Quartische Gleichung

Begriff und Grundstruktur

Eine quartische Gleichung ist eine algebraische Gleichung 4. Grades. Sie lässt sich in die Form

Ax⁴ + Bx³ + Cx² + Dx + E = 0

bringen, wobei A, B, C, D und E Koeffizienten und A ≠ 0 sind. Gesucht werden die Nullstellen oder Wurzeln des Polynoms. Die Koeffizienten können reelle oder komplexe Zahlen sein; grundsätzlich sind auch Koeffizienten aus anderen Körpern möglich.

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt eine quartische Gleichung über den komplexen Zahlen insgesamt vier Lösungen, wobei Lösungen mehrfach vorkommen können. Bis auf die Reihenfolge lässt sie sich daher in vier Linearfaktoren zerlegen:

A(x − x₁)(x − x₂)(x − x₃)(x − x₄) = 0.

Bei reellen Koeffizienten treten nicht reelle Lösungen immer paarweise als komplex konjugierte Zahlen auf. Deshalb gibt es genau drei grundlegende Verteilungen: vier reelle Lösungen, zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen oder zwei Paare konjugiert komplexer Lösungen.

Für quartische Gleichungen existiert eine allgemeine Lösungsformel, die nur die vier Grundrechenarten und Wurzeln verwendet. Ihre prinzipielle Bedeutung liegt vor allem in der Algebra und Körpertheorie; für numerische Näherungswerte sind Verfahren wie das Newtonverfahren meist schneller.

Einfach lösbare Spezialfälle

Wenn B = 0 und D = 0 gilt, liegt die in der Schulmathematik häufigste Form vor:

Ax⁴ + Cx² + E = 0.

Mit der Substitution z = x² entsteht die quadratische Gleichung

Az² + Cz + E = 0.

Deren Lösungen sind

z₁,₂ = (−C ± √(C² − 4AE)) / (2A).

Für reelle Koeffizienten bestimmt die Diskriminante C² − 4AE die Anzahl der reellen z-Werte. Bei positiver Diskriminante gibt es zwei verschiedene reelle Werte, bei Diskriminante 0 einen doppelten Wert und bei negativer Diskriminante keinen reellen Wert. Aus den nichtnegativen z-Werten erhält man die reellen Lösungen der ursprünglichen Gleichung durch

x₁,₂ = ±√z₁ und x₃,₄ = ±√z₂.

Beispiel: 2x⁴ + 6x² − 20 = 0 führt zu 2z² + 6z − 20 = 0 und damit zu z₁ = 2 sowie z₂ = −5. Nur z₁ liefert reelle Lösungen; die Lösungsmenge ist L = {+√2, −√2}.

Bei komplexen Koeffizienten gelten dieselben Formeln, aber z₁ und z₂ sind im Allgemeinen komplex. In ℂ muss jeweils beide möglichen Quadratwurzeln berücksichtigt werden; eine reelle Fallunterscheidung ist dann nicht erforderlich. Insgesamt gibt es vier komplexe Lösungen, die zusammenfallen können.

Ist E = 0, so ist x = 0 eine Lösung. Man kann x ausklammern:

x(Ax³ + Bx² + Cx + D) = 0.

Die übrigen drei Lösungen erhält man aus der kubischen Gleichung Ax³ + Bx² + Cx + D = 0.

Normalisierung und allgemeine Lösung

Für eine allgemeine quartische Gleichung wird zunächst durch die Substitution

x = u − B/(4A)

der kubische Term beseitigt. Gleichzeitig wird durch Division durch A der führende Koeffizient auf 1 gesetzt. Mit

α = −3B²/(8A²) + C/A, β = B³/(8A³) − BC/(2A²) + D/A, γ = −3B⁴/(256A⁴) + B²C/(16A³) − BD/(4A²) + E/A

entsteht die reduzierte Gleichung

u⁴ + αu² + βu + γ = 0.

Nach der Lösung werden die ursprünglichen Nullstellen durch x = u − B/(4A) zurückgewonnen.

Die Methode von Ferrari führt die reduzierte Gleichung auf eine kubische Hilfsgleichung und anschließend auf zwei quadratische Gleichungen zurück. Durch geeignete Ergänzung erhält man zunächst

(u² + z)² = (2z − α)u² − βu + (z² − γ).

Damit die rechte Seite ein vollständiges Quadrat ist, muss gelten:

β² − 4(2z − α)(z² − γ) = 0.

Diese kubische Gleichung heißt kubische Resolventengleichung. Eine ihrer Lösungen z kann beispielsweise mit der Formel von Cardano bestimmt werden. Danach zerfällt das Problem in zwei quadratische Gleichungen für u.

In einer zusammengefassten Variante werden zunächst

P = −α²/12 − γ, Q = −α³/108 + αγ/3 − β²/8

berechnet. Dann gilt

y = −5α/6 − ∛Q für P = 0,

y = −5α/6 + U − P/(3U) für P ≠ 0,

wobei U = ∛(−Q/2 + √(Q²/4 + P³/27)). Anschließend setzt man w = √(α + 2y) und z = β/(2w). Die vier Werte von u erhält man mit

u₁,₂,₃,₄ = 1/2 [s·w + r√(w² − 4(α + y + s·z))],

wobei r und s unabhängig die Werte −1 oder 1 annehmen. Alle vier Kombinationen werden benötigt.

Differenz von Quadraten und Faktorisierung

Für β ≠ 0 kann man die reduzierte Gleichung als Differenz zweier Quadrate schreiben:

u⁴ + αu² + βu + γ = (u² + α + y)² − (wu − z)².

Daraus folgt direkt die Zerlegung

(u² + wu − z + α + y)(u² − wu + z + α + y).

Die Bedingungen w² = α + 2y, z² = (α + y)² − γ und β = 2wz führen auf eine kubische Gleichung in y:

y³ + (5/2)αy² + (2α² − γ)y + (1/2)α(α² − γ) − (1/8)β² = 0.

Eine andere Variante setzt

u⁴ + αu² + βu + γ = (u² − Au + B)(u² + Au + D)

und vergleicht die Koeffizienten. Es ergibt sich:

(B + D) − A² = α, (B − D)A = β, BD = γ.

Nach dem Eliminieren von B und D erhält man

A⁶ + 2αA⁴ + (α² − 4γ)A² − β² = 0.

Das ist eine kubische Gleichung in A². Aus einer Lösung lassen sich A, B und D bestimmen; danach werden die beiden quadratischen Gleichungen u² − Au + B = 0 und u² + Au + D = 0 gelöst.

Auch die allgemeine Form

x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = (x² + px + q)(x² + sx + t)

kann auf eine kubische Gleichung zurückgeführt werden:

u³ − 2bu² + (ac + b² − 4d)u + c² − abc + a²d = 0.

Beispiel: x⁴ − x³ − x² + 4x − 2 = 0 führt zu u³ + 2u² + 5u + 10 = 0. Mit u = −2 erhält man

x⁴ − x³ − x² + 4x − 2 = (x² + x − 1)(x² − 2x + 2).

Methode von Lagrange

Die Methode von Lagrange löst die reduzierte Gleichung

y⁴ + py² + qy + r = 0.

Sind y₁, y₂, y₃ und y₄ ihre Lösungen, werden die Hilfsgrößen

z₁ = −(y₁ + y₂)(y₃ + y₄), z₂ = −(y₁ + y₃)(y₂ + y₄), z₃ = −(y₁ + y₄)(y₂ + y₃)

definiert. Sie sind die Lösungen der kubischen Resolvente

z³ + 2pz² + (p² − 4r)z − q² = 0.

Aus den Lösungen z₁, z₂ und z₃ werden u₁, u₂ und u₃ durch uₖ = √zₖ bestimmt. Wegen der Mehrdeutigkeit komplexer Quadratwurzeln muss zusätzlich

u₁u₂u₃ = −q

erfüllt sein. Dadurch bleiben vier zulässige Kombinationen übrig. Die vier Lösungen der quartischen Gleichung sind dann

y₁ = 1/2(u₁ + u₂ + u₃), y₂ = 1/2(u₁ − u₂ − u₃), y₃ = 1/2(−u₁ + u₂ − u₃), y₄ = 1/2(−u₁ − u₂ + u₃).

Bei reellen Koeffizienten beschreibt die kubische Resolvente zugleich die Art der Lösungen: Sind ihre Lösungen sämtlich reell und positiv, gibt es vier reelle Lösungen. Sind sie sämtlich reell, eine positiv und zwei negativ, entstehen zwei Paare konjugiert komplexer Lösungen. Gibt es eine positive reelle und zwei komplex konjugierte Lösungen, hat die quartische Gleichung zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen.

Lösungen bei reellen Koeffizienten

Bei reellen Koeffizienten ist mit jeder nicht reellen Nullstelle a + bi auch die konjugierte Zahl a − bi eine Nullstelle. Das Produkt der zugehörigen Linearfaktoren ist der reelle quadratische Faktor

(x − (a + bi))(x − (a − bi)) = x² − 2ax + a² + b².

Daher gibt es drei grundsätzliche Fälle:

• vier reelle Lösungen; die Gleichung zerfällt in vier Linearfaktoren,
• zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen; sie zerfällt in zwei Linearfaktoren und einen reellen quadratischen Faktor,
• zwei Paare konjugiert komplexer Lösungen; sie zerfällt in zwei reelle quadratische Faktoren.

Bei vier reellen Lösungen sind verschiedene Vielfachheiten möglich: eine vierfache Lösung, eine dreifache und eine einfache Lösung, zwei zweifache Lösungen, eine zweifache und zwei einfache Lösungen oder vier einfache Lösungen. Beispiele sind 2(x + 1)⁴ = 0 mit der vierfachen Lösung −1, 1/2(x − 2)³x = 0 mit den Lösungen 2 und 0 sowie (x − 2)²(x + 3)² = 0 mit den zweifachen Lösungen 2 und −3.

Im Fall mit zwei reellen und zwei konjugiert komplexen Lösungen kann die reelle Lösung doppelt sein. Beispielsweise hat

(x − 1)²(x² − 2x + 2) = 0

die zweifache reelle Lösung 1 und die Lösungen 1 + i sowie 1 − i. Ein Beispiel mit zwei einfachen reellen Lösungen ist

−(x − 1)(x + 2)(x² − 4x + 8) = 0;

hier sind 1 und −2 reell, während 2 + 2i und 2 − 2i konjugiert komplex sind.

Bei zwei Paaren konjugiert komplexer Lösungen können die Lösungen ebenfalls doppelt auftreten, etwa bei (x² − 2x + 5)² = 0 mit 1 + 2i und 1 − 2i jeweils als zweifachen Lösungen. Ein Beispiel mit vier einfachen nicht reellen Lösungen ist

(x² + 1)(x² − 4x + 17/4) = 0;

die Lösungen sind i, −i, 2 − 1/2 i und 2 + 1/2 i.