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Kegelstumpf
Kegelstumpf ist in der Geometrie die Bezeichnung für einen speziellen Rotationskörper. Ein Kegelstumpf entsteht dadurch, dass man von einem geraden …
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Grundidee und Begriffe
Ein Kegelstumpf ist in der Geometrie ein spezieller Rotationskörper. Er entsteht, wenn man von einem geraden Kreiskegel parallel zur Grundfläche einen kleineren Kegel abschneidet. Dieser abgeschnittene kleinere Kegel heißt Ergänzungskegel des Kegelstumpfs.
Der Kegelstumpf wird von drei Flächen begrenzt: Die größere der beiden parallelen Kreisflächen heißt Grundfläche G, die kleinere Kreisfläche heißt Deckfläche D. Die gekrümmte Fläche zwischen diesen Kreisflächen heißt Mantelfläche M. Die Buchstaben G, D und M bezeichnen zugleich oft die Flächeninhalte dieser Flächen. Die Höhe h ist der Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche.
Für die Formeln werden weitere Größen verwendet: R ist der Radius der Grundfläche, r ist der Radius der Deckfläche. Die Länge einer Mantellinie wird mit m bezeichnet. Eine Mantellinie ist eine gerade Linie auf der Mantelfläche zwischen den beiden Kreisrändern. Der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse heißt φ.
Wichtige Formeln
Das Volumen V eines Kegelstumpfs berechnet man mit V = 1/3 · π · (R² + R · r + r²) · h. Dabei sind R der Radius der Grundfläche, r der Radius der Deckfläche und h die Höhe.
Die Deckfläche ist D = π · r². Die Grundfläche ist G = π · R². Die Mantelfläche ist M = π · (R + r) · m.
Der gesamte Oberflächeninhalt A ist die Summe aus Deckfläche, Grundfläche und Mantelfläche: A = π · (r² + R² + m · (r + R)).
Die Länge einer Mantellinie ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras: m = √((R − r)² + h²).
Wenn φ der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse ist, dann gilt für die Höhe h = (R − r) / tan(φ) und umgekehrt für den Winkel φ = arctan((R − r) / h).
Herleitung des Volumens
Das Volumen kann als Differenz zweier Kegelvolumina verstanden werden: Man nimmt das Volumen des ursprünglichen großen Kreiskegels und zieht das Volumen des abgeschnittenen Ergänzungskegels ab. Die Höhe des Ergänzungskegels wird mit k bezeichnet. Der große Kegel hat dann den Radius R und die Höhe h + k, der kleine Ergänzungskegel hat den Radius r und die Höhe k.
Mit dem Strahlensatz folgt (h + k) / R = k / r. Nennt man diesen Quotienten λ, dann gilt h + k = λ · R und k = λ · r. Daraus folgt h = λ · (R − r).
Das Volumen des großen Kegels ist V_R = 1/3 · π · R² · (h + k) = 1/3 · π · λ · R³. Das Volumen des kleinen Kegels ist V_r = 1/3 · π · r² · k = 1/3 · π · λ · r³. Die Differenz ergibt V = V_R − V_r = 1/3 · π · λ · (R³ − r³). Da R³ − r³ = (R − r) · (R² + R · r + r²) und h = λ · (R − r), erhält man V = 1/3 · π · (R² + R · r + r²) · h.
Alternativ kann man den Kegelstumpf als Rotationskörper auffassen, der durch Rotation einer linearen Funktion um die x-Achse entsteht. Für Rotationskörper gilt V = π · ∫ von a bis b (f(x))² dx. Setzt man f(x) = ((R − r) / h) · x + r und die Grenzen a = 0 und b = h ein, erhält man ebenfalls V = 1/3 · π · (R² + R · r + r²) · h.
Mantelfläche und Oberfläche
Die Mantelfläche lässt sich ebenfalls über eine Differenz berechnen. Man betrachtet die Mantelfläche des ganzen Kegels und zieht die Mantelfläche des Ergänzungskegels ab. Die Mantellinie des Ergänzungskegels heißt n.
Nach dem Strahlensatz gilt R / r = (n + m) / n. Daraus folgt n = (m · r) / (R − r).
Die Mantelfläche M des Kegelstumpfs ist die Differenz aus der Mantelfläche M₁ des ganzen Kegels mit Radius R und Mantellinie m + n und der Mantelfläche M₂ des Ergänzungskegels mit Radius r und Mantellinie n: M = π · R · (m + n) − π · r · n. Durch Umformen ergibt sich M = π · m · (R + r).
Die Oberfläche ist die gesamte äußere Fläche des Körpers. Sie setzt sich aus Deckfläche, Grundfläche und Mantelfläche zusammen: A = D + G + M. Mit D = π · r², G = π · R² und M = π · m · (r + R) folgt A = π · r² + π · R² + π · m · (r + R) und damit A = π · (r² + R² + m · (r + R)).
Im Körpernetz eines Kegelstumpfs entsprechen die Umfänge der beiden Kreisflächen den Bogenlängen der Mantelfläche: Der Umfang u₁ der Deckfläche D ist gleich der Bogenlänge b₁, und der Umfang u₂ der Grundfläche G ist gleich der Bogenlänge b₂.
Beispiel Trinkglas
Einige Trinkgläser, zum Beispiel ein Martiniglas, haben annähernd die Form eines Kegels. Wenn ein solches Glas nicht bis oben gefüllt ist, kann der leere obere Teil näherungsweise als Kegelstumpf betrachtet werden.
Im Beispiel hat ein Martiniglas einen Durchmesser von 103 Millimetern und eine Füllhöhe von 59 Millimetern. Es wird bis zu einer Höhe von 40 Millimetern mit Orangensaft gefüllt. Für den nicht gefüllten Teil gelten dann: R = 51,5 mm, r = (40 mm / 59 mm) · 51,5 mm ≈ 34,9 mm, h = 59 mm − 40 mm = 19 mm.
Mit der Volumenformel V = 1/3 · π · h · (R² + R · r + r²) ergibt sich für den nicht gefüllten Teil ungefähr V ≈ 113 · 10³ mm³ = 113 cm³ = 113 ml. Der nicht gefüllte Teil hat also ein Volumen von etwa 113 Millilitern.
Der Anteil des Martiniglases, der gefüllt ist, beträgt (40 mm / 59 mm)³ ≈ 0,312. Das Martiniglas ist also zu etwa 31,2 Prozent mit Orangensaft gefüllt.
