Jacobi-Matrix

Kernidee und Definition

Die Jacobi-Matrix einer differenzierbaren Funktion f: R^n -> R^m ist die m x n-Matrix aller ersten partiellen Ableitungen. Partielle Ableitung bedeutet: Man leitet nach einer Koordinate ab und hält die anderen Koordinaten fest. Bei totaler Differenzierbarkeit stellt die Jacobi-Matrix die erste Ableitung von f als lineare Abbildung dar, bezogen auf die Standardbasen von R^n und R^m.

Sei f: U subset R^n -> R^m eine Funktion mit Komponentenfunktionen f_1, ..., f_m, und alle partiellen Ableitungen sollen existieren. Für einen Punkt a in U ist die Jacobi-Matrix definiert durch J_f(a) := (partial f_i / partial x_j (a)) fuer i=1,...,m und j=1,...,n. Ausgeschrieben stehen in Zeile i die Ableitungen der Komponentenfunktion f_i nach x_1, ..., x_n.

In den Zeilen der Jacobi-Matrix stehen also die transponierten Gradienten der Komponentenfunktionen f_1, ..., f_m. Andere übliche Schreibweisen für J_f(a) sind Df(a), partial f / partial x (a) und partial(f_1,...,f_m) / partial(x_1,...,x_n)(a).

Beispielrechnung

Für die Funktion f: R^3 -> R^2 mit f(x,y,z) = (x^2 + y^2 + z sin x, z^2 + z sin y)^T werden die partiellen Ableitungen nach x, y und z gebildet.

Es gilt: partial f / partial x = (2x + z cos x, 0)^T, partial f / partial y = (2y, z cos y)^T und partial f / partial z = (sin x, 2z + sin y)^T.

Daraus entsteht die Jacobi-Matrix J_f(x,y,z) = ((2x + z cos x, 2y, sin x), (0, z cos y, 2z + sin y)). Sie hat zwei Zeilen, weil f zwei Komponenten besitzt, und drei Spalten, weil der Definitionsraum drei Koordinaten x, y, z hat.

Wichtige Anwendungen

Ist f: U subset R^n -> R^m total differenzierbar, dann ist ihr totales Differential Df_a an der Stelle a = (a_1,...,a_n) eine lineare Abbildung Df_a: R^n -> R^m mit Df_a(h) = J_f(a) · h. Die Jacobi-Matrix an der Stelle a ist also die Abbildungsmatrix dieses totalen Differentials.

Für m = 1 entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von f. Der Gradient ist der Vektor der ersten partiellen Ableitungen einer reellwertigen Funktion. Wenn der Gradient als Zeilenvektor definiert wird, sind Gradient und Jacobi-Matrix gleich.

Die Jacobi-Matrix kann zur Näherung von Funktionswerten in der Nähe eines Punktes a verwendet werden: f(x) ≈ f(a) + J_f(a) · (x - a). Diese affine Abbildung ist die Taylor-Approximation erster Ordnung, auch Linearisierung genannt.

Auch bei der Fortpflanzung von Messfehlern tritt die Jacobi-Matrix auf. Für Kovarianzmatrizen gilt die Formel V_f = J · V_x · J^T.

Jacobi-Determinante

Wenn m = n gilt, betrachtet man eine differenzierbare Funktion f: U subset R^n -> R^n. Dann ist J_f(a) eine quadratische n x n-Matrix. Nur in diesem Fall kann man ihre Determinante bilden: det(J_f(a)). Diese Determinante heißt Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante.

Ist die Jacobi-Determinante im Punkt a ungleich null, dann ist die Funktion f in einer Umgebung von a invertierbar. Das ist die Aussage des Satzes von der Umkehrabbildung. Außerdem ist die Jacobi-Determinante wichtig beim Transformationssatz für Integrale.

Wenn m ungleich n ist, ist die Jacobi-Matrix nicht quadratisch. Dann kann definitionsgemäß keine Determinante der m x n-Jacobi-Matrix gebildet werden. Ein ähnliches Konzept in diesem Fall heißt Gramsche Determinante.

Holomorphe Funktionen

Neben Funktionen zwischen reellen Räumen kann man auch Funktionen h: V subset C^n -> C^m auf komplexe Differenzierbarkeit untersuchen. Komplex differenzierbare Funktionen heißen holomorph. Für eine holomorphe Funktion h = (h_1,...,h_m) gibt es zwei Arten von Jacobi-Matrizen.

Die erste Variante ist eine m x n-Matrix mit komplexwertigen Einträgen. Für z = (z_1,...,z_n) ist sie definiert durch J_h^C(z) = (partial h_i(z) / partial z_j) fuer i=1,...,m und j=1,...,n.

Die zweite Variante ist eine 2m x 2n-Matrix mit reellwertigen Einträgen. Dazu schreibt man jede komplexwertige Funktion als h = u + iv, wobei u und v reellwertige Funktionen nach R^m sind. Setzt man z_j = x_j + i y_j, dann ordnet J_h^R(z) die partiellen Ableitungen der Komponenten von u und v nach x_1,...,x_n,y_1,...,y_n an.

Wenn m = n gilt, kann man bei beiden Matrizen Determinanten betrachten. Zwischen ihnen besteht die Beziehung det(J_h^R(z)) = |det(J_h^C(z))|^2.