Polynom vierten Grades

Begriff und Verallgemeinerungen

Ein Polynom vierten Grades ist in einer Variablen ein Ausdruck der Form f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e mit a≠0. Der Koeffizient a ist der führende Koeffizient und darf nicht null sein. Die zugehörige Abbildung f:ℝ→ℝ heißt quartische Funktion. Eine quartische Gleichung oder Gleichung vierten Grades hat die Form ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 mit a≠0. Eine biquadratische Funktion beziehungsweise Gleichung ist ein Spezialfall mit b=0 und d=0; sie enthält also keine Terme dritten oder ersten Grades.

Allgemeiner kann man Polynome vierten Grades über einem beliebigen Ring R betrachten. Sie gehören dann zu R[x] und haben die Form ax⁴+bx³+cx²+dx+e mit a,b,c,d,e∈R und a≠0. Formal sind dies Elemente des Polynomrings vom Grad 4; sie definieren Abbildungen von R nach R. Ist R ein algebraisch abgeschlossener Körper, zerfällt jedes Polynom vierten Grades als Produkt von vier Linearfaktoren.

In n Variablen bestehen quartische Polynome aus Termen vom Gesamtgrad 4, 3, 2 und 1 sowie einer Konstanten. Ihre allgemeine Form ist ∑{i,j,k,l=1}ⁿ a{i,j,k,l}xᵢxⱼxₖxₗ + ∑{i,j,k=1}ⁿ b{i,j,k}xᵢxⱼxₖ + ∑{i,j=1}ⁿ c{i,j}xᵢxⱼ + ∑{i=1}ⁿ dᵢxᵢ + e ∈ R[x₁,…,xₙ], wobei nicht alle a{i,j,k,l} null sein dürfen. Diese Polynome definieren Abbildungen von Rⁿ nach R. Ihre Nullstellenmengen heißen für n=2 quartische Kurven und für n=3 quartische Flächen.

Verhalten und Nullstellen

Für eine quartische Funktion f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e bestimmt das Vorzeichen von a das Verhalten an beiden Enden des Graphen. Weil der Grad gerade ist, zeigen beide Enden in dieselbe Richtung:

Ist a>0, gilt lim_{x→+∞} f(x)=+∞ und lim_{x→−∞} f(x)=+∞. Ist a<0, gilt lim_{x→+∞} f(x)=−∞ und lim_{x→−∞} f(x)=−∞.

Ein Polynom vierten Grades hat höchstens vier Nullstellen. Es kann auch keine reellen Nullstellen besitzen. Zählt man Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit, besitzt es genau vier komplexe Nullstellen. Falls alle Nullstellen reell sind, ist die Diskriminante nichtnegativ. Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Das Polynom x⁴+4 hat eine positive Diskriminante, aber keine reellen Nullstellen.

Für die komplexen Nullstellen existiert eine Lösungsformel für quartische Gleichungen. Reelle Nullstellen können beispielsweise numerisch mit dem Newton-Verfahren bestimmt werden.

Differentialeigenschaften

Als Polynomfunktion ist eine quartische Funktion beliebig oft differenzierbar. Ihre erste Ableitung ist die kubische Funktion f′(x)=4ax³+3bx²+2cx+d. Hat diese kubische Funktion eine positive Diskriminante, dann besitzt f genau drei lokale Extrema. Für a>0 sind dies ein lokales Maximum und zwei lokale Minima. Für a<0 sind es zwei lokale Maxima und ein lokales Minimum.

Eine quartische Funktion besitzt höchstens zwei Wendepunkte. Ein Wendepunkt hat die Form (x_W;f(x_W)). Die möglichen Wendestellen x_W sind die Nullstellen der zweiten Ableitung f″(x)=12ax²+6bx+2c.

Natur der Lösungen

Für die quartische Gleichung ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 mit reellen Koeffizienten a,b,c,d,e und a≠0 wird die Natur ihrer Lösungen im Wesentlichen durch das Vorzeichen der Diskriminante Δ beschrieben. Die Diskriminante lautet: Δ=256a³e³−192a²bde²−128a²c²e²+144a²cd²e−27a²d⁴+144ab²ce²−6ab²d²e−80abc²de+18abcd³+16ac⁴e−4ac³d²−27b⁴e²+18b³cde−4b³d³−4b²c³e+b²c²d².

Für eine vollständige Aussage darüber, wie viele Nullstellen reell und wie viele echt komplex sind, müssen zusätzlich vier weitere Polynome betrachtet werden. Das Vorzeichen der Diskriminante allein liefert daher nicht in jedem Fall die gesamte Information über die Verteilung der Lösungen. Insbesondere folgt aus einer positiven Diskriminante nicht zwingend, dass reelle Nullstellen vorhanden sind; x⁴+4 ist dafür ein Beispiel.

Lösung durch Radikale

Die vier Wurzeln x₁, x₂, x₃ und x₄ der allgemeinen Gleichung ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 mit a≠0 können durch Radikale, also durch Wurzel- und Rechenausdrücke, angegeben werden: x₁,₂=−b/(4a)−S ± 1/2·√(−4S²−2p+q/S), x₃,₄=−b/(4a)+S ± 1/2·√(−4S²−2p−q/S).

Dabei gelten p=(8ac−3b²)/(8a²), q=(b³−4abc+8a²d)/(8a³), S=1/2·√(−(2/3)p+(1/(3a))(Q+Δ₀/Q)), Q=∛((Δ₁+√(Δ₁²−4Δ₀³))/2).

Die weiteren Größen sind Δ₀=c²−3bd+12ae und Δ₁=2c³−9bcd+27b²e+27ad²−72ace. Zwischen ihnen und der Diskriminante besteht die Beziehung Δ₁²−4Δ₀³=−27Δ. Für die in Q vorkommende dritte Wurzel darf jede beliebige komplexe dritte Wurzel verwendet werden. Die vollständige Formel ist allerdings sehr kompliziert und deshalb in der praktischen Anwendung nur eingeschränkt nützlich.

Sonderfälle müssen beachtet werden. Falls Δ≠0 und Δ₀=0, muss das Vorzeichen von √(Δ₁²−4Δ₀³)=√(Δ₁²) so gewählt werden, dass Q≠0 gilt. Falls S=0 ist, muss die Wahl der dritten Wurzel in Q so geändert werden, dass S≠0 wird. Das ist immer möglich, außer wenn das Polynom als (x+b/(4a))⁴ faktorisiert werden kann. In diesem Ausnahmefall ergeben sich die Lösungen unmittelbar aus dieser Faktorisierung.