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Cardanische Formeln
... annimmt. In Folge erfüllt die sogenannte Diskriminante, die als Quadrat des Differenzenprodukts, das heißt durch. Δ = ( x 1 − x 2 ) 2 ( x 1 − x 3 ) 2 …
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Zweck und Grundformel
Die Cardanische Formel löst kubische Gleichungen, also Gleichungen dritten Grades, und berechnet damit die Nullstellen eines kubischen Polynoms. Sie ist vor allem für exakte Darstellungen wichtig; für bloße Dezimalnäherungen sind universelle iterative Verfahren wie das Newton-Verfahren meist schneller.
Für die reduzierte kubische Gleichung x^3+px+q=0 lautet eine Lösung x=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3}}. Ist der Radikand der Quadratwurzel nicht negativ, lässt sich damit unmittelbar eine Lösung finden. Die Formel ähnelt in ihrer Rolle der p-q-Formel für quadratische Gleichungen x^2+px+q=0.
Alle Lösungen und Umformung
Allgemein seien p,q Elemente eines Körpers K mit Charakteristik ungleich 2 und 3; typische Fälle sind K=\mathbb R und K=\mathbb C. Setzt man u=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3}},\qquad v=\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3}}, so müssen die Kubikwurzeln so gewählt werden, dass uv=-\frac13p gilt. Diese Nebenbedingung verhindert unpassende Kombinationen der mehrdeutigen Kubikwurzeln.
Mit einer primitiven dritten Einheitswurzel \zeta sind die drei Lösungen x_1=u+v,\quad x_2=\zeta^2u+\zeta v,\quad x_3=\zeta u+\zeta^2v. Für reelle Koeffizienten kann \zeta=e^{2\pi\mathrm i/3}=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\mathrm i gewählt werden.
Die Formel setzt eine reduzierte Gleichung ohne quadratisches Glied voraus. Jede allgemeine kubische Gleichung Ax^3+Bx^2+Cx+D=0, A\ne0, wird zunächst zu x^3+ax^2+bx+c=0 normiert. Mit z=x+\frac a3 entsteht z^3+pz+q=0, wobei p=b-\frac{a^2}{3} und q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c sind. Nach der Berechnung von z gilt x=z-\frac a3.
Herleitung und Diskriminante
Die Substitution z=u+v nutzt die Identität (u+v)^3=u^3+3uv(u+v)+v^3. Beim Vergleich mit z^3+pz+q=0 müssen daher 3uv=-p und u^3+v^3=-q gelten. Für t_1=u^3 und t_2=v^3 folgt t_1+t_2=-q,\qquad t_1t_2=-\frac{p^3}{27}. Nach dem Satz von Vieta lösen t_1,t_2 somit die quadratische Lagrange-Resolvente t^2+qt-\frac{p^3}{27}=0. Ihre Lösungen sind t_{1,2}=-\frac q2\pm\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}, und aus ihren Kubikwurzeln entstehen u und v.
Die Diskriminante einer reduzierten Gleichung ist \Delta=-4p^3-27q^2. Sie ist (-108)-mal so groß wie der Quadratwurzelradikand \Omega=\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3: \Delta=-108\Omega. Allgemein ist sie definiert als \Delta=(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2.
Reelle Koeffizienten und Sonderfälle
Ein kubisches Polynom mit reellen Koeffizienten besitzt entweder eine oder drei reelle Lösungen; nichtreelle Lösungen treten paarweise konjugiert komplex auf. Bei \Delta<0 gibt es genau eine reelle Lösung, bei \Delta>0 drei verschiedene reelle Lösungen und bei \Delta=0 nur reelle Lösungen, darunter mindestens eine mehrfache.
Bei \Delta=0 beziehungsweise \Omega=0 gilt: Sind p=q=0, ist z=0 eine dreifache reelle Lösung. Sind p\ne0 und q\ne0, gibt es die einfache Lösung z_1=\frac{3q}{p} und die zweifache Lösung z_{2,3}=-\frac{3q}{2p}.
Bei \Delta<0 beziehungsweise \Omega>0 können u,v reell gewählt werden. Dann ist z_1=u+v reell, während z_{2,3}=-\frac{u+v}{2}\pm\frac{u-v}{2}\mathrm i\sqrt3 ein nichtreelles konjugiert komplexes Paar bilden.
Bei \Delta>0 beziehungsweise \Omega<0 entstehen in der Formel notwendigerweise nichtreelle Zwischenwerte, obwohl drei verschiedene reelle Lösungen vorliegen. Dies heißt casus irreducibilis. Beispielsweise liefert x^3-15x-4=0 formal \sqrt[3]{2+11\mathrm i}+\sqrt[3]{2-11\mathrm i}=4, weil (2\pm\mathrm i)^3=2\pm11\mathrm i. Die drei reellen Werte können auch trigonometrisch nach Vieta bestimmt werden.
Beispiele und Bedeutung
Für x^3-6x-6=0 ergibt die Formel die Lösung x=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}=2{,}847\dots. Für x^3-3x-4=0 erhält man x=\sqrt[3]{2+\sqrt3}+\sqrt[3]{2-\sqrt3}=2{,}196\dots.
Die Formel wurde 1545 von Gerolamo Cardano in der Ars magna veröffentlicht. Ihre Behandlung von Fällen mit nichtreellen Zwischenwerten gab wichtige Impulse für die Entwicklung negativer und komplexer Zahlen.