Logarithmische Ableitung

Definition und Bedeutung

In der Analysis ist die logarithmische Ableitung L(f) einer differenzierbaren Funktion f, die keine Nullstellen besitzt, als Quotient aus ihrer Ableitung und der Funktion selbst definiert:

L(f) := f′/f.

Der Begriff lässt sich ebenso für von Null verschiedene meromorphe Funktionen verwenden. Bei meromorphen Funktionen muss man keine Nullstellen ausschließen, weil der Quotient f′/f wohldefiniert ist.

Für reelle Funktionen f mit positiven Werten stimmt die logarithmische Ableitung nach der Kettenregel mit der Ableitung von ln(f) überein. Daher gilt:

(ln f)′ = f′/f.

Die logarithmische Ableitung beschreibt somit die relative Änderungsrate einer Funktion: Die gewöhnliche Ableitung f′ wird durch den Funktionswert f geteilt.

Rechenregeln

Die wichtigste Eigenschaft ist die Regel für ein Produkt:

L(f · g) = L(f) + L(g).

Für mehrere Faktoren gilt entsprechend:

L(f₁ ··· fₙ) = L(f₁) + ··· + L(fₙ).

Die Produktregel kann dadurch in der Form

(fg)′ = fg · (L(f) + L(g))

geschrieben werden.

Für den Kehrwert und einen Quotienten gelten:

• L(1/f) = −L(f)
• L(f/g) = L(f) − L(g)

Für eine Potenzfunktion gilt:

L(fⁿ) = n · L(f).

Diese Regeln folgen aus der Leibnizregel. Deshalb gelten sie auch in allgemeinerem Zusammenhang, beispielsweise bei der formalen Ableitung von Polynomen oder rationalen Funktionen über einem beliebigen Grundkörper.

Typische Beispiele

Die logarithmische Ableitung lässt sich meist mithilfe der gewöhnlichen Differentiationsregeln bestimmen. Wichtige Beispiele sind:

• Für die konstante Funktion f = n gilt L(f) = 0, sofern n ∈ ℝ \ {0} ist.
• Für f = xⁿ mit n ∈ ℝ gilt L(f) = n/x.
• Für f = eⁿˣ mit n ∈ ℝ gilt L(f) = n.
• Für f = ln(x) gilt L(f) = 1/(x ln(x).
• Für f = sin(x) gilt L(f) = cot(x).
• Für f = cos(x) gilt L(f) = −tan(x).
• Für f = tan(x) gilt L(f) = 1/(sin(x) cos(x)).
• Für die Gamma-Funktion Γ(z) ist die logarithmische Ableitung die Digamma-Funktion ψ(z): L(Γ(z)) = ψ(z).

Nullstellen, Pole und Residuen

Sei g(z) eine meromorphe Funktion mit einer Nullstelle der Ordnung n oder einem Pol der Ordnung −n an einer Stelle c ∈ ℂ. Dann kann g(z) in der Form

g(z) = (z − c)ⁿ f(z)

geschrieben werden. Dabei ist f(z) in einer Umgebung von c holomorph, also komplex differenzierbar, und es gilt f(c) ≠ 0.

Für die logarithmische Ableitung folgt:

L(g) = n/(z − c) + L(f).

Da f(c) nicht null ist, ist L(f) in einer Umgebung von c holomorph. Das Residuum von L(g) an der Stelle c entspricht deshalb genau der Nullstellenordnung von g an dieser Stelle. Bei einem Pol wird dabei die Ordnung −n berücksichtigt. Dieser Zusammenhang wird im Prinzip vom Argument ausgenutzt.

Anwendung auf zusammengesetzte Produkte

Ist eine Funktion in der Form

f = k · uᵃ · vᵇ · wᶜ · …

darstellbar, wobei k sowie a, b, c, … Konstanten sind, kann ihre Ableitung kompakt angegeben werden:

f′ = f · (a · u′/u + b · v′/v + c · w′/w + …).

Dazu wird zunächst jeder Faktor durch seine logarithmische Ableitung ersetzt. Anschließend wird die Summe mit f multipliziert. Diese Darstellung ist besonders bei Handrechnungen nützlich, weil mehrere Ableitungsregeln in einer Formel zusammengefasst werden.

Spezialfälle zeigen den Zusammenhang mit bekannten Regeln:

• k = 1, a = 1, b = 1: Produktregel
• k = 1, a = 1, b = −1: Quotientenregel
• k = 1, a = −1: Reziprokenregel