Rechenschieber

Grundprinzip und Bedeutung

Ein Rechenschieber, auch Rechenstab genannt, ist ein analoges Rechenhilfsmittel beziehungsweise ein mechanischer Analogrechner. Er dient vor allem zur grafischen Durchführung von Multiplikationen und Divisionen, je nach Ausstattung außerdem zum Berechnen von Wurzeln, Quadraten, Kuben, Logarithmen, Potenzen, trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen sowie technischen Umrechnungen.

Das Grundprinzip beruht auf logarithmischen Skalen. Für die Multiplikation gilt \lg(a\cdot b)=\lg(a)+\lg(b), für die Division \lg(a/b)=\lg(a)-\lg(b).

Die logarithmisch dargestellten Strecken werden durch Verschieben einer Zunge und Ablesen mit einem Läufer addiert oder subtrahiert. Dadurch werden Multiplikationen zu Streckenadditionen und Divisionen zu Streckensubtraktionen. Der Läufer ist ein verschiebbarer transparenter Schieber mit mindestens einer Querlinie; er verbindet Skalen, die sich nicht unmittelbar berühren, und verbessert Einstellung und Ablesung.

Bis zur Verbreitung elektronischer Taschenrechner in den 1970er Jahren war der Rechenschieber in Technik, Wissenschaft, Studium und Schule besonders wichtig. Ingenieure verwendeten ihn unter anderem für mechanische, hydraulische, elektrische, statische, verfahrenstechnische und thermodynamische Berechnungen. Seine Anwendung erforderte Übung und Kopfrechnen: Meist konnten drei Stellen direkt abgelesen, eine vierte geschätzt und die Größenordnung des Ergebnisses durch Überschlag bestimmt werden. Der Rechenschieber zeigte nämlich nicht, ob ein abgelesener Wert 6, 60, 600, 0,6 oder beispielsweise 0,006 bedeutete. Bis in die 1950er- und 1960er-Jahre galt er als typisches Symbol des Ingenieurberufs.

Entwicklung und Bauformen

Die mathematische Grundlage entstand mit den Logarithmen. Jost Bürgi und John Napier entwickelten zu Beginn des 17. Jahrhunderts unabhängig voneinander Systeme zur Logarithmenberechnung. Napier veröffentlichte Logarithmen 1614. Henry Briggs schlug die Verwendung der Basis 10 vor; diese dekadischen oder briggsschen Logarithmen verbreiteten sich besonders in der Astronomie.

Edmund Gunter veröffentlichte 1624 eine logarithmische Skala, mit der zunächst mithilfe eines Stechzirkels multipliziert, dividiert und mit Winkelfunktionen gerechnet wurde. Richard Delamain beschrieb 1630 mit der Grammelogia einen kreisförmigen Rechenschieber mit verschiebbaren Skalen. William Oughtred veröffentlichte 1632 die Rechenscheibe Circles of Proportions und 1633 die Verwendung zweier mechanisch nicht verbundener Lineale mit logarithmischen Skalen. Wegen der Prioritätsfrage wird Delamain das Verdienst zugeschrieben, den Rechenschieber erstmals öffentlich entwickelt und beschrieben zu haben. Edmund Wingate beschrieb 1645 die Skalenkombination D, A und K, mit der quadratische und kubische Wurzeln ohne Zirkel und Skalenverschiebung bestimmt werden konnten. Gerade Rechenschieber mit verschiebbarer Zunge sind von Robert Bissaker (1654) und Seth Patridge (1657) bekannt.

Isaac Newton erfand den Läufer; John Robertson setzte ihn 1775 praktisch um. Peter Mark Roget entwickelte 1815 doppelt logarithmische Exponentialskalen. Um 1800 gab es runde Rechenschieber, Rechenscheiben und längliche Stäbe mit quadratischem Querschnitt und mehreren Skalenflächen. James Watts Soho-Typ war der erste weiter verbreitete Rechenschiebertyp. Ab etwa 1850 beschleunigte sich die Entwicklung stark; französische Hersteller wie Lenoir und Gravet-Lenoir sowie später deutsche Firmen produzierten in größeren Stückzahlen.

Es gibt zwei Hauptbauformen. Das Einseitenmodell besitzt einen U-förmigen Körper, eine bewegliche Zunge und einen Läufer; die Skalen liegen überwiegend auf einer Seite. Beim Zweiseitenmodell oder Duplex verbinden Stege zwei Körperhälften, zwischen denen die Zunge läuft. Der Läufer besitzt auf beiden Seiten Haarlinien, sodass Vorder- und Rückseitenskalen gemeinsam genutzt werden können. Beim Duplex werden Zunge und Körper meist aus derselben Materialplatte gefertigt, weshalb Längenunterschiede seltener sind.

Ursprünglich bestanden Rechenschieber vor allem aus Holz, später aus Holz mit Zelluloidauflagen, Bambus, Kunststoff, Aluminium oder seltener Messing und Elfenbein. Die Standardteilungslänge von der Marke 1 bis zur Marke 10 beträgt 25 cm; Taschenmodelle haben oft 12,5 cm, Büro- oder Tischmodelle 50 cm, Demonstrationsmodelle etwa 1,8 m. Rechenscheiben sind kreisförmig. Rechenwalzen teilen die Skalen zylindrisch auf viele Abschnitte auf und erreichen dadurch größere effektive Längen; die größten Loga-Walzen besitzen eine Skalenlänge von 24 m.

Skalensysteme und Spezialtypen

Die möglichen Rechnungen hängen von Auswahl, Bezug und Anordnung der Skalen ab. Das System Mannheim von Amédée Mannheim (um 1850) besaß die Grundskalen C und D sowie die Quadratskalen A und B. Auf der Rückseite lagen gewöhnlich Mantissen-, Sinus- und Tangensskalen. Spätere Modelle erhielten die inverse Grundskala CI.

Das System Beghin, um 1898 in Frankreich verbreitet, ersetzte A und B durch um \sqrt{10} gefaltete Skalen. Dadurch waren Rechnungen ohne Rückschlag der Zunge möglich. Das System Rietz ergänzte 1902 die Kubikskala K und die Mantissenskala L; für kleine Winkel kam die Skala ST hinzu. Es wurde ab den 1920er Jahren von vielen Herstellern produziert und war besonders bei 12,5-cm-Taschenmodellen verbreitet.

Die doppelt logarithmischen Skalen LL0 bis LL3 machten beliebige, auch nichtganzzahlige Potenzen und Wurzeln sowie beliebige Logarithmen möglich. Das System Log-Log Simplex beziehungsweise Elektro übernahm diese Skalen ab dem frühen 20. Jahrhundert. Das System Differential Simplex verwendete platzsparende differentielle Skalen für Sinus, Tangens und Exponentialfunktionen, sodass der Rechenstab für trigonometrische Berechnungen nicht gewendet werden musste. Das System Darmstadt entstand um 1934 am Institut für Praktische Mathematik der TH Darmstadt unter Alwin Walther. Es verlegte Sinus- und Tangensskalen auf den Körper, besaß die pythagoreische Skala P und wurde in Deutschland bis zur Mitte der 1950er Jahre als wissenschaftlicher Standardtyp verwendet.

Duplexmodelle wurden 1891 von William Cox wiederentwickelt und für Keuffel & Esser patentiert. Frühe Modelle waren Mannheim-kompatibel; ab etwa 1908 gab es auch Duplexmodelle mit Log-Log-Skalen. Weitere Familien besaßen trigonometrische und dezimal-trigonometrische Skalen, gefaltete Speed-Skalen DF, CF und CIF, hyperbolische Skalen des Typs Vektor sowie Wurzel- und Kubikwurzelskalen. In Deutschland verbreiteten Aristo Studio, HyperboLog und HyperLog den Duplexweg; in Großbritannien waren unter anderem Thornton P221 und AA010 wichtig.

Spezialrechenschieber wurden für Vermessung, Elektrotechnik, Chemie, Militär, Handel, Luftfahrt und Maschinenbau entwickelt. Das System Stadia enthielt beispielsweise Skalen für \sin\alpha, \cos\alpha, \tan\alpha, \cos^2(\alpha), \sin(\alpha)\cos(\alpha) und 1/\tan(\alpha/2), teils in Gon statt Grad. Elektro-Rechenschieber besaßen häufig Skalen für Wirkungsgrad, Spannungsabfall sowie Leitfähigkeit und spezifisches Gewicht von Kupfer und Aluminium. Weitere Spezialgeräte dienten etwa der Auswahl von Lagern, Keilriemen, Rohrleitungen und Klimaanlagen oder der Navigation; bekannt ist der E6-B-Flugrechner.

Rechnen mit den wichtigsten Skalen

Die Gesamtlänge einer Skala wird als Teilungslänge L bezeichnet. Üblich sind 125 mm bei Hemdtaschenmodellen, 250 mm bei Standardmodellen und 500 mm bei Büromodellen. Bei einer Skala mit d Dekaden entspricht die Zahl x der Länge l(x)=\frac{L}{d}\cdot\lg(x).

Grundskalen C und D enthalten meist eine Dekade von 1 bis 10; A und B enthalten zwei Dekaden von 1 bis 100. Für 2\cdot3=6 wird die 1 der Zunge über 2 auf D gestellt und 3 auf C gegenüber dem Ergebnis auf D abgelesen. Für Produkte über 10 muss die Zunge durchgeschoben oder ein Rückschlag verwendet werden. Bei der Division wird der Divisor auf C über den Dividenden auf D gestellt und an der 1 von C das Ergebnis auf D abgelesen. Alternativ kann mit der Kehrwertskala CI multipliziert werden.

Das Verhältnis zwischen C und D bleibt bei unveränderter Zungenstellung gleich. Deshalb eignet sich der Rechenschieber für Dreisatz und Proportionen. Im Artikel wird als Beispiel die Umrechnung von Yards und Metern genannt: 82 Yards entsprechen 75 Metern. Wird 75 auf C über 82 auf D gestellt, können beliebige weitere Werte umgerechnet werden.

Die Skala A beziehungsweise B dient zum Quadrieren, die Skala K mit drei Dekaden von 1 bis 1000 zum Kubieren. Quadratwurzeln werden aus A oder B auf D beziehungsweise C abgelesen, Kubikwurzeln aus K auf D. Für beliebige Größenordnungen werden Radikanden in Faktoren mit Potenzen von 100 beziehungsweise 1000 zerlegt. Es gilt \sqrt{100^a x}=10^a\sqrt{x} und \sqrt[3]{1000^a x}=10^a\sqrt[3]{x}.

Inverse Skalen CI und DI verlaufen rückwärts und liefern Kehrwerte. Die lineare Mantissenskala L zeigt die Nachkommastellen des dekadischen Logarithmus; die Kennzahl wird aus der Stellung des Kommas bestimmt. Diese Methode eignet sich wegen der Fehlerfortpflanzung vor allem für Überschlagsrechnungen.

Gefaltete Skalen wie DF, CF und CIF sind meist um \pi verschoben und vermeiden den Rückschlag. Die allgemeine Form lautet l(x)=L\cdot\lg(x-f); üblich ist f=\pi, seltener \sqrt{10} oder bei kaufmännischen Geräten 3,6. Beim Übergang zwischen nicht gefalteten und gefalteten Skalen wird mit dem Verschiebungsfaktor multipliziert oder dividiert.

Trigonometrische Skalen decken unterschiedliche Winkelbereiche ab. S dient für Sinuswerte etwa von 5,7° bis 90°, ST für kleine Winkel etwa von 0,57° bis 5,7°. T1 beziehungsweise T deckt ungefähr 5,7° bis 45° ab, T2 45° bis 84,3°. Für kleine Winkel gilt näherungsweise \operatorname{arc}x\approx\sin x\approx\tan x; die Abweichung beträgt weniger als 1,5 ‰. Der Kosinus wird meist über den Komplementwinkel auf der Sinusskala bestimmt. Mit der Kehrwertskala DI kann der Kotangens abgelesen werden.

Genauigkeit und Ende der Nutzung

Ein 30 cm langer Rechenschieber ermöglicht auf C und D meist das direkte Ablesen von zwei bis drei Dezimalstellen; eine weitere Stelle kann mit Übung geschätzt werden. Größere Geräte sind genauer. Die absolute Ungenauigkeit ist bei großen Zahlen höher, die relative Ungenauigkeit bleibt jedoch gleich. Die Kommastelle muss immer durch eine Überschlagsrechnung bestimmt werden.

Ab den 1950er Jahren wurden Spezial- und Duplexmodelle technisch immer leistungsfähiger. 1970 erschien der Aristo Hyperlog. Der technisch-wissenschaftliche Taschenrechner HP-35 kam 1972 auf den Markt und bot trigonometrische, Exponential- und Logarithmusfunktionen. Um 1975 waren Taschenrechner so preisgünstig, dass auch der Schulunterricht umgestellt wurde; die Rechenschieberproduktion endete weitgehend. In der DDR und in China geschah dies etwa zehn Jahre später. Der Rechenschieber blieb in wenigen Spezialbereichen erhalten, etwa bei der Luftfahrtnavigation oder der Auswahl von Heizungsventilen.

Heute existieren Rechenschieber vor allem als Sammlerobjekte, historische Forschungsgegenstände, Simulationen und Handy-Apps. Die Oughtred Society besteht seit 1991 und veröffentlicht vierteljährlich Fachartikel. Der Artikel weist darauf hin, dass ein Abschnitt zu Bedeutung und Anwendungen nicht ausreichend mit Belegen ausgestattet ist; entsprechende Angaben könnten daher überprüft werden müssen.