Differenzierbare Mannigfaltigkeit – einfach erklärt

Grundidee und Aufbau

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind geometrische Objekte wie Kurven, Flächen und höherdimensionale Räume, die lokal – also in genügend kleinen Umgebungen – wie ein euklidischer Raum aussehen. Anders als bei einer rein topologischen Mannigfaltigkeit kann man auf ihnen Ableitungen und verwandte Begriffe der Analysis behandeln. Sie sind ein Hauptgegenstand der Differentialgeometrie und Differentialtopologie und spielen auch in der theoretischen Physik eine zentrale Rolle, etwa bei mechanischen Systemen mit Zwangsbedingungen und bei der Beschreibung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Es gibt zwei Sichtweisen: Man kann Mannigfaltigkeiten als Teilmengen eines höherdimensionalen euklidischen Raums beschreiben, etwa durch Gleichungen oder Parametrisierungen. Oder man betrachtet sie abstrakt und legt ihre differenzierbare Struktur durch einen Atlas fest. Der Einbettungssatz von Whitney stellt sicher, dass diese Sichtweisen mathematisch gleichwertig sind.

Eine k-mal differenzierbare Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Hausdorffraum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, zusammen mit einer C^k-differenzierbaren Struktur. Sie hat Dimension n, wenn eine Karte – und damit alle Karten – in eine Teilmenge von ℝ^n abbildet. Hausdorff bedeutet hier, dass verschiedene Punkte durch getrennte Umgebungen unterscheidbar sind; das zweite Abzählbarkeitsaxiom ist eine technische Bedingung an die Menge der offenen Umgebungen.

Karten, Atlanten und glatte Strukturen

Eine Karte eines topologischen Raums M ist ein Paar (U, φ). Dabei ist U ⊆ M eine offene, nichtleere Menge und φ ein Homöomorphismus

φ: U → φ(U) ⊆ ℝ^n.

Ein Homöomorphismus ist eine stetige, bijektive Abbildung mit stetiger Umkehrabbildung. Karten übersetzen also kleine Bereiche der Mannigfaltigkeit in vertraute Bereiche des ℝ^n.

Überlappen zwei Karten (U, φ) und (V, ψ), also U ∩ V ≠ ∅, dann heißt

ψ ∘ φ⁻¹: φ(U ∩ V) → ψ(U ∩ V)

Kartenwechsel. Ein Atlas ist eine Familie von Karten (Uᵢ, φᵢ)ᵢ∈I, deren Gebiete die ganze Mannigfaltigkeit überdecken: M = ⋃ᵢ∈I Uᵢ. Der Atlas heißt C^k-differenzierbar, k ≥ 1, wenn alle Kartenwechsel C^k-Diffeomorphismen sind. Ein C^k-Diffeomorphismus ist dabei eine bijektive C^k-Abbildung, deren Umkehrabbildung ebenfalls C^k ist.

Zwei C^k-Atlanten sind äquivalent, wenn auch ihre Vereinigung ein C^k-differenzierbarer Atlas ist. Die Äquivalenzklasse heißt C^k-differenzierbare Struktur. Für k = ∞ spricht man von einer glatten Struktur. Eine glatte Mannigfaltigkeit ist entsprechend ein Hausdorffraum mit zweitem Abzählbarkeitsaxiom und glatter Struktur. Auf ihr lassen sich Funktionen beliebig oft differenzieren. Bei einer nur C^k-differenzierbaren Mannigfaltigkeit sind höchstens k Ableitungen möglich, weil auch die Kartenwechsel nur k-mal differenzierbar sind. Komplexe Mannigfaltigkeiten sind glatt; zusätzlich müssen ihre Kartenwechsel biholomorph sein.

Abbildungen, Wege und Beispiele

Seien M eine m-dimensionale und N eine n-dimensionale C^k-Mannigfaltigkeit. Eine stetige Abbildung F: M → N heißt C^k-Abbildung oder k-mal stetig differenzierbar, wenn alle ihre Kartendarstellungen C^k sind. Wählt man Karten (U, φ) von M und (V, ψ) von N mit F(U) ⊂ V, so lautet die Kartendarstellung

ψ ∘ F ∘ φ⁻¹: φ(U) → ψ(V).

Dass diese Bedingung nicht von der gewählten Karte abhängt, folgt aus den C^k-differenzierbaren Kartenwechseln und der mehrdimensionalen Kettenregel. Die Stetigkeit von F folgt nicht automatisch aus der Differenzierbarkeit; sie muss vorausgesetzt werden, damit passende Karten mit F(U) ⊂ V gewählt werden können. C^∞-Abbildungen heißen glatt. Ist M = ℝ^m oder N = ℝ^n, kann man auf Karten für diesen Raum verzichten.

Eine differenzierbare Abbildung eines Intervalls I ⊂ ℝ in eine Mannigfaltigkeit heißt Weg oder parametrisierte Kurve. Eine differenzierbare Abbildung von M nach ℝ heißt differenzierbare Funktion auf M. F heißt lokaler C^k-Diffeomorphismus, wenn sich Karten so wählen lassen, dass die Kartendarstellungen Diffeomorphismen sind; ist F zusätzlich bijektiv, ist F ein C^k-Diffeomorphismus. Für eine eigentliche Ableitung zwischen Mannigfaltigkeiten braucht man außerdem den Tangentialraum.

Beispiele: ℝ^n ist selbst eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit; ein Atlas mit einer Karte entsteht durch die identische Abbildung. Ein nichttriviales Beispiel ist die n-dimensionale Sphäre. Die zweidimensionale Sphäre kann als Hülle einer Kugel vorgestellt werden und besitzt beispielsweise durch stereographische Projektion einen Atlas aus zwei Karten. Je nach Dimension können auf einer Sphäre unterschiedliche, nicht kompatible differenzierbare Atlanten existieren.

Untermannigfaltigkeiten und Einbettung

Eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit einer m-dimensionalen Mannigfaltigkeit M mit n < m ist eine Teilmenge, die in geeigneten Karten wie ein n-dimensionaler linearer Unterraum des ℝ^m aussieht. Sie erhält dadurch in kanonischer Weise eine differenzierbare Struktur.

Genauer ist eine Teilmenge N von M genau dann eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn es für jeden Punkt p ∈ N eine Karte (U, φ) um p gibt mit

φ(N ∩ U) = (ℝ^n × {0}) ∩ φ(U).

Dabei wird ℝ^m als ℝ^n × ℝ^(m−n) aufgefasst; {0} ist die Null von ℝ^(m−n). Solche Karten heißen Schnittkarten. Identifiziert man ℝ^n × {0} mit ℝ^n, dann ist die Einschränkung (U ∩ N, φ|_(U ∩ N)) eine Karte von N. Alle auf diese Weise erhaltenen Karten bilden einen differenzierbaren Atlas von N, der mit der Struktur von M verträglich ist.

Nach dem Einbettungssatz von Whitney besitzt jede n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit M eine Einbettung M → ℝ^(2n), die M mit einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit von ℝ^(2n) identifiziert. Abstrakte Mannigfaltigkeiten und solche als Untermannigfaltigkeiten im ℝ^(2n) unterscheiden sich daher nur in der Anschauung, nicht in ihren mathematischen Eigenschaften.

Eigenschaften, Klassifikation und unendliche Dimension

Auf einer zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit M wirkt die Diffeomorphismengruppe transitiv: Zu allen x, y ∈ M gibt es einen Diffeomorphismus F: M → M mit F(x) = y. Die C^k-Mannigfaltigkeiten bilden zusammen mit den C^k-Abbildungen eine Kategorie. Außerdem sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten triangulierbar; für topologische Mannigfaltigkeiten gilt dies im Allgemeinen nicht. Bei einer glatten Mannigfaltigkeit mit Rand lassen sich die Vektoren in TₚM für p ∈ ∂M in drei Klassen einteilen.

Nicht jede topologische Mannigfaltigkeit besitzt eine differenzierbare Struktur. Umgekehrt können auf derselben topologischen Mannigfaltigkeit nichtäquivalente differenzierbare Atlanten existieren. Dann handelt es sich differentialgeometrisch um unterschiedliche Mannigfaltigkeiten, topologisch aber um dasselbe Objekt. Die Klassifikation untersucht, wie viele verschiedene differenzierbare Strukturen zu einer vorgegebenen topologischen Mannigfaltigkeit passen. In Dimensionen kleiner als vier gibt es bis auf Diffeomorphie nur eine Struktur; für Dimensionen größer als vier gibt es endlich viele. Dimension 4 ist außergewöhnlich: ℝ^4 besitzt überabzählbar viele verschiedene differenzierbare Strukturen, während ℝ^n für n ≠ 4 genau eine besitzt. Für die vierdimensionale Sphäre ist die Anzahl unbekannt. Für Sphären der Dimensionen 1 bis 12 lautet die Zahl der Strukturen: 1, 1, 1, ?, 1, 1, 28, 2, 8, 6, 992, 1.

Die bisher definierten Mannigfaltigkeiten sind endlichdimensional, weil sie lokal wie ℝ^n aussehen. Für unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten ersetzt man ℝ^n meist durch einen lokalkonvexen topologischen Vektorraum als Modellraum, etwa einen Fréchet-, Banach- oder Hilbertraum. Entsprechend spricht man von lokalkonvexen, Fréchet-, Banach- oder Hilbert-Mannigfaltigkeiten. Für Banachräume ist die Definition der Differenzierbarkeit mittels Fréchet-Ableitung relativ unkritisch; für beliebige lokalkonvexe Räume gibt es unterschiedliche, nicht äquivalente Ansätze. Beispiele sind die Einheitssphäre eines Hilbertraums als C^∞-Hilbert-Mannigfaltigkeit, die Gruppe der unitären Operatoren auf einem Hilbertraum als C^∞-Banach-Mannigfaltigkeit und die Gruppe der Diffeomorphismen des Einheitskreises als C^∞-Fréchet-Mannigfaltigkeit.