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Tensor
Ein Tensor ist eine multilineare Abbildung, die eine bestimmte Anzahl von Vektoren auf einen Vektor abbildet und eine universelle Eigenschaft erfüllt.
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Grundidee und Bedeutung
Ein Tensor ist ein mathematisches Objekt der linearen Algebra, das den Begriff der linearen Abbildung auf mehrere Argumente erweitert. Er kann als multilineare Abbildung verstanden werden: In jedem seiner Argumente ist er linear. Gleichwertig lässt er sich als Element eines Tensorproduktraums auffassen. Tensoren werden unter anderem in der Differentialgeometrie, Kontinuumsmechanik, allgemeinen Relativitätstheorie und Quantenmechanik verwendet.
Sei E ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper K und E* sein Dualraum, also der Raum aller Linearformen E → K. Der Raum der Tensoren vom Typ (r,s) ist T_s^r(E,K) := L^(r+s)(E*,…,E*,E,…,E;K), wobei r Argumente aus E* und s Argumente aus E stammen. Ein solcher Tensor heißt r-fach kontravariant und s-fach kovariant. Die Summe r+s heißt Stufe oder Rang des Tensors. Es gilt die kanonische Identifikation T_s^r(E,K) ≅ E⊗…⊗E ⊗ E*⊗…⊗E*, mit r Faktoren E und s Faktoren E*.
In der Differentialgeometrie und Physik meint „Tensor“ häufig ein Tensorfeld. Ein Tensorfeld ordnet jedem Punkt eines Raums einen Tensor zu; ist diese Zuordnung differenzierbar, kann sie mit den Methoden der Tensoranalysis untersucht werden. Ein wichtiges Beispiel ist das metrische Tensorfeld der allgemeinen Relativitätstheorie.
Typen und typische Beispiele
Tensoren niedriger Stufe umfassen vertraute mathematische Objekte:
• (0,0)-Tensoren sind Skalare aus K. • (1,0)-Tensoren entsprechen wegen E** ≅ E den Vektoren aus E. • (0,1)-Tensoren sind Kovektoren oder Linearformen aus E*. • Lineare Abbildungen E → F können als Elemente von E*⊗F und damit als (1,1)-Tensoren aufgefasst werden. • Bilinearformen E×E → K, darunter Skalarprodukte, sind (0,2)-Tensoren.
Bezüglich einer Basis wird ein Skalar durch eine Zahl, ein Vektor durch einen Spaltenvektor, ein Kovektor durch einen Zeilenvektor und ein Tensor zweiter Stufe durch eine Matrix dargestellt. Tensoren höherer Stufe besitzen entsprechend Komponenten mit mehr als zwei Indizes.
Das Kronecker-Delta δ ist ein (0,2)-Tensor und wird durch δ(e_i,e_j)=1 für i=j sowie δ(e_i,e_j)=0 für i≠j festgelegt. Es ist symmetrisch. Die Determinante von n×n-Matrizen, betrachtet als alternierende Multilinearform ihrer Spalten, ist ein (0,n)-Tensor. Im dreidimensionalen Fall gilt bezüglich einer Orthonormalbasis ε_ijk=det(e_i,e_j,e_k); das Levi-Civita-Symbol ε_ijk ist antisymmetrisch.
Physikalisch wichtige Beispiele sind der Trägheitstensor, der Verzerrungstensor und der Spannungstensor. Der Spannungstensor ist ein Tensor zweiter Stufe und beschreibt einen Spannungszustand, für den eine einzelne Zahl oder Richtung nicht ausreicht. Als (0,2)-Tensor kann er einem Flächenelement und einem Verschiebungsvektor die dabei verrichtete Arbeit zuordnen.
Ein Skalarprodukt g ist ein (0,2)-Tensor, auch metrischer Tensor genannt. Für Vektoren v und w gilt g(v,w)=Σᵢⱼ g_ij v^i w^j. Mit der Metrik können Indizes abgesenkt werden: x_i=Σⱼ g_ij x^j. In der pseudo-riemannschen Geometrie wird auf die Definitheit des Skalarprodukts verzichtet; dies ist insbesondere für die Relativitätstheorie wichtig.
Ko- und Kontravarianz
Ko- und Kontravarianz beschreiben, wie sich Koordinaten bei einem Basiswechsel verändern. Für eine Basis (e₁,…,eₙ) besitzt jeder Vektor v die eindeutige Darstellung v=Σₖ eₖx^k. Ist eine neue Basis durch e′_j=ΣₖeₖA^k_j gegeben, dann gelten x^k=ΣⱼA^k_jx′^j und x′^j=Σₖ(A⁻¹)^j_kx^k. Die Vektorkoordinaten transformieren sich also mit der inversen Matrix, entgegengesetzt zur Basis; dieses Verhalten heißt kontravariant. Dreht man beispielsweise eine orthogonale Basis im dreidimensionalen euklidischen Raum um 30° um die z-Achse, drehen sich die Koordinaten desselben Vektors um −30°.
Für eine Linearform α∈E* sind die Koordinaten α_k=α(e_k). Unter demselben Basiswechsel gilt α′_j=Σₖα_kA^k_j. Sie transformieren sich wie die Basis und heißen deshalb kovariant. Tensoren vom Typ (r,s) besitzen entsprechend r kontravariante und s kovariante Stellen. Der Tensor selbst ist vom gewählten Koordinatensystem unabhängig; nur seine Komponenten verändern sich.
Basis, Komponenten und Symmetrie
Hat E die Dimension n mit Basis {e₁,…,eₙ} und dualer Basis {e¹,…,eⁿ}, dann bilden alle Produkte e_i₁⊗…⊗e_iᵣ⊗e^j₁⊗…⊗e^jₛ eine Basis von T_s^r(E). Daher gilt dim T_s^r(E)=n^(r+s). Jeder Tensor lässt sich als Linearkombination dieser Basiselemente darstellen; die Koeffizienten a^(i₁,…,iᵣ)_(j₁,…,jₛ) heißen seine Komponenten. Nach der einsteinschen Summenkonvention wird über jeden Index summiert, der einmal oben und einmal unten vorkommt, ohne das Summenzeichen auszuschreiben.
Bei einem Basiswechsel verändern sich die Tensorkomponenten durch je einen Transformationsfaktor für jeden Index. Für einen vollständig kovarianten Tensor gilt beispielsweise T′(i₁,…,iₙ)=Σ(j₁)…Σ_(jₙ) a_(i₁,j₁)…a_(iₙ,jₙ)T_(j₁,…,jₙ). Eine Transformationsmatrix ist trotz ihrer Indizes nicht selbst automatisch ein Tensor. Im euklidischen Raum treten als Basiswechsel Drehmatrizen auf, in der speziellen Relativitätstheorie Lorentz-Transformationen.
Ein Tensor zweiter Stufe kann bezüglich einer Basis als Matrix dargestellt werden; für eine Bilinearform ist T(v,w)=vᵀTw. Beim Trägheitstensor I eines starren Körpers ergibt sich die Rotationsenergie aus E_rot=½ω⃗ᵀIω⃗.
In V⊗V vertauscht die Abbildung Π₁₂ die Faktoren: Π₁₂(a⊗b)=b⊗a. Ein Tensor w heißt symmetrisch, wenn Π₁₂(w)=w, und antisymmetrisch oder alternierend, wenn Π₁₂(w)=−w. Die entsprechenden Grundformen sind a⊙b=½(a⊗b+b⊗a) und a∧b=½(a⊗b−b⊗a).
Tensorprodukt und grundlegende Operationen
Das Tensorprodukt V⊗W ist ein Vektorraum zusammen mit einer bilinearen Abbildung (v,w)↦v⊗w, die eine universelle Eigenschaft erfüllt: Zu jeder bilinearen Abbildung b:V×W→Y existiert genau eine lineare Abbildung b′:V⊗W→Y mit b(v,w)=b′(v⊗w). Das Tensorprodukt ist durch diese Eigenschaft bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Für mehrere Faktoren gilt entsprechend: Jede multilineare Abbildung V₁×…×V_s→Y entspricht eindeutig einer linearen Abbildung V₁⊗…⊗V_s→Y.
Elemente v₁⊗…⊗v_s heißen elementare Tensoren. Jeder Tensor ist eine Summe elementarer Tensoren, diese Darstellung ist im Allgemeinen aber nicht eindeutig. Ist dim V_i=d_i, dann ist die Dimension von V₁⊗…⊗V_s das Produkt d₁⋯d_s.
Das äußere Tensorprodukt verbindet t₁∈T_(s₁)^(r₁)(E) und t₂∈T_(s₂)^(r₂)(E) zu t₁⊗t₂∈T_(s₁+s₂)^(r₁+r₂)(E); seine Werte sind die Produkte der Werte beider Tensoren. Das innere Produkt setzt in einer Tensorstelle einen festen Vektor oder Kovektor ein und verringert dadurch r beziehungsweise s um eins.
Bei der Tensorverjüngung oder Spurbildung wird eine kontravariante mit einer kovarianten Stelle ausgewertet; aus einem (r,s)-Tensor entsteht ein (r−1,s−1)-Tensor. Für einen (1,1)-Tensor entspricht C₁¹ unter V*⊗V≅End(V) der Spur eines Endomorphismus. In Indexschreibweise ist T_i^i ein Skalar.
Der Pull-Back einer linearen Abbildung φ:E→F transportiert kovariante Tensoren von F nach E: (φ*t)(f₁,…,f_s)=t(φ(f₁),…,φ(f_s)). Ist φ ein Isomorphismus, transportiert der Push-Forward einen (r,s)-Tensor von E nach F, wobei auf kovarianten Stellen φ⁻¹ und auf kontravarianten Stellen der Rücktransport von Linearformen verwendet werden.
Tensoralgebra und Invarianten
Die Tensoralgebra eines Vektorraums E ist T(E)=⊕_(n≥0)E^⊗n=K⊕E⊕(E⊗E)⊕(E⊗E⊗E)⊕… . Mit dem Tensorprodukt als Multiplikation ist sie eine unitäre assoziative Algebra.
Invarianten sind Skalare, die sich bei orthogonalen Koordinatentransformationen nicht ändern. Für einen Tensor erster Stufe ist die durch das Skalarprodukt bestimmte Norm eine Invariante: I₁=x^jx_j=x′^jx′_j. Für Tensoren zweiter Stufe im dreidimensionalen euklidischen Raum gibt es im Allgemeinen sechs irreduzible Invarianten: I₁=Spur(A), I₂=Spur(A²), I₃=Spur(AAᵀ), I₄=Spur(A³), I₅=Spur(A²Aᵀ), I₆=Spur(A²(A²)ᵀ). „Irreduzibel“ bedeutet, dass eine solche Invariante nicht durch die anderen ausgedrückt werden kann.
Für symmetrische Tensoren zweiter Stufe gilt I₂=I₃ und I₄=I₅; außerdem ist I₆ durch die übrigen drei Invarianten darstellbar. Die Determinante einer 3×3-Matrix erfüllt Det(A)=⅙I₁³−½I₁I₂+⅓I₄. Symmetrische Tensoren zweiter Stufe besitzen daher im dreidimensionalen euklidischen Raum drei irreduzible Invarianten. Für antisymmetrische Tensoren gilt I₁=0, I₂=−I₃, I₄=−I₅=0; sie besitzen dort eine irreduzible Invariante.
