Richtungsableitung

Grundidee und Definition

Die Richtungsableitung beschreibt in der Mathematik die momentane Änderungsrate einer Funktion mehrerer Variablen in einer vorgegebenen Richtung. Diese Richtung wird durch einen Vektor festgelegt. Damit verallgemeinert sie die gewöhnliche Ableitung einer Funktion einer Variablen: Statt nur entlang einer Zahlengeraden zu schauen, betrachtet man bei einer Funktion auf einem Gebiet in \mathbb{R}^n, wie sich der Funktionswert bewegt, wenn man vom Punkt x aus in Richtung v geht.

Seien U\subset \mathbb{R}^n eine offene Menge, x\in U und v\in \mathbb{R}^n ein Vektor. Für eine Funktion f\colon U\to \mathbb{R} ist die Richtungsableitung am Punkt x in Richtung v definiert als Grenzwert D_v f(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h\cdot v)-f(x)}{h}, falls dieser Grenzwert existiert. Andere Schreibweisen dafür sind \partial_v f(x) oder \frac{\partial f}{\partial v}(x).

Eine Verallgemeinerung der Richtungsableitung auf unendlichdimensionale Räume heißt Gâteaux-Differential.

Deutung über Kurven

Die Richtungsableitung kann auch über eine parametrisierte Gerade verstanden werden. Dazu setzt man \gamma\colon (-\varepsilon,\varepsilon)\to U,\quad \gamma(t):=x+t\cdot v, wobei \varepsilon>0 so klein gewählt ist, dass \gamma(t)\in U für alle t\in(-\varepsilon,\varepsilon) gilt. Die Verkettung f\circ\gamma ist dann eine gewöhnliche reelle Funktion einer Variablen. Die Richtungsableitung ist äquivalent definiert durch D_v f(x):=(f\circ\gamma)'(0)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}f(\gamma(t))\big|_{t=0}.

Der Vorteil dieser Sichtweise ist, dass die Richtungsableitung auf eine gewöhnliche Ableitung zurückgeführt wird. Man betrachtet also die Funktion nur entlang einer Kurve durch den Punkt x.

Diese Idee lässt sich erweitern: \gamma darf auch eine beliebige differenzierbare Parameterkurve mit \gamma(0)=x und Tangentialvektor \gamma'(0)=v sein. Dafür muss f an der Stelle x total differenzierbar sein. Dann gilt nach der Kettenregel (f\circ\gamma)'(0)=\mathrm df(x)(v). Der Wert hängt dann nicht von der gewählten Parameterkurve ab. Dadurch kann die Richtungsableitung auch auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten erklärt werden, wenn v ein Vektor aus dem Tangentialraum am Punkt x ist.

Einseitige und normierte Richtungen

Bei einseitigen Richtungsableitungen wird der Grenzwert nur von einer Seite betrachtet. Für f\colon U\to\mathbb{R} und v\in\mathbb{R}^n sind sie definiert durch D_v^+ f(x)=\lim_{h\rightarrow 0,\,h>0}\frac{f(x+h\cdot v)-f(x)}{h} und D_v^- f(x)=\lim_{h\rightarrow 0,\,h<0}\frac{f(x+h\cdot v)-f(x)}{h}=-D_{-v}^+f(x). Die Richtungsableitung in Richtung v existiert genau dann, wenn beide einseitigen Richtungsableitungen übereinstimmen. Dann gilt D_v f(x)=D_v^+ f(x)=D_v^- f(x).

Einige Autoren definieren die Richtungsableitung nur für normierte Richtungen, also für Richtungsvektoren, bei denen die Länge berücksichtigt wird: D_v f(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h\cdot v)-f(x)}{h\cdot \lVert v\rVert}. Für Richtungen v auf der Einheitssphäre \mathbb{S}^{n-1} stimmen beide Definitionen überein. Sonst unterscheiden sie sich um den Faktor \lVert v\rVert. Die zuerst genannte Definition ist für alle Richtungen erklärt, die normierte Variante nur für v\neq 0. In Anwendungen ist es oft sinnvoll, mit dem normierten Richtungsvektor \frac{v}{\lVert v\rVert} zu rechnen, damit die Richtungsableitung nur von der Richtung und nicht von der Länge des Vektors abhängt.

Schreibweisen und wichtigste Eigenschaften

Für die Richtungsableitung sind mehrere Schreibweisen üblich, zum Beispiel D_v f(x),\quad \nabla_v f(x),\quad \partial_v f(x),\quad \frac{\partial f(x)}{\partial v},\quad f'_v(x). Ist f total differenzierbar, kann die Richtungsableitung mit der totalen Ableitung oder dem Gradienten geschrieben werden, etwa als Df(x)v,\quad Df_x\,v,\quad \operatorname{grad} f(x)\cdot v,\quad \nabla f(x)\cdot v,\quad (v\cdot\nabla)f(x). Der Gradient \nabla f ist dabei der Vektor der partiellen Ableitungen.

Wählt man als Richtungsvektor einen Koordinateneinheitsvektor \vec e_i, erhält man die entsprechende partielle Ableitung: D_{\vec e_i}f(\vec x)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec x). Partielle Ableitungen sind also besondere Richtungsableitungen entlang der Koordinatenachsen.

Die einseitige Richtungsableitung ist als Funktion des Richtungsvektors positiv homogen. Das bedeutet: Für alle \alpha>0 gilt D_{\alpha\vec v}^+ f(\vec x)=\alpha D_{\vec v}^+ f(\vec x). Ist f in \vec x total differenzierbar, dann ist die Richtungsableitung als Funktion von \vec v sogar linear und lässt sich durch den Gradienten ausdrücken: D_{\vec v}f(\vec x)=\nabla f(\vec x)\cdot \vec v=\frac{\partial f}{\partial x_1}(\vec x)v_1+\dots+\frac{\partial f}{\partial x_n}(\vec x)v_n.

Typische Beispiele

Im eindimensionalen Fall gibt es nur zwei Richtungen: nach links und nach rechts. Richtungsableitungen entsprechen dort den üblichen einseitigen Ableitungen. Die beiden Richtungen können verschiedene Werte liefern; anschaulich bedeutet das, dass eine Funktion an dieser Stelle einen Knick haben kann.

Ein einfaches Beispiel ist die Betragsfunktion. Sie ist in 0 nicht differenzierbar, aber ihre einseitige Richtungsableitung existiert. Es gilt D_v^+ f(0)=v\quad \text{für } v\geq 0 und D_v^- f(0)=-v\quad \text{für } v\leq 0. Der Absolutbetrag ist also gleich seiner einseitigen Richtungsableitung in 0 als Funktion von v.

Ein weiteres Beispiel ist die Normalenableitung. Ist \Omega\subset\mathbb{R}^n mit n>1 ein glatt berandetes Gebiet mit äußerem Normalenvektorfeld \nu und gilt f\in C^1(\bar\Omega), dann ist \frac{\partial f}{\partial \nu}=\nabla f\cdot \nu die Normalenableitung von f auf dem Rand von \Omega. Solche Objekte treten zum Beispiel bei partiellen Differentialgleichungen mit Neumann-Randbedingungen auf.