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Logik
Jede Aussage hat genau einen von zwei Wahrheitswerten, die meist als wahr und falsch bezeichnet werden. · Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist …
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Gegenstand und Bedeutung der Logik
Logik bezeichnet im Allgemeinen das vernünftige Schlussfolgern und im Besonderen die Lehre vom richtigen Schließen, auch Schlussfolgerungslehre oder Denklehre genannt. Sie untersucht die Struktur von Argumenten im Hinblick auf ihre Gültigkeit, unabhängig vom Inhalt der einzelnen Aussagen. In diesem Sinn spricht man von formaler Logik.
Traditionell gehört die Logik zur Philosophie. Seit dem 20. Jahrhundert wird darunter überwiegend symbolische Logik verstanden. Sie verwendet eine künstliche Sprache und streng definierte Schlussregeln. Ein Satz wie „Der Apfel ist rot“ kann in der Prädikatenlogik als f(a) formalisiert werden: a steht für den Apfel, f für „ist rot“. Die symbolische Logik wird auch mathematische Logik oder formale Logik im engeren Sinn genannt und ist unter anderem für Mathematik und theoretische Informatik wichtig.
Im Deutschen wurde „Logik“ im 19. Jahrhundert teilweise auch im Sinn von Erkenntnistheorie, Ontologie oder allgemeiner Dialektik verwendet. In Ausdrücken wie „Logik des Handelns“ oder „Logik der Dichtung“ bezeichnet das Wort allgemeine Gesetzmäßigkeiten oder Verfahrensweisen eines Bereichs. Umgangssprachlich kann „logisch“ außerdem „stichhaltig“, „zwingend“, „überzeugend“, „einleuchtend“ oder „klar“ bedeuten. Der Kern der fachwissenschaftlichen Logik bleibt jedoch die Theorie des korrekten Folgerns. Umstritten ist, welche weiteren Theorien, etwa Mengenlehre, Argumentationstheorie oder Sprechakttheorie, noch zur Logik gehören.
Klassische Logik und ihre Teilgebiete
Ein logisches System heißt klassisch, wenn zwei semantische Bedingungen erfüllt sind:
- Jede Aussage hat genau einen von zwei Wahrheitswerten, meist „wahr“ oder „falsch“. Das heißt Prinzip der Zweiwertigkeit oder Bivalenzprinzip.
- Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage wird eindeutig durch die Wahrheitswerte ihrer Teilaussagen und die Art ihrer Verbindung bestimmt. Das heißt Prinzip der Extensionalität oder Kompositionalität.
Die wichtigsten Teilgebiete sind die klassische Aussagenlogik, die Prädikatenlogik erster Stufe und die Prädikatenlogik höherer Stufe. Die Aussagenlogik untersucht, wie Aussagen durch Junktoren wie „und“ oder „oder“ verbunden sind. Eine nicht weiter zerlegbare Aussage heißt atomar.
Die Prädikatenlogik stellt zusätzlich die innere Struktur von Sätzen dar. Prädikate, auch Aussagefunktionen genannt, drücken Eigenschaften oder Relationen aus, während Argumente die Gegenstände bezeichnen, auf die sie zutreffen. Das Prädikat „ist rot“ kann etwa auf das Argument „der Apfel“ angewendet werden. Eine logische Aussagenfunktion liefert dabei keinen Zahlenwert, sondern einen Wahrheitswert.
In der Prädikatenlogik erster Stufe wird nur über Individuen quantifiziert, etwa in „Alle Schweine sind rosa“. In der Prädikatenlogik höherer Stufe kann auch über Prädikate quantifiziert werden, etwa in „Es gibt ein Prädikat, das auf Sokrates zutrifft“. Die Stufenlogik, eine Form des typisierten Lambda-Kalküls, überwindet die formale Trennung verschiedener Ausdruckskategorien wie Terme, Funktoren, Prädikatoren und Quantoren.
Die bis ins 19. Jahrhundert vorherrschende Syllogistik des Aristoteles gilt als Vorläufer der Prädikatenlogik. Während sie Begriffe als elementare Einheiten behandelt, können in der Prädikatenlogik auch mehrstellige Relationen analysiert werden. Dadurch lassen sich Argumente darstellen, die syllogistisch nicht erfassbar sind, beispielsweise: „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe.“
Kalküle und Verfahren zum Prüfen von Gültigkeit
Die moderne formale Logik entwickelt exakte Kriterien für die Gültigkeit von Schlüssen und Aussagen. Semantisch gültige Aussagen heißen Tautologien, syntaktisch gültige Aussagen Theoreme.
Semantische Verfahren arbeiten mit Wahrheitswerten. Wahrheitstabellen führen im Bereich der Aussagenlogik vollständig alle möglichen Kombinationen von Wahrheitswerten auf. Andere Verfahren können auch in der Prädikatenlogik eingesetzt werden und folgen häufig dem Muster einer reductio ad absurdum: Um eine Tautologie zu beweisen, nimmt man ihre Negation an und versucht, daraus einen Widerspruch abzuleiten. Dazu gehören die Resolution sowie Baumkalküle oder Beth-Tableaux, die nach Evert Willem Beth benannt sind.
Daneben gibt es Kalküle ohne semantische Bewertungen. Zu ihnen zählen axiomatische Logikkalküle, Systeme natürlichen Schließens, Sequenzenkalküle und dialogische Logiken. In dialogischen Logiken und Sequenzenkalkülen können klassische und nichtklassische Logiken durch entsprechende Zusatzregeln ineinander überführt werden.
Nichtklassische und philosophische Logiken
Nichtklassische Logik liegt vor, wenn mindestens eines der klassischen Prinzipien aufgegeben wird. Wird die Zweiwertigkeit aufgegeben, entsteht mehrwertige Logik. Wird die Extensionalität aufgegeben, entsteht intensionale Logik, etwa Modallogik oder intuitionistische Logik. Werden beide Prinzipien aufgegeben, spricht man von mehrwertiger intensionale Logik.
Philosophische Logiken verändern oder erweitern die klassische Aussagen- und Prädikatenlogik meist durch zusätzliche Operatoren für bestimmte Rede- und Sachbereiche. Die Modallogik behandelt Möglichkeit und Notwendigkeit. Epistemische beziehungsweise doxastische Logik formalisiert Wissen, Glauben und Überzeugungen. Deontische Logik untersucht Gebote, Verbote und Erlaubnisse. Temporale Logiken erfassen Aussagen mit Bezug auf Zeitpunkte oder Zeitabschnitte. Interrogativlogik untersucht Fragesätze, Konditionalsatzlogik über „Wenn–dann“-Bedingungen über die materiale Implikation hinaus. Intensionale Logiken berücksichtigen neben der Extension, also der Bedeutung durch bezeichnete Elemente, auch die Intension, also den Sinn oder die bezeichneten Eigenschaften.
Parakonsistente Logiken verhindern, dass aus zwei widersprüchlichen Aussagen jede beliebige Aussage folgt. Die Relevanzlogik ersetzt die materiale Implikation durch eine Implikation, bei der der Vordersatz für den Nachsatz relevant sein muss.
Intuitionismus, Mehrwertigkeit und revidierbare Schlüsse
Zu den im engeren Sinn nichtklassischen Logiken gehören intuitionistische, minimale, relevante und konnexe Logiken. Sie unterscheiden sich dadurch, welche Axiome der klassischen Logik gelten. Intuitionistische Logik, entwickelt von L. E. J. Brouwer, enthält nicht das Axiom der doppelten Negation (DN) ¬¬p ⇒ p. Deshalb ist der Satz vom ausgeschlossenen Dritten (TND) ¬p ∨ p nicht mehr ableitbar. Im Minimalkalkül von Ingebrigt Johansson ist außerdem „ex falso quodlibet“ (EFQ) ¬p ⇒ (p ⇒ q) nicht ableitbar. Relevanzlogiken akzeptieren nur Implikationen p ⇒ q, in denen p für q kausal relevant ist. Die konnexe Logik lässt dagegen den klassisch nicht gültigen Satz ¬(p ⇒ ¬p) als Theorem zu und muss dafür andere klassische Theoreme zurückweisen. Während intuitionistische, minimale und relevante Logik jeweils weniger beweisbare Formeln als die klassische Logik besitzen, gelten in konnexer und klassischer Logik teilweise jeweils Formeln, die in der anderen nicht gelten.
Mehrwertige Logiken besitzen mehr als zwei Wahrheitswerte; bei ihnen gilt häufig auch der aristotelische Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht. Jan Łukasiewicz entwickelte dreiwertige und unendlichwertige Logiken. Die unendlichwertige Fuzzylogik findet zahlreiche Anwendungen in der Steuerungstechnik. Die endlichwertige Günther-Logik von Gotthard Günther wurde auf Probleme selbst erfüllender Voraussagen in der Soziologie angewandt.
Eine Logik ist monoton, wenn jedes gültige Argument auch nach dem Hinzufügen weiterer Prämissen gültig bleibt. Klassische Aussagen- und Prädikatenlogik sind monoton. Nichtmonotone Logiken modellieren dagegen vorläufige Schlüsse, die durch neue Informationen revidiert werden können. Im Beispiel wird aus „Tux ist ein Vogel“ und „Vögel können normalerweise fliegen“ zunächst „Tux kann fliegen“ geschlossen. Die zusätzliche Information „Tux ist ein Pinguin“ zusammen mit „Pinguine können nicht fliegen“ widerlegt diesen Default-Schluss. Ein Default besteht aus Voraussetzung, Rechtfertigung und Konsequenz; das Verfahren wird Reitersche Default-Logik genannt.
Wichtige Entwicklungsschritte sind mit Aristoteles (384–322 v. Chr.), Chrysippos von Soloi (281/76–208/4 v. Chr.), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), George Boole (1815–1864), Charles Sanders Peirce (1839–1914), Gottlob Frege (1848–1925), Bertrand Russell (1872–1970), Jan Łukasiewicz (1878–1956), Alfred Tarski (1901–1983) und Kurt Gödel (1906–1978) verbunden. Aristoteles entwickelte die Syllogistik, Boole die Boolesche Algebra, Frege die moderne Aussagen- und Prädikatenlogik, Łukasiewicz mehrwertige Logiken, Tarski wichtige Grundlagen der Modelltheorie und formalen Semantik. Gödel bewies die Vollständigkeit der Prädikatenlogik und die Unvollständigkeit der Peano-Arithmetik.
