Ikosaeder

Grundform und Symmetrie

Ein Ikosaeder ist ein Polyeder mit zwanzig Seitenflächen. Neben Pyramiden und Prismen mit insgesamt zwanzig Flächen ist vor allem das regelmäßige, konvexe Ikosaeder bedeutsam; es ist hier gemeint. Es gehört zu den fünf platonischen Körpern. Seine 20 kongruenten Flächen sind gleichseitige Dreiecke, es hat 30 gleich lange Kanten und 12 Ecken. In jeder Ecke treffen fünf Dreiecksflächen beziehungsweise fünf Kanten zusammen. Sein Schläfli-Symbol ist {3,5}; dual, also durch Vertauschen von Flächen und Ecken zugeordnet, ist das Dodekaeder.

Das Ikosaeder ist ein reguläres Polyeder: Alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig. Es besitzt 6 fünfzählige Drehachsen C₅ durch gegenüberliegende Ecken, 10 dreizählige Drehachsen C₃ durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen, 15 zweizählige Drehachsen C₂ durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten sowie 15 Symmetrieebenen durch gegenüberliegende parallele Kanten. Außerdem ist es punktsymmetrisch zum Mittelpunkt.

Die Ikosaeder- oder Dodekaedergruppe hat 120 Elemente. Ihre Untergruppe der Drehungen hat die Ordnung 60 und ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe A₅, die alternierende Gruppe vom Grad 5. Fünfzählige Symmetrie ist mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich; daher kann es kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben.

Aufbau und Koordinaten

Die zwölf Ecken lassen sich als Ecken von drei kongruenten goldenen Rechtecken auffassen, die sich rechtwinklig schneiden. Bei Kantenlänge a haben die Rechtecke die Seitenlängen a und c = ((1+√5)/2)a. Ihre Eckpunkte sind

(0, ±a/2, ±c/2), (±c/2, 0, ±a/2), (±a/2, ±c/2, 0).

Alle diese Punkte haben vom Nullpunkt den Abstand (1/2)√(a²+c²), benachbarte Punkte den Abstand a. Deshalb liegen die Dreiecksflächen auf einer Kugel und bilden ein reguläres Ikosaeder. Für die Kantenlänge 2 lautet eine besonders einfache Koordinatendarstellung: (0, ±1, ±Φ), (±1, ±Φ, 0), (±Φ, 0, ±1), mit Φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618, der Goldenen Zahl. Zwei Ecken sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn ihr kanonisches Skalarprodukt Φ ist.

Drei Paare gegenüberliegender Kanten können drei zueinander kongruente, paarweise orthogonale Rechtecke aufspannen. Ihre Seitenlängen stehen im Goldenen Schnitt. So kann das Ikosaeder in einen Würfel eingeschrieben werden. Die übrigen 24 Kanten begrenzen acht Dreiecke in den Flächen eines umschriebenen Oktaeders. Insgesamt gibt es fünf solche Positionen. Seine Kanten enthalten außerdem zwölf ebene Fünfecke; jede Kante gehört zu zwei, jede Ecke zu fünf dieser Fünfecke. Das Ikosaeder lässt sich auch als uniformiertes fünfeckiges Antiprisma mit je einer aufgesetzten fünfseitigen Pyramide auf beiden Seiten betrachten.

Wichtige Maße und Winkel

Für ein regelmäßiges Ikosaeder mit Kantenlänge a gelten folgende Größen:

• Oberfläche: Aₒ = 5√3 · a² ≈ 8,660 · a².
• Volumen: V = (5/12)(3+√5) · a³ ≈ 2,182 · a³.
• Umkugelradius, also der Radius der Kugel durch die Ecken: rᵤ = (1/4)√(10+2√5) · a ≈ 0,951 · a.
• Kantenkugelradius, also der Radius der Kugel durch die Kantenmitten: rₖ = (1/4)(1+√5) · a ≈ 0,809 · a.
• Inkugelradius, also der Radius der Kugel, welche die Flächen berührt: rᵢ = (√3/12)(3+√5) · a ≈ 0,756 · a.
• Verhältnis des Volumens zum Umkugelvolumen: V/Vᵤₖ = (1/(2π))√(10+2√5) ≈ 0,605.

Der Innenwinkel jeder Dreiecksfläche beträgt α = 60°. Mit ψ = arctan((3−√5)/2) ≈ 20,9° erhält man den Winkel zwischen benachbarten Flächen: β = 180°−2ψ = 2 arctan((3+√5)/2) ≈ 138,19°. Der Winkel zwischen einer Kante und einer benachbarten Fläche ist γ = 90°+ψ ≈ 110,9°. Der 3D-Kantenwinkel δ hat seinen Scheitel an einer Ecke und entspricht dem Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks: δ = 108°.

Die Oberfläche ist die Summe von 20 gleichseitigen Dreiecken mit A₃ = (√3/4)a². Das Volumen ergibt sich als Summe von 20 Pyramiden mit einer Dreiecksfläche als Grundfläche und rᵢ als Höhe.

Raumwinkel, Konstruktion und Netze

Der Raumwinkel Ω an einer Ecke ist die Fläche des von den fünf dort zusammentreffenden Kanten auf der Einheitskugel ausgeschnittenen sphärischen Fünfecks. Zerlegt man es in fünf sphärische Dreiecke, ergibt sich

Ω = 2π − 10 arctan((3−√5)/2) ≈ 2,6345 sr.

Er entspricht der Fläche eines Kugelsegments auf der Einheitskugel mit halbem Öffnungswinkel θ ≈ 54,5°.

Euklid beschreibt und beweist die Konstruktion eines Ikosaeders im dreizehnten Buch der Elemente, Proposition 16. In der dargestellten Konstruktion wird zunächst aus einer gegebenen Umkugel, etwa mit Radius 1, die Kantenlänge a ermittelt. Außerdem wird der Umkreisradius rᵤ₅ für zwei erforderliche Fünfecke konstruiert. Zwei regelmäßige Fünfecke liegen auf Kreisen in zwei Ebenen senkrecht zur z-Achse; ihre Eckpunkte werden anschließend durch Kanten der Länge a zu den gleichseitigen Dreiecksflächen verbunden.

Ein Ikosaeder hat 43.380 Netze. Dafür wird ein hohles Ikosaeder entlang von 11 Kanten aufgeschnitten und in die Ebene aufgeklappt; die übrigen 19 Kanten verbinden die 20 gleichseitigen Dreiecke. Für eine Flächenfärbung, bei der benachbarte Flächen verschiedene Farben haben, werden mindestens drei Farben benötigt.

Verwandte Körper, Kuppeln und Anwendungen

Zum Ikosaeder dual ist das Dodekaeder. Aus beiden lassen sich weitere Körper mit Ikosaedersymmetrie bilden: das abgestumpfte Ikosaeder, der Fußballkörper, mit 12 Fünfecken und 20 Sechsecken; das Ikosidodekaeder mit 20 Dreiecken und 12 Fünfecken; das abgestumpfte Dodekaeder mit 20 Dreiecken und 12 Zehnecken; ein Rhombentriakontaeder mit 32 Ecken und 30 Rauten sowie ein Ikosaederstern.

Ikosaeder sind Ausgangspolyeder geodätischer Kuppeln. Dabei werden die Seiten jedes Dreiecks in 2, 3, … gleich lange Teile geteilt, sodass 4, 9, … kleinere gleichseitige Dreiecke entstehen. Diese werden vom Mittelpunkt auf die Umkugel projiziert. Die ursprünglichen Ikosaederecken bleiben von fünf Dreiecken umgeben, alle anderen Punkte von sechs. Solche Kuppeln dienen als Gerüste von Gebäudekuppeln.

Viele Virenkapside besitzen ikosaedrische Symmetrie; genannt werden Rhinovirus, Hepatitis-B-Virus, Adenovirus und Poliovirus. Das Ikosaeder besitzt bei gegebenem Durchmesser unter den regelmäßigen Polyedern das größte Volumen und ist deshalb für das Verpacken von Nukleinsäure günstig. Weitere Anwendungen oder Vorkommen sind das besonders stabile closo-dodeka-Boranat-Anion B₁₂H₁₂²⁻, zwanzigseitige Spielwürfel W20, stabile Klettergerüste, die Gitterstruktur des Wettervorhersagemodells ICON, der Dogic und das Antwortelement im Magic 8 Ball. Beim Militär wird eine entsprechend nach innen geöffnete Form als Sonarreflektor in der Minenjagd verwendet.

Mathematik, Cluster und Graphen

Die Ikosaedergruppe wurde unter anderem durch Felix Kleins Monographie von 1884 „Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade“ wichtig. Die allgemeine Gleichung fünften Grades hat nach der Galoistheorie keine Lösung in Radikalen, weil A₅ nicht auflösbar ist.

In der Clusterphysik, bei Ansammlungen von 3 bis 50.000 Atomen, ist die Ikosaederform ab mehr als 7 Atomen bedeutsam. Nach der Regel von Friedel besitzt die Struktur mit der größten Zahl an Nächste-Nachbarn-Bindungen die geringste Energie. Bei vielen freien Clustern gilt dies ab 7 Atomen, doch es gibt Ausnahmen, bei denen etwa Kuben bevorzugt werden. Beim Mackayschen Ikosaeder führen perfekte Atom-Ikosaeder zu besonders stabilen Schalenabschlüssen. Magische Atomzahlen sind 1, 13, 55, 147, 309, 561, 923 und 1415. Es gilt C = (10n³−15n²+11n−3)/3, wobei C die Gesamtzahl der Atome und n die Anzahl der Atome pro Kante ist.

Der Ikosaedergraph ist ein ungerichteter planarer, 5-regulärer Graph mit 12 Knoten, 30 Kanten und 20 Gebieten. Seine Knoten entsprechen den Ikosaederecken. Seine chromatische Zahl für Knoten ist 4; für Kanten beträgt der chromatische Index 5. Der duale Dodekaedergraph hat 20 Knoten, 30 Kanten und 12 Gebiete. Daraus folgt für die Flächen des Ikosaeders die chromatische Zahl 3. Die 11 aufgeschnittenen Kanten eines Netzes bilden einen Spannbaum; daher entsprechen die 43.380 Netze bijektiv den Spannbäumen des Ikosaedergraphen. Der Graph besitzt 2.560 Hamiltonkreise, aber keine Eulerkreise.