen gewährleisten beide Eigenschaften, dass genau ein Funktionswert vorliegt.

Ein anschauliches Beispiel ist eine Ziegenart, die als „Säugetier mit Hörnern, mit Eigenschaft A“ beschrieben wird. Diese Definition ist als Ziegenart nicht eindeutig, wenn auch andere Säugetiere die Eigenschaft A besitzen können. Wird dagegen nachgewiesen, dass Eigenschaft A ausschließlich bei Ziegen auftritt, ist die Art eindeutig definiert.

Funktionen durch Relationen: drei Beispiele

Betrachtet werden drei angebliche Funktionen, die durch y² = x beschrieben sind:

• Für alle x ∈ ℝ₊₀ sei f₁(x) diejenige Zahl y ∈ ℝ₊₀, für die y² = x gilt. Zu jedem x existiert genau ein solches y. Die Quadratfunktion von ℝ₊₀ nach ℝ₊₀ ist bijektiv; daher ist f₁ wohldefiniert und die Quadratwurzelfunktion.

• Für alle x ∈ ℝ sei f₂(x) diejenige Zahl y ∈ ℝ, für die y² = x gilt. Diese Relation ist nicht linkstotal: Für x = −1 gibt es kein y ∈ ℝ mit y² = −1. Deshalb ist f₂ als Funktion nicht wohldefiniert und keine Funktion.

• Für alle x ∈ ℝ₊₀ sei f₃(x) diejenige Zahl y ∈ ℝ, für die y² = x gilt. Diese Relation ist nicht rechtseindeutig, denn für x = 4 gelten y₁² = 4 = y₂² mit y₁ = 2 und y₂ = −2. Die Eindeutigkeit ist verletzt; f₃ ist daher als Funktion nicht wohldefiniert.

Die Anführungszeichen bei „definiert“ lassen sich vermeiden, wenn man zunächst nur die jeweilige zweistellige Relation bildet. Anschließend wird geprüft, ob sie linkstotal und rechtseindeutig ist. Dieser zweite Schritt ist genau die Prüfung der Wohldefiniertheit. Der Begriff ist damit für die Bildung der Objekte nicht zwingend erforderlich, wird aber verwendet, weil mathematische Texte die Funktionseigenschaft häufig schon in der Definition vorwegnehmen.

Repräsentantenunabhängigkeit

Wohldefiniertheit wird häufig als Repräsentantenunabhängigkeit beschrieben. Das ist besonders wichtig, wenn die Argumente Äquivalenzklassen sind. Ein Repräsentant ist ein Element, das eine Äquivalenzklasse darstellt. Hat ein Element mehrere Darstellungen, muss der zugeordnete Funktionswert unabhängig von der gewählten Darstellung sein.

Die angebliche Funktion f: ℚ → ℤ, a/b ↦ a, soll jeder rationalen Zahl ihren Zähler zuordnen. Da 1/2 = 2/4 gilt, müsste dann 1 = f(1/2) = f(2/4) = 2 gelten. Das ist widersprüchlich. Die Definition ist daher nicht wohldefiniert. Der Bruch a/b steht für die Äquivalenzklasse [(a,b)] aller Paare (x,y), für die ay = xb gilt. Die Klasse [(1,2)] besitzt beispielsweise die Repräsentanten (1,2) und (2,4), die unterschiedliche Zähler liefern.

Allgemein muss eine Funktion f: A → B bei mehreren Darstellungen eines Elements a ∈ A stets denselben Wert f(a) liefern. Die Zuordnung f: ℚ \ {0} → ℚ \ {0}, a/b ↦ b/a, erfüllt diese Bedingung.

Die Repräsentantenunabhängigkeit ist auch bei induzierten Abbildungen und induzierten Verknüpfungen nachzuweisen.

Induzierte Abbildungen und Verknüpfungen

Seien A₁ und A₂ Mengen mit Äquivalenzrelationen ∼₁ beziehungsweise ∼₂. Die Äquivalenzklasse von a₁ ∈ A₁ ist [a₁]₁ = {a | a ∼₁ a₁}; entsprechend wird [a₂]₂ definiert. Die Faktormenge ist A₁/∼₁ = {[a₁]₁ | a₁ ∈ A₁}.

Aus einer Funktion f: A₁ → A₂ lässt sich die Relation f̃ = {([a₁]₁, [f(a₁)]₂) | a₁ ∈ A₁} auf den Faktormengen bilden. Sie ist genau dann eine wohldefinierte Abbildung, wenn gilt: ∀x,y ∈ A₁: ([x]₁ = [y]₁ ⇒ [f(x)]₂ = [f(y)]₂).

Diese Bedingung besagt, dass gleiche Äquivalenzklassen im Ausgangsbereich auf gleiche Äquivalenzklassen im Zielbereich abgebildet werden. Beispielsweise ist die durch x ∼₁ y genau dann definierte Relation, wenn (x − y)/3 ∈ ℤ, zusammen mit der Paritätsfunktion f: ℤ → {0,1} nicht repräsentantenunabhängig. Es gilt [5]₁ = [8]₁, aber f̃([5]₁) = [1]₂ ≠ [0]₂ = f̃([8]₁). Die induzierte Relation ist deshalb keine Abbildung.

Beim reellen Kosinus sei x ∼₁ y genau dann, wenn (x − y)/(2π) ∈ ℤ, während ∼₂ die gewöhnliche Gleichheit ist. Dann ist f̃: ℝ/∼₁ → ℝ/∼₂, [x]₁ ↦ [cos(x)]₂, wohldefiniert. Aus [x]₁ = [y]₁ folgt x = y + k·2π für ein k ∈ ℤ; wegen der Periode 2π des Kosinus gilt cos(x) = cos(y).

Für eine nichtleere Menge A mit Äquivalenzrelation ∼ und innerer Verknüpfung : A × A → A wird die Relation ̃ = {([a], [b], [ab]) | a,b ∈ A} auf der Faktormenge gebildet. Sie ist genau dann eine Verknüpfung, wenn für alle a₁,a₂,b₁,b₂ ∈ A aus a₁ ∼ a₂ und b₁ ∼ b₂ folgt: a₁b₁ ∼ a₂*b₂.

Die Potenzverknüpfung p: ℤ/3ℤ × ℤ/3ℤ → ℤ/3ℤ mit p([a],[b]) := [|a|^{|b|}] ist nicht wohldefiniert. Zwar gilt [5] = [2] und [3] = [6], aber p([5],[3]) = [125] = [2] und p([2],[6]) = [64] = [1]. Auch auf S₃/U mit U = {id,(1,2)} ist die induzierte Verknüpfung nicht wohldefiniert: [id] = [(1,2)], jedoch [(1,2)(1,3,2)] = [(1,3)] ≠ [(1,3,2)] = [id(1,3,2)].

Dagegen sind Addition und Multiplikation in ℤ/nℤ für n ∈ ℕ wohldefiniert. Ist N ein Normalteiler der Gruppe G, so ist auch die induzierte Verknüpfung auf G/N wohldefiniert; G/N heißt dann Faktorgruppe von G nach N. Die Eigenschaft, Normalteiler zu sein, ist äquivalent zur Wohldefiniertheit dieser induzierten Gruppenverknüpfung.

Notation, Definitions- und Wertebereich

Wohldefiniertheit betrifft auch unklammerte mathematische Schreibweisen. Für reelle Zahlen ist abc eindeutig, weil (ab)c = a(bc) gilt; die Multiplikation ist assoziativ. Das gilt auch für Quaternionen, obwohl deren Multiplikation nicht kommutativ ist. Die Subtraktion ist zwar nicht assoziativ, aber a − b − c ist durch −b := + (−b) eindeutig festgelegt. Für reelle Zahlen x und y ≠ 0 ist x/y als xy⁻¹ = y⁻¹x wohldefiniert. Bei den nichtkommutativen Quaternionen gilt diese Quotientenschreibweise dagegen als nicht wohldefiniert.

In Programmiersprachen können Operatorrangfolge und Assoziativität ebenfalls Eindeutigkeit herstellen. In C ist der Subtraktionsoperator − linksassoziativ: a−b−c = (a−b)−c. Der Zuweisungsoperator = ist rechtsassoziativ: a=b=c bedeutet a=(b=c). In APL werden zuerst die Klammern und anschließend die übrigen Ausdrücke von rechts nach links ausgewertet.

Im weiteren Sinn ist eine Definition wohldefiniert, wenn sie sinnvoll, vollständig und widerspruchsfrei ist. Der Definitionsbereich einer Funktion muss so gewählt sein, dass jeder angegebene Wert erklärt ist. Für f: D → ℝ, x ↦ 1/x darf 0 nicht in D liegen, weil durch Nullteilen in ℝ nicht erklärt ist. Mit D := ℝ \ {0} ist die Funktion wohldefiniert. Ebenso ist x ↦ √x von ℝ nach ℝ nicht wohldefiniert, während √x für f: ℝ₊₀ → ℝ wohldefiniert ist.

Auch der Wertebereich muss passen. Die Zuordnung f: ℤ → ℕ, x ↦ x ist nicht wohldefiniert, weil etwa f(−2) = −2 gelten würde, aber −2 ∉ ℕ. Umgekehrt kann die Einschränkung des Wertebereichs eine implizit beschriebene Funktion eindeutig machen. Für die Relation tan y = x gibt es wegen tan(y+nπ) = tan y unendlich viele y-Werte. Beschränkt man den Wertebereich auf (−π/2, π/2), erhält man die wohldefinierte Funktion f: ℝ → ℝ, x ↦ arctan x.

Innere Verknüpfungen in einer algebraischen Struktur, etwa einer Gruppe G, sind ebenfalls Funktionen. Ihr Ergebnis muss daher eindeutig bestimmt und wieder ein Element von G sein. Dafür wird manchmal fälschlicherweise der Begriff „Abgeschlossenheit“ verwendet; dieser bezieht sich auf die Definition von Unterstrukturen. Eine Menge ist wohldefiniert, wenn für jedes beliebige Objekt eindeutig feststeht, ob es Element der Menge ist oder nicht.