Logarithmentafel

Bedeutung und Grundidee

Eine Logarithmentafel (auch logarithmische Rechentafel) ist eine Tabelle mit Mantissen, also den Nachkommastellen von Logarithmen. Häufig verwendete Tafeln enthalten dekadische Logarithmen zur Basis 10 für Zahlen von 1,00 bis 9,99. Über Jahrhunderte waren sie besonders in Naturwissenschaft und Technik wichtige Rechenhilfen. Sie erleichterten unter anderem schwieriges Wurzelziehen und waren im Mathematik- und Physikunterricht der Oberstufe bis in die 1970er Jahre verbreitet. Taschenrechner und Computer machten sie weitgehend überflüssig.

Rechnen mit Logarithmen

Logarithmentafeln führen schwierigere Rechenoperationen auf einfachere zurück. Grundlage sind die Logarithmengesetze für positive Zahlen a und b:

• logₓ(a·b) = logₓa + logₓb: Multiplikation wird zu Addition.
• logₓ(a/b) = logₓa − logₓb: Division wird zu Subtraktion.
• logₓ(aᵇ) = b·logₓa: Potenzieren wird zu Multiplikation.
• logₓ(√[b]{a}) = (1/b)·logₓa, mit b ≠ 0: Wurzelziehen wird zu Division.

Um a·b zu berechnen, schlägt man die Logarithmen von a und b nach, addiert sie und sucht zu dieser Summe wieder die zugehörige Zahl in der Tafel. Diese Zahl ist das Produkt.

Aufbau und Genauigkeit

Es gab drei-, vier- und fünfstellige Tafeln; mehr Stellen bedeuten höhere Genauigkeit und einen größeren Umfang. Vierstellige Tafeln waren im Schulgebrauch üblich. Bei einer einfachen dreistelligen Tafel stehen die ersten beiden Ziffern einer Zahl, also 10 bis 99, am linken Rand; die dritte Ziffer 0 bis 9 steht als Spaltenüberschrift.

Bei Logarithmen zur Basis 10 reicht der Bereich 1,00 bis 9,99. Bei einer Verzehnfachung verändert sich nur der ganzzahlige Teil des Logarithmus: logₐ(ax) = 1 + logₐ(x). Daher gilt beispielsweise log(2) ≈ 0,30103, log(20) = 1,30103 und log(200) = 2,30103. Für kleinere Zahlen gilt entsprechend log(0,2) ≈ −0,69897 und log(0,02) ≈ −1,69897. Werte mit vier geltenden Ziffern können durch lineare Interpolation bestimmt werden.

Tafeln enthielten oft zusätzlich Formeln aus Geometrie und Trigonometrie sowie Daten, etwa über Körper des Sonnensystems oder Sterbetafeln.

Interpolation mit P.P.-Täfelchen

P.P. bedeutet partes proportionales und bezeichnet eine lineare Interpolation. Solche Hilfstafeln erlauben es, Zwischenwerte zwischen zwei Tabellenwerten zu bestimmen. In einer Logarithmentafel steht der Numerus, also die Zahl a in x = log_b a, links und oben; die Mantisse steht rechts.

Für den Numerus 66108 wird ausgehend von 661 die Tafeldifferenz 7 verwendet. Acht Zehntel davon ergeben 5,6 beziehungsweise 0,000056; damit wird die Mantisse interpoliert und gerundet. Für weitere Ziffern werden Teile der Tafeldifferenz durch 100 statt durch 10 verwendet; gerundet werden soll nur die letzte Stelle. P.P.-Tabellen enthalten etwa die Differenzen 6 und 7, weil beide als Unterschiede benachbarter Tabellenwerte vorkommen.

Entwicklung und bekannte Tafeln

John Napier veröffentlichte 1614 mit Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio die erste Logarithmentafel. Jost Bürgi berechnete unabhängig davon zwischen 1603 und 1611 eine Tafel, die 1620 als Arithmetische und geometrische Progresstabuln erschien und von Johannes Kepler für astronomische Berechnungen genutzt wurde. Henry Briggs führte 1624 die Basis 10 als einheitliche Basis ein. Seine auf 14 Stellen genaue Tafel wurde 1627/28 durch Adriaan Vlacq und Ezechiel de Decker vollständig herausgegeben; sie enthielt 603 Fehler.

Zunächst berechnete man Tafeln durch Potenzieren, später auch mit konvergenten Reihen. Nicolaus Mercator stellte 1668 eine Reihe für ln(1+x) bereit. Jurij Vega veröffentlichte 1783 den fast fehlerfreien Thesaurus logarithmourum completus; Carl Bremiker verbesserte diese Vega-Tafeln. Zu bekannten Ausgaben gehören außerdem die Vega-Bremiker-Tafeln, Wilhelm Jordans Logarithmen und Hilfstafeln, Friedrich Gustav Gauß’ Fünfstellige vollständige logarithmische und trigonometrische Tafeln sowie Friedrich Wilhelm Küsters Rechentafeln für die chemische Analytik.