Meromorphe Funktion

Grundidee und Darstellung

Meromorphie ist eine Eigenschaft komplexwertiger Funktionen in der Funktionentheorie. Sie erweitert den Begriff der holomorphen Funktion: Eine holomorphe Funktion ist komplex differenzierbar, doch ihr Kehrwert 1/f hat an Nullstellen von f Definitionslücken und ist dort nicht komplex differenzierbar. Meromorphe Funktionen dürfen deshalb zusätzlich isolierte Polstellen besitzen.

Lokal lassen sich meromorphe Funktionen durch Laurentreihen darstellen, deren Hauptteil abbricht. Auf einem Gebiet U\subset\mathbb{C} bilden die meromorphen Funktionen einen Körper: Man kann sie – außer bei den üblichen Ausnahmen wie Division durch die Nullfunktion – addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.

Definition auf komplexen Zahlen

Sei D eine nichtleere offene Teilmenge von \mathbb{C}. Eine Funktion f heißt meromorph, wenn sie auf D\setminus P_f definiert und holomorph ist und an allen Punkten der Menge P_f Pole hat. Dabei besteht P_f nur aus isolierten Punkten und heißt Polstellenmenge von f.

Eine Polstelle ist also eine einzelne ausgeschlossene Stelle, an der die Funktion nicht regulär holomorph fortgesetzt wird, sondern betragsmäßig gegen unendlich geht.

Definition auf riemannschen Flächen

Sei X eine riemannsche Fläche und Y eine offene Teilmenge von X. Eine meromorphe Funktion auf Y ist eine holomorphe Funktion f\colon Y'\to\mathbb{C} auf einer offenen Teilmenge Y'\subset Y, wenn P_f:=Y\setminus Y' nur isolierte Punkte enthält und für jeden Punkt p\in Y\setminus Y' gilt:

\lim_{x\to p}|f(x)|=\infty.

Die Punkte aus Y\setminus Y' heißen Pole. Die Menge aller meromorphen Funktionen auf Y wird mit \mathcal{M}(Y,\mathbb{C}) bezeichnet und ist ein Körper, falls Y zusammenhängend ist. Für eine riemannsche Fläche, die eine Teilmenge der komplexen Zahlen ist, ist diese Definition äquivalent zur Definition auf \mathbb{C}.

Typische Beispiele und Gegenbeispiel

Jede holomorphe Funktion ist meromorph, denn ihre Polstellenmenge ist leer. Die Kehrwertfunktion z\mapsto 1/z ist meromorph und hat \{0\} als Polstellenmenge.

Allgemein sind rationale Funktionen

z\mapsto \frac{a_mz^m+\dotsb+a_0}{b_nz^n+\dotsb+b_0}

meromorph. Ihre Polstellenmenge ist jeweils eine Teilmenge der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms. Ist f\neq0 meromorph, dann ist auch 1/f meromorph. Ebenso sind Tangens und Kotangens meromorph.

Dagegen ist z\mapsto e^{1/z} nicht auf ganz \mathbb{C} und auch nicht auf einer Umgebung von 0 meromorph: Bei 0 liegt keine Polstelle, sondern eine wesentliche Singularität vor. Weitere genannte Beispiele sind elliptische Funktionen, die Gammafunktion, die Hurwitzsche Zeta-Funktion, Modulformen, die Riemannsche \zeta-Funktion und spezielle Funktionen. Wichtige Sätze sind der Satz von Mittag-Leffler, der Residuensatz und der Satz von Riemann-Roch.