Umkehroperation – einfach erklärt

Grundidee der Umkehroperation

Eine Umkehroperation ist in der Mathematik eine Vorschrift, mit der man zu einer bestimmten zweistelligen Rechenoperation aus dem Ergebnis und einem der beiden Operanden den jeweils anderen Operanden zurückerhält. Die Umkehroperation macht eine bereits ausgeführte Rechnung so weit rückgängig, dass die unbekannte Zahl bestimmt werden kann. Im didaktischen Zusammenhang nennt man sie auch Umkehraufgabe oder Umkehrrechnung.

Bei den Grundrechenarten ist die Umkehroperation der Addition die Subtraktion. Die Umkehroperation der Multiplikation ist die Division. Allerdings ist die Umkehrung nicht bei jeder Kombination von Operanden möglich. Umkehroperationen können außerdem als spezielle Umkehrfunktionen betrachtet werden.

Beispiele bei Grundrechenarten und Potenzen

Bei der Addition gilt c = a + b. Sind die Summe c und der Summand a bekannt, erhält man den anderen Summanden durch b = c − a. Daher ist die Subtraktion eine Umkehroperation der Addition. Weil die Addition kommutativ ist, also die Reihenfolge der Summanden keine Rolle spielt, gilt bei bekannter Summe c und bekanntem Summanden b auch a = c − b.

Bei der Multiplikation gilt c = a · b. Sind das Produkt c und der Faktor a bekannt, erhält man den anderen Faktor durch b = c / a. Die Division ist deshalb eine Umkehroperation der Multiplikation. Wegen der Kommutativität gilt bei bekanntem Produkt c und Faktor b auch a = c / b. Das Verfahren ist jedoch nicht anwendbar, wenn einer der beiden Faktoren und damit auch das Produkt Null wird, weil eine Division durch Null grundsätzlich verboten ist.

Beim Potenzieren gilt c = bᵃ. Sind das Ergebnis c und der Exponent a bekannt, erhält man die Basis b durch Wurzelziehen: b = ⁽ᵃ⁾√c. Sind dagegen das Ergebnis c und die Basis b bekannt, bestimmt man den Exponenten a durch Logarithmieren: a = log_b(c). Das Potenzieren besitzt somit zwei Umkehroperationen: Wurzelziehen beantwortet die Frage nach der verwendeten Basis, Logarithmieren die Frage nach dem verwendeten Exponenten. Der Grund ist, dass das Potenzieren im Gegensatz zu Addition und Multiplikation nicht kommutativ ist.