Punktsteigungsform

Definition und Darstellung

Die Punktsteigungsform ist eine besondere Form der Geradengleichung. Sie beschreibt eine nicht senkrechte Gerade in der euklidischen Ebene mithilfe eines bekannten Punkts (x₁, y₁) auf der Geraden und ihrer Steigung m.

Für alle Punkte (x, y) der Geraden gilt:

y − y₁ = m · (x − x₁)

Nach y aufgelöst lautet die explizite Darstellung:

y = m · (x − x₁) + y₁

Damit ist die Gerade zugleich der Graph der linearen Funktion

f(x) = m · (x − x₁) + y₁.

Beispiel

Gegeben sind der Punkt (2, 2) und die Steigung m = −1/2. Durch Einsetzen in die Punktsteigungsform ergibt sich:

y − 2 = −1/2 · (x − 2)

Nach y aufgelöst lautet dieselbe Geradengleichung:

y = −1/2 · (x − 2) + 2.

Herleitung aus der Normalform

Ausgangspunkt ist die Normalform einer Geraden:

y = m · x + n

Dabei bezeichnet m die Steigung und n den y-Achsenabschnitt. Weil der Punkt (x₁, y₁) auf der Geraden liegt, gilt:

y₁ = m · x₁ + n

Nach n aufgelöst erhält man n = y₁ − m · x₁. Das Einsetzen in die Normalform liefert:

y = m · x + (y₁ − m · x₁)

Durch Ausklammern von m folgt die Punktsteigungsform:

y = m · (x − x₁) + y₁.

Umrechnung in die Zweipunkteform

Sind statt der Steigung zwei verschiedene Punkte (x₁, y₁) und (x₂, y₂) der Geraden bekannt, wird die Steigung mithilfe des Steigungsdreiecks berechnet:

m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

Setzt man diesen Ausdruck für m in die Punktsteigungsform ein, erhält man die Zweipunkteform der Geradengleichung.

Umrechnung in die Achsenabschnittsform

Die Achsenabschnitte sind die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen. Für den y-Achsenabschnitt y₀ setzt man x = 0 in y − y₁ = m · (x − x₁) ein:

y₀ − y₁ = m · (0 − x₁)

y₀ = y₁ − x₁ · m

Für den x-Achsenabschnitt x₀ setzt man y = 0 ein:

0 − y₁ = m · (x₀ − x₁)

x₀ = x₁ − y₁/m

Die Achsenabschnittsform lautet:

x/x₀ + y/y₀ = 1

Mit den berechneten Achsenabschnitten ergibt sich:

x/(x₁ − y₁/m) + y/(y₁ − x₁ · m) = 1.