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Freie Variable und gebundene Variable
In der Mathematik und Logik bezeichnet man eine Variable als in einer mathematischen Formel frei vorkommend, wenn sie in dieser Formel an mindestens einer …
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Grundbegriffe
Eine Variable kommt in einer mathematischen Formel frei vor, wenn sie an mindestens einer Stelle nicht im Bereich eines Operators auftritt. Sind dagegen alle Vorkommen der Variable innerhalb der Formel an Operatoren gebunden, ist die Variable gebunden.
Eine Formel ohne freie Variablen heißt geschlossene Formel. Eine Formel mit mindestens einer freien Variablen heißt offene Formel. In der Prädikatenlogik ist eine Individuenvariable frei, wenn sie wenigstens an einer Stelle unquantifiziert vorkommt, also nicht im Bereich eines Quantors zu dieser Variable liegt. Die Quantoren ∀ und ∃ binden eine Variable jeweils nur innerhalb ihres Bindungsbereichs.
Eine geschlossene prädikatenlogische Formel wird auch Aussage oder Satz genannt; eine offene Formel heißt Aussageform. Dieselbe Variable kann in einer Formel sowohl freie als auch gebundene Vorkommen haben. Die Unterscheidung ist unter anderem für die Bereinigung von Formeln wichtig.
Gebundene Variablen treten außerdem bei der Notation von Klassen und Mengen, im Lambda-Kalkül, bei Ausdrücken mit einer gebundenen Integrations- oder Summationsvariablen sowie bei Kennzeichnungen auf.
Typische Beispiele
• In der geschlossenen Formel ∀xP(x) ist x gebunden und nicht frei.
• In der geschlossenen Formel ∃x(P(x)∨Q(x)) ist x gebunden und nicht frei.
• In der offenen Formel (∀xP(x))∧Q(x) kommt x sowohl gebunden als auch frei vor. Das Vorkommen in der Teilformel ∀xP(x) ist gebunden. Das Vorkommen in Q(x) ist frei, weil sich der Allquantor nicht mehr auf diese Teilformel erstreckt.
• In der offenen Formel ∀x(P(x)∧Q(x,y)) ist x gebunden und y frei.
• In der Klassenformel {x∣A(x)} ist x gebunden und nicht frei.
• In der Formel für die Potenzmenge 𝒫a={x∣x⊆a} ist x gebunden, während a frei ist.
• Bei der Kennzeichnung ιxF(x), gelesen als „dasjenige x, für das F(x) gilt“, ist x gebunden; dabei wird Eindeutigkeit vorausgesetzt.
Gebundene Variablen in mathematischen Notationen
Gebundene Variablen erscheinen in vielen Standardnotationen:
• In der Summe ∑ᵢ₌₁ⁿaᵢ, also der Summe endlich vieler Werte, ist i gebunden. n und a sind frei.
• Im bestimmten Integral ∫ₐᵇf(x) dx ist x gebunden. a, b und f sind frei.
• Im Grenzwert limₙ→∞aₙ einer unendlichen Folge ist n gebunden und a frei.
• Im Grenzwert limₓ→ₓ₀f(x) einer Funktion an der Stelle x₀ ist x gebunden. x₀ und f sind frei.
Umbenennung und vollfreie Variablen
Eine durch einen Quantor gebundene Variable darf durch eine andere, vorher nicht vorkommende Variable ersetzt werden, wenn dadurch eine logisch äquivalente Formel entsteht. Diese Operation heißt gebundene Umbenennung. Aus ∀xP(x)∧Q(x,y) kann beispielsweise ∀zP(z)∧Q(x,y) entstehen.
Eine freie Variable, die kein gebundenes Vorkommen besitzt, heißt vollfrei. Durch gebundene Umbenennung kann jede Formel in eine logisch äquivalente Formel umgeformt werden, in der alle freien Variablen tatsächlich vollfrei sind.