Rationale Funktion

Grundidee und Einteilung

Eine rationale Funktion ist eine Funktion, die als Quotient zweier Polynomfunktionen geschrieben werden kann: f(x) = P_m(x) / Q_n(x). Dabei sind P_m und Q_n Polynome mit Graden m und n. In ausgeschriebener Form lautet das f(x) = (a_m x^m + a_{m-1}x^{m-1} + ... + a_1x + a_0) / (b_n x^n + b_{n-1}x^{n-1} + ... + b_1x + b_0). Die Koeffizienten können reelle oder komplexe Zahlen sein; allgemeiner sind auch Elemente eines beliebigen Körpers möglich. Wichtig ist: Das Nennerpolynom Q_n darf nicht das Nullpolynom sein, und die höchsten Koeffizienten a_m und b_n sollen nicht null sein.

Man unterscheidet verschiedene Typen. Ist der Nennergrad n = 0, also der Nenner nur eine Konstante ungleich 0, spricht man von einer ganzrationalen Funktion; das ist einfach eine Polynomfunktion. Muss der Funktionsterm mit einem Nennerpolynom vom Grad n > 0 dargestellt werden, heißt die Funktion gebrochenrational. Gilt zusätzlich m < n, ist sie echt gebrochenrational. Gilt n > 0 und m >= n, ist sie unecht gebrochenrational. Eine unecht gebrochenrationale Funktion kann durch Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion zerlegt werden.

Definitionsbereich, Nullstellen und Polstellen

Bei einer gebrochenrationalen Funktion f = p/q ist die Funktion an den Nullstellen des Nennerpolynoms q nicht definiert. Der Definitionsbereich besteht also aus allen reellen Zahlen außer den Stellen, an denen q(x) = 0 gilt. Die Nullstellen der gesamten Funktion entstehen durch diejenigen Nullstellen des Zählerpolynoms p, die wirklich im Definitionsbereich liegen.

Ein wichtiger Spezialfall liegt vor, wenn eine Zahl a sowohl Nullstelle des Zählerpolynoms als auch des Nennerpolynoms ist. Dann enthalten Zähler und Nenner den Linearfaktor x - a, eventuell mehrfach. Der Funktionsterm kann dann um diesen Faktor gekürzt werden. Kommt x - a im Nenner n-mal öfter vor als im Zähler, wobei n > 0 ist, liegt eine Polstelle vor; n heißt die Vielfachheit der Polstelle. Andernfalls hat die Funktion an der Stelle a eine stetig hebbare Definitionslücke, das heißt, man kann sie dort passend ergänzen, sodass sie stetig wird.

Beispiel: f(x) = (x - 1)/(2x - 4)^2 hat den Definitionsbereich R \ {2}. Die Funktion hat die Nullstelle x = 1, und x = 2 ist eine doppelte Polstelle. Bei f(x) = (x^2 - x)/(x^2 - 1) ist der ursprüngliche Definitionsbereich R \ {±1}. Durch Faktorisieren erhält man x(x - 1)/((x + 1)(x - 1)) und nach Kürzen x/(x + 1). Daher ist x = -1 eine einfache Polstelle, x = 1 eine stetig behebbare Definitionslücke und x = 0 eine Nullstelle.

Asymptoten und Verhalten im Unendlichen

Für das Verhalten einer rationalen Funktion f(x) = P_m(x)/Q_n(x) für x gegen unendlich sind die Grade m und n entscheidend. Wenn m > n gilt, wächst f(x) für x -> unendlich gegen sgn(a_m/b_n) · unendlich, wobei sgn die Vorzeichenfunktion ist. Wenn m = n gilt, nähert sich f(x) dem Wert a_m/b_n; die Asymptote ist dann waagrecht und parallel zur x-Achse. Wenn m < n gilt, nähert sich f(x) dem Wert 0; die x-Achse ist waagrechte Asymptote.

Für x -> -unendlich ist in den Fällen m = n und m < n derselbe Grenzwert wie für x -> unendlich. Im Fall m > n kommt es darauf an, ob m - n gerade oder ungerade ist. Ist m - n gerade, bleibt das Vorzeichen gleich. Ist m - n ungerade, wechselt das Vorzeichen.

Mit Polynomdivision kann man f genauer untersuchen. Man schreibt p(x) = g(x) · q(x) + r(x), wobei der Grad von r kleiner als der Grad von q ist. Daraus folgt f(x) = g(x) + r(x)/q(x). Das asymptotische Verhalten von f ist dann dasselbe wie das der ganzrationalen Asymptotenfunktion g(x), denn r(x)/q(x) spielt für das Verhalten im Unendlichen keine Rolle. Für m < n ist g(x) = 0. Für m = n ist g(x) = a_m/b_n. Für m = n + 1 entsteht eine schräge Asymptote g(x) = bx + c mit b = a_m/b_n und c = a_{m-1}/b_n - (a_m b_{n-1})/b_n^2. Für m > n + 1 ist g(x) ein Polynom vom Grad m - n mit Leitkoeffizient a_m/b_n.

Symmetrie, Ableitung und Stammfunktion

Bei der Symmetrie kann man Zähler- und Nennerpolynom betrachten. Eine Polynomfunktion ist gerade, wenn nur gerade Exponenten vorkommen, und ungerade, wenn nur ungerade Exponenten vorkommen. Sind Zähler p und Nenner q beide gerade oder beide ungerade, ist die rationale Funktion f gerade; ihr Graph ist symmetrisch zur y-Achse. Ist p gerade und q ungerade oder umgekehrt, ist f ungerade; der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. In anderen Fällen ist Symmetrie schwieriger zu erkennen. So ist f(x) = x/(x - 1) nicht sofort als symmetrisch erkennbar, der Graph ist aber symmetrisch zum Punkt P(1|1).

Zum Ableiten gebrochenrationaler Funktionen verwendet man im Allgemeinen die Quotientenregel. Oft ist zusätzlich die Kettenregel hilfreich, etwa wenn im Nenner eine Potenz eines Binoms steht. Vor dem Ableiten kann es sinnvoll sein, den Term durch Polynomdivision umzuschreiben und anschließend zu kürzen. Beispiel: Bei f(x) = (2x - 1)/(x^2 + 1)^2 ergibt sich nach Anwendung von Quotienten- und Kettenregel sowie Kürzen f'(x) = (-6x^2 + 4x + 2)/(x^2 + 1)^3.

Stammfunktionen gebrochenrationaler Funktionen sind oft schwieriger zu finden als bei ganzrationalen Funktionen. Hilfreich sind Umformungen, Substitutionen, Polynomdivision und Partialbruchzerlegung. Wichtige Regeln sind zum Beispiel: ∫ 1/(mx + a) dx = (1/m) ln(mx + a) + C für m ≠ 0, ∫ 1/(x^2 + 1) dx = arctan(x) + C oder -arccot(x) + C, und ∫ u'(x)/u(x) dx = ln|u(x)| + C für u(x) ≠ 0. Ein Beispiel ist f(x) = (5x - 1)/(3x + 2). Durch Polynomdivision erhält man f(x) = 5/3 - 13/(9x + 6), daraus folgt als Stammfunktion F(x) = (5/3)x - (13/9)ln(9x + 6).

Mehrere Variablen und Anwendungen

Rationale Funktionen gibt es auch in mehreren Variablen. Eine rationale Funktion in x_1, ..., x_n hat die Form f(x_1, ..., x_n) = P(x_1, ..., x_n)/Q(x_1, ..., x_n), wobei P und Q Polynome in diesen Variablen sind und Q nicht null ist. Beispiele sind f(x_1, ..., x_n) = (x_1^2 + ... + x_n^2)/(1 - x_1...x_n), f(x,y) = xy/(x + y) und f(m,M) = (m/(2M + m))g. Der Definitionsbereich besteht aus den Punkten, die entweder keine Nullstelle von Q sind oder bei denen die Vielfachheit als Nullstelle von P mindestens so groß ist wie die Vielfachheit als Nullstelle von Q. Rationale Funktionen sind in allen Punkten ihres Definitionsbereiches stetig.

Rationale Funktionen treten häufig in Naturwissenschaft und Technik auf. Viele Zusammenhänge sind umgekehrt proportional, also von der Form Konstante geteilt durch eine lineare Größe. Beispiele sind die benötigte Zeit für eine feste Strecke s in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v: t(v) = s/v, die Konzentration c bei fester Stoffmenge n in Abhängigkeit vom Volumen V: C(V) = n/V, und die Beschleunigung bei fester Kraft F in Abhängigkeit von der Masse m: a(m) = F/m.

Weitere Anwendungen sind Formeln mit zwei Größen im Nenner oder Zähler. In der Optik beschreibt die Linsengleichung die Brennweite durch f(g;b) = gb/(g + b). Für den Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung zweier Widerstände gilt R = R_1R_2/(R_1 + R_2). Bei einem Spannungsteiler ist U(R) = U_0R/(R + R'). Bei einer Wirbelstrombremse gilt B(v) = av/(b + v^2). Auch geometrische Aufgaben können auf rationale Funktionen führen, etwa der Oberflächeninhalt O(r) = ((π + 4)r^3 + 2V)/r bei einer bestimmten Truhenform mit gegebenem Volumen V.

Abstrakte Algebra

In der abstrakten Algebra wird der Begriff etwas allgemeiner und nicht ganz gleich verwendet. Eine rationale Funktion in n Variablen X_1, X_2, ..., X_n über einem Körper K ist dort ein Element des Quotientenkörpers des Polynomrings K[X_1, X_2, ..., X_n]. Dieser Quotientenkörper heißt rationaler Funktionenkörper. In diesem Sinn ist eine rationale Funktion im Allgemeinen nicht unbedingt eine Funktion, in die man Werte einsetzen kann, sondern ein formaler Bruch aus zwei Polynomen.

Der Unterschied zeigt sich besonders über endlichen Körpern. Für jede Primzahl p ist über dem endlichen Körper F_p der Bruch 1/(X^p - X) eine wohldefinierte rationale Funktion in der Variablen X, aber keine Funktion im üblichen Sinn, weil für jedes x aus F_p der Nenner x^p - x nach dem kleinen Fermatschen Satz gleich 0 ist. Über unendlichen Körpern ist eine rationale Funktion dagegen immer eine Funktion mit höchstens einer vergleichsweise kleinen Definitionslücke; dieser Gedanke wird durch die Zariski-Topologie formalisiert.

Auf einer algebraischen Varietät V, die durch Polynome definiert ist, betrachtet man den Ring der ganzen Funktionen k[x_1, ..., x_n]/I(V). Dabei ist I(V) die Menge aller Polynome, die auf allen Punkten von V verschwinden. Der Körper der rationalen Funktionen auf V ist der Quotientenkörper dieses Rings. Rationale Funktionen sind außerdem ein Spezialfall rationaler Abbildungen von einer Varietät nach A^1.