Papyrus Rhind

Bedeutung und Entstehung

Der Papyrus Rhind ist eine altägyptische mathematische Abhandlung auf Papyrus. Er behandelt Themen, die heute unter anderem Arithmetik, Algebra, Geometrie, Trigonometrie und Bruchrechnung heißen. Das Werk wird auf etwa 1550 v. Chr. datiert und gehört neben dem etwas älteren, aber weniger umfangreichen Papyrus Moskau 4676 zu den wichtigsten Quellen über die Mathematik im Alten Ägypten.

Das Manuskript entstand vermutlich im 16. Jahrhundert v. Chr. während der Zweiten Zwischenzeit. In seiner Einleitung wird das 33. Regierungsjahr des Apopi, eines Königs der 15. Dynastie der Hyksos, genannt. Wesentliche Teile gelten als Abschrift einer mehr als zwei Jahrhunderte älteren Vorlage, die wahrscheinlich aus der Regierungszeit Amenemhets III. in der 12. Dynastie des Mittleren Reiches stammte.

Der Schreiber hieß Ahmose, nach einer älteren Transkription auch Ahmes. Er schrieb von rechts nach links in hieratischer Schrift, einer vereinfachten Form der ägyptischen Schrift. Bestimmte Werte und Rechenverfahren, beispielsweise Gruppen von Teilern, hob er mit roter statt schwarzer Tinte hervor.

Aufbau und mathematische Aufgaben

Der Papyrus war ursprünglich eine mehr als 5 m lange und ungefähr 32 cm breite, auf beiden Seiten beschriebene Rolle. Heute ist er nur in Fragmenten erhalten. Je nach Zählweise enthält er 84, 87 oder 91 mathematische Aufgaben. Neben Tabellen bietet er zahlreiche Probleme mit vorgerechneten Lösungen. Der Text wurde erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts entziffert und übersetzt; seit Anfang des 20. Jahrhunderts werden seine mathematischen Aussagen genauer erschlossen.

Inhaltlich besteht das Manuskript aus drei Abteilungen. Der erste Teil beginnt nach dem Titel mit einer umfangreichen Tabelle. Für alle ungeraden Zahlen n von 3 bis 101 wird darin der Bruch 2/n als Summe von Stammbrüchen dargestellt. Ein Stammbruch ist ein Bruch mit dem Zähler 1. Danach folgt eine kurze Tabelle mit den Werten von n/10 für n von 2 bis 9. Anschließend werden 40 arithmetische und algebraische Probleme behandelt.

Der zweite Teil umfasst 20 geometrische Probleme. Sie betreffen die Flächen- und Rauminhalte verschiedener Figuren und Körper. Außerdem wird das Verhältnis von Höhe zu Seite eines Pyramidenkörpers als Maß seiner Neigung behandelt.

Im dritten Teil folgen etwa zwei Dutzend weitere Aufgaben. Sie beziehen sich unter anderem auf die Herstellung von Brot und Bier, die Fütterung von Geflügel und Rindern sowie eine Rätselaufgabe über Katzen und Mäuse. Dadurch zeigt der Papyrus sowohl theoretische Rechenverfahren als auch deren Anwendung auf praktische Aufgaben.

Näherung für die Kreisfläche

In den Aufgaben 48 und 50 gibt Ahmes für das Verhältnis der Fläche eines Kreises zur Fläche des ihn umschreibenden Quadrats den Wert 64/81 an. Daraus folgt als Rechenregel: Ist der Kreisdurchmesser 9 Einheiten lang, wird für die Kreisfläche die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge 8 verwendet, denn 64/81 = (8/9)².

Der genaue Wert des Flächenverhältnisses ist π/4 = 0,785… = 63,61…/81. Der Wert 64/81 überschätzt die Kreisfläche daher nur um 0,6 %. Wie dieses erstaunlich genaue Ergebnis gefunden wurde, ist nicht sicher bekannt. Im Artikel werden zwei Deutungen beschrieben; beide erklären den überlieferten Wert jedoch nicht vollständig.

Zwei Deutungen der Kreisrechnung

Kurt Vogel deutete eine grobe Skizze neben Aufgabe 48 als Quadrat mit einem eingepassten Achteck. Dazu wird das umschreibende Quadrat in 9 × 9 = 81 gleich große Zellen zerlegt. Bei einem am Gitter ausgerichteten Achteck liegen von größeren Feldern mit jeweils 3 × 3 Zellen fünf vollständig und vier zur Hälfte innerhalb der Figur. Das ergibt eine Fläche von 63 Zellen. Das Achteck ähnelt dem Kreis, ist aber etwas kleiner. Nach Vogels Vermutung könnte Ahmes deshalb den Wert von 63 auf 64 erhöht haben. Neben der Figur stehen in altägyptischer Schreibweise die Rechnungen 9 · 9 = 81 und 8 · 8 = 64. Dabei kann 9 als Kreisdurchmesser beziehungsweise Seitenlänge des umschreibenden Quadrats und 8 als Seitenlänge eines zum Kreis flächengleichen Quadrats verstanden werden.

Hermann Engels schlug 1977 eine andere Erklärung vor. Danach könnte Ahmes von einem Quadrat ausgegangen sein und einen Kreis mit derselben Fläche gesucht haben. Dies entspricht der Aufgabe der Quadratur des Kreises. Ein Quadrat wird zunächst in 8 × 8 Planquadrate mit insgesamt 64 Flächeneinheiten eingeteilt. Der Kreis wird so eingezeichnet, dass er jede Quadratseite bei einem Viertel und bei drei Vierteln ihrer Länge schneidet. Nach Augenmaß besitzt er ungefähr dieselbe Fläche wie das Quadrat.

Aus dem dabei entstehenden rechtwinkligen Dreieck ergibt sich für den Kreisdurchmesser jedoch 2√(4² + 2²) = √80 = 8,944… und nicht genau √81 = 9. Der Durchmesser ist damit um 0,6 % kleiner; das umschreibende Quadrat hätte eine Fläche von 80 statt 81 Planquadraten. Nach dieser Deutung wäre somit 64/80 statt des im Papyrus angegebenen Verhältnisses 64/81 zu erwarten. Auch diese Erklärung bleibt daher eine Vermutung.

Anwendungen, Fund und Aufbewahrung

Das Verhältnis 9 : 8 zwischen dem Kreisdurchmesser und der Seitenlänge eines flächengleichen Quadrats wird auch in Aufgabe 41 verwendet. Dort dient es zur Berechnung des Volumens eines zylindrischen Kornspeichers. Eine entsprechende Annahme erscheint außerdem in Aufgabe 10 des älteren Papyrus Moskau 4676 bei einer Rechenvorschrift für den Flächeninhalt einer gekrümmten Oberfläche. Allerdings ist umstritten, welche Fläche dort genau gemeint ist.

Benannt ist der Papyrus nach dem schottischen Anwalt und Antiquar Alexander Henry Rhind. Er erwarb ihn 1858 in Luxor in Oberägypten. Vermutlich war er kurz zuvor bei illegalen Grabungen westlich des Nils in oder nahe dem Ramesseum im Gebiet von Theben gefunden worden; die genauen Fundumstände sind unbekannt.

Die beiden Hauptfragmente befinden sich seit 1865 im British Museum in London. Sie sind 295,5 cm und 199,5 cm lang und unter den Inventarnummern pBM 10057 beziehungsweise pBM 10058 verzeichnet. Die Lücke zwischen ihnen wird auf annähernd 18 cm geschätzt. Einige kleinere Fragmente dieses Zwischenstücks, die Rhind nicht erworben hatte, werden heute im Brooklyn Museum in New York aufbewahrt.