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Einfache Bruchgleichungen lösen – Definitionsmenge, Lösungsmenge
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 86 Zeilen
- hallo ihr Lieben heute möchte ich euch Schritt für Schritt zeigen wie man diese Gleichung lösen kann und die sieht ja schon sehr umfangreich aus es handelt
- sich auch um eine sogenannte bruchgleichung das ist immer dann der Fall wenn wir Brüche haben aber das reicht noch nicht aus um eine
- bruchgleichung zu sein unser x also unsere variable muss dann auch an mindestens einer Stelle im Nenner vorkommen nur dann ist es eine
- bruchgleichung wenn das X nur im Zähler irgendwo vorkommt dann ist es eine ganz normale Gleichung mit Brüchen aber eine bruchgleichung da muss es x auch
- wirklich irgendwo im Nenner zu finden sein und bevor wir diese Gleichung jetzt lösen kümmern wir uns am besten erstmal um die
- Definitionsmenge denn sobald ein X im Nenner vorkommt wir also durch etwas mit X teilen müssen wir erstmal dafür sorgen dass wir nicht durch Null teilen also
- wir müssen gucken wann werden die Nenner denn null und wenn hier in so einem Nenner kein X vorkommt dann kann der natürlich auch nicht null werden also
- hier vorne das bleibt immer bei 7 hier hinten der Nenner bleibt immer bei 49 die machen keine Probleme aber hier dieses
- 84x - 7 das könnte eben g=ich 0 werden und da schauen wir jetzt einfach mal wann das passiert und diese Zahl darf man dann nicht für das X einsetzen denn
- durch n0 darf man ja eben nicht teilen also stellen wir die Gleichung mal nach X um geh gehtuch jetzt relativ easy einfach + 7 rechnen auf beiden Seiten
- damit nach rechts hüpft dann hätten wir hier die 4 x alleine stehen und rechts 0 + 7 sind 7 und im letzten Schritt damit das X auch wirklich alleine steht teilen
- wir noch durch die 84 das X wäre dann 7 dur 84 also kann man jetzt erstmal so als Bruch hinschreiben und dann aber am besten
- noch kürzen denn die 84 ist durch 7 teilbar 7 dur 7 wären 1 84 dur 7 wären 12 und dann haben wir für unsere x eigentlich nur ein zw raus und diese
- Zahl diese ein zw darf man eben nicht hier für das X einsetzen denn ansonsten würde dieser Nenner eben ull werden und wir würden durch 0 teilen unsere
- Definitionsmenge sagt dann also wir dürfen alle Zahlen einsetzen also alle reellen Zahlen außer der Zahl die wir gerade rausgefunden haben der ein zw die
- ist eben nicht erlaubt und das wäre die Definitionsmenge also bevor ihr startet kümmert euch ruhig um die Definitionsmenge damit ihr wisst falls
- wir jetzt im Laufe unserer Umformung rausbekommen sollten dass ein zwel eventuell eine Lösung sein könnte dann sagt die Definitionsmenge nö da spiele
- ich nicht mit ein zw ist von vorne rein gar nicht erlaubt so und dann würde ich sagen gehen wir mal ran und lösen diese Gleichung da hat man einiges zu tun denn
- unser x haben wir schon gesehen steckt hier im Nenner drin das muss da auf jeden Fall raus es darf nicht unten stehen wir wollen ja nach x auflösen und
- das geht auf keinen Fall wenn das X hier in so einem Nenner gefangen ist wenn wir uns die Nenner mal anschauen das würde ich immer ganz am Anfang mal machen um
- zu gucken ob die irgendwelche Gemeinsamkeiten haben denn um diese Brüche wegzubekommen müssen wir letztendlich mit irgendwas multip
- wenn wir diese 49 hier wegbekommen wollten müssten wir die komplette Gleichung mit 49 multiplizieren dann wird diese 49 hier zwar wegfallen und
- der Bruch wird weg sein aber auf der anderen Seite werden nicht alle Brüche wegfallen weil hier diese 84x - 7 die hat mit der 49 hier relativ wenig zu tun
- deswegen würde ich sagen wir schauen uns erstmal unsere Nenner an man kann so vorgehen wie ich es gerade gezeigt habe dass man einfach alles einzeln
- multipliziert wir multiplizieren mit 49 wir multiplizieren mit 7 wir multiplizieren mit dem und dann sind alle Brüche weg aber das kann plötzlich
- sehr groß werden sehr große Zahlen sehr hässliche Ausdrücke von daher würde ich euch das nicht empfehlen einfach wild los zu multiplizieren sondern euer
- Köpfchen anzustrengen und einfach mal zu gucken haben diese Nenner überhaupt gemeinsam keiten und man kann auch schauen ob man eventuell vielleicht
- vorher schon kürzen kann also wir schauen uns unsere Brüche an 2x durch 7 da kann man jetzt nichts kürzen die 2 und 7 haben da leider keine gemeinsamen
- Faktoren deswegen lassen wir dieses 2x dur 7 einfach mal so stehen hier vorne schauen uns die 3x + 1 an da kann man nichts ausklammern weil da hinten nur
- eine 1 steht also da sind keine auch schon wieder keine gemeinsamen Faktoren zwischen der 3 und der ein deswegen lassen wir auch das so stehen aber jetzt
- in der 84 und der 7 stecken Zahlen drin die in der 84 vorkommen und auch in der 7 denn die 84 ist durch 7 teilbar das hatten wir ja eben schon und die 7 ist
- natürlich auch durch 7 teilbar deswegen können wir hier eine 7 ausklammern das heißt 7 rausziehen was bleibt übrig 84 dur 7 sind 12 also 12x bleiben hier
- vorne übrig dann kommt das Minus und auch hier 7 durch 7 sind 1 also einfach die 7 ausgeklammert und geguckt was dann eben übrig
- bleibt dann rechts auch hier können wir schauen ob wir auch Zähler was ausklammern können auch das kann zum Kürzen praktisch sein ein der 14 und der
- 2 die sind beide durch 2 teilbar also die Z kann man rausziehen 14 durch 2 sind 7 x noch dazu + und 2 dur 2 sind 1 das würde übrig bleiben und die 49 ja
- die würde ich da kann man natürlich nichts machen lassen wir mal als 49 stehen wenn man jetzt kürzen kann hier z.B die 2 und die 49 wenn das gehen
- würde dann macht man das natürlich damit die Zahlen kleiner werden geht hier jetzt aber nicht also lassen wir das mal so stehen wir haben jetzt überall
- Produkte also hier ist ein mal dazwischen hier ist ein mal dazwischen das ist immer gut und wir schauen jetzt was haben die
- Nenner denn gemeinsam denn wir würden gerne nur mit einem Nenner einem Hauptnenner multiplizieren dann gleich hier und danach fliegen alle Brüche Weg
- das wäre cool und den Hauptnenner den findet man folgendermaßen dass man sich eben also das macht was man gerade eben gemacht hat erstmal alles so in Produkte
- zerlegen was irgendwie geht auch die 49 würde ich mal nicht als 40 stehen lassen sondern auch in ein Produkt zerlegen also was mal was ist 49 da kommen wir
- auf 7 x 7 denn die 7bener kommen hier auch vor also immer dass man guckt welche Gemeinsamkeiten haben denn unsere einzelnen Nenner und jetzt muss man aus
- jedem Nenner etwas rausziehen also wir schauen uns den ersten Nenner an die sieben die muss in den Hauptnenner rein wenn wir alles aus dem ersten Nenner
- haben kommt ein mal hier hin wir haken das mal ab das wir das haben und dann gehen wir zum nächsten Nenner und schauen uns hier noch mal an die jeder
- Teil aus diesem Produkt muss hier unten rein die sieben muss hier unten rein aber ha die ist da ja schon also haben wir die schon die Klammer muss hier
- unten rein die ist noch nicht da dann müssen wir sie eben hinschreiben also diese 12x - 1 kommt mit rein dann sind wir hiermit fertig können das Abhaken
- gehen zum nächsten Nenner die werden dann mit einem Mal wieder verbunden die sieben muss in den Hauptnenner ist sie hier vorne ja aber schon die zweite
- sieben ist nicht hier drin deswegen muss die auch noch mit rein dann können wir die abhaken und das da ist unser Hauptnenner 7 x 7 können wir noch zu 49
- umschreiben die Klammer lassen wir dann so stehen und dann wäre das eine schöne Form für unseren Hauptnenner mit dem wir jetzt diese Gleichung hier
- multiplizieren also mal 49 und mal die Klammer denn wenn wir damit jetzt multiplizieren fallen in einem Schritt alle Brüche weg und das machen wir jetzt
- mal auf der nächsten Seite da steht die letzte Zeile noch mal und wir legen los also das gibt's jetzt in einer schnellen Variante oder einer langsameren Variante
- ich mach's wirklich mal ganz ausführlich dass wir hiermit multiplizieren also unseren ersten Bruch diese 2x dur 7 multiplizieren wir jetzt hiermit und
- wenn man einen Bruch mit etwas multipliziert dann landet all das womit wir multiplizieren ja einfach im Zähler also das können wir da
- reinschreiben erstmal und danach kürzen wir den Bruchstrich vielleicht noch ein Ticken verlängern das wäre unser erster Bruch wenn wir damit multiplizieren dann
- kommt das Plus und auch diesen Bruch müssen wir natürlich hiermit multiplizieren diesmal mache ich den Strich schon mal länger da stand 3x + 1
- vorher auch den Nenner einfach schön abschreiben und dann wird hierm multip ert ganz wichtig wenn da vorher eine Summe also ein Plus stand dann muss der
- Teil der vorher da zusammen standand der muss in eine Klammer gepackt werden und dann mit dem multipliziert werden was wir da haben das wird noch schöner ne
- ich habe euch auch versprochen dass jetzt gleich alle Brüche wegfallen momentan sieht einfach nur noch schlimmer aus das gebe ich zu das ist
- aber der Zwischenschritt wie wie hier vorgegangen wird gleich können wir dann kürzen ihr seht es vielleicht schon dann fällt dann alles schön weg
- auf der rechten Seite aber ganz genauso alles was da vorher stand schreibt ihr einmal hin und dann wird es aber im Zähler noch mit dem eben multipliziert
- was wir hier hatten da muss ich das jetzt ein bisschen hier hin quetschen aber wir wissen ja was es heißen soll und jetzt wird gekürzt denn wir haben
- überall Malzeichen dazwischen und da dürfen wir dann rauskürzen was geht hier vorne die 49 ist natürlich durch 7 teilbar 49 dur
- 7 wären 7 7* 7 sind 1 also im Nenner steht nichts mehr wie gewünscht auch hier die Klammer kann komplett weg und auch hier 49 dur 7 wären 7 und hier
- hinten fällt die 49 weg dann haben wir hier jetzt keine Brüche mehr wie versprochen wir schauen mal was übrig bleibt 2x* 7 sollten wir mal
- zusammenrechnen wären schon mal 14x die noch mit mit dieser Klammer dann gleich multipliziert werden müssen dann im zweiten Teil ist nur die sieben und
- diese Klammer da vielleicht ziehen wir die sieben vor die Klammer aber ist einfach nur Geschmackssache könnt ihr machen wie ihr wollt und hier hinten
- hätten wir die zwei und dann noch diese beiden Klammern okay um die müssen wir uns noch kümmern aber das schöne ist wie wir jetzt sehen alle Brüche sind weg und
- wir müssen jetzt nur noch diese Gleichung hier lösen Klammern auflösen wir müssen durch hier die 14x wird mit jedem Element hier in der Klammer
- multipliziert 14x mal 12x 14 x 12 sind 168 x* x wären x² dann kommt das Minus hier und 14x x 1 wären
- 14x das + 7* 3x auch hier genauso sind 21x und 7 x 1 sind 7 rechts ja da müssen die beiden Klammern multiplizieren aber wir können vielleicht erstmal damit
- starten dass wir hier die zwei mit der ersten Klammer multiplizieren also 2 x 7x wären 14x und 2 x 1 sind 2 das Ergebnis schön in Klammern schreiben
- denn das hier soll ja noch mal mit der Klammer hier multipliziert werden und das ist wichtig dass das dann in Klammer kommt also statt dem Teil hier was wir
- gerade ausgerechnet haben schiebe ich da einfach mal unser Ergebnis hin dass ich nicht so viel schreiben muss und jetzt lösen wir die Klammer hier auf indem wir
- jedes Element mit jedem multiplizieren also erstmal die 14x mit allem hier hinten 14x mal 12x hatten wir schon waren die
- 168x² dann 14x* -1 sind -14x also alles mit der 14x haben wir deswegen kommt jetzt alles mit der 2 zweimal 12x sind
- 24x und 2 x -1 s -2 sehr gut bevor ihr auf beiden Seiten zusammenfasst schaut euch einfach mal die Zahlen an denn ist euch aufgefallen dass die
- 168x² auf beiden Seiten vorkommen das heißt wenn wir -168x² rechnen würden fliegen die raus genauso die -14x kommt auf beiden Seiten
- vor rechnen wir + 14x fällt ja auf beiden Seiten raus so kann man sich ein bisschen das Rechnen sparen dann bringen wir mal alles mit X auf eine Seite dann
- hätten wir rechnen wir einfach mal -24x dann hätten wir hier 21x - 24x das wärden -3x + die 7 noch hier steht dann nur
- noch die -2 dann muss die 7 rüber mit einer -7 -3x steht dann endlich alleine rechts hätten wir -2 - 7 s -9 und im letzten Schritt müssen wir noch durch
- diese -3 hier vorne teilen dann steht unser x endlich alleine wir bekommen eine mögliche Lösung -9 dur-3 könnte man sich in Zwischenschritt
- auch erstmal als Bruch hinschreiben Minus und Minus kürzich Weg 9 dur 3 sind 3 das wäre jetzt eine mögliche Lösung wir erinnern uns aber dass wir das noch
- mit unserer defin Menge abgleichen müssen wir haben hier schon rausgefunden dass die einw nicht erlaubt war das hat ja mit unserer 3 gar nichts zu tun also
- die 3 liegt schön drin in unserer Definitionsmenge ist also auch Teil der Lösungsmenge wenn wir die dann noch aufschreiben die Menge mit dem Element 3
- und damit hätten wir unsere Aufgabe gelöst falls ihr Fragen habt schreibt sie sehr gerne in die Kommentare euch einen wunderschönen Tag und bis zum
- nächsten Video macht's gut
Zum Nachlesen
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