Euklidischer Abstand

Grundidee des euklidischen Abstands

Der euklidische Abstand (auch euklidische Distanz) ist der Abstandsbegriff der euklidischen Geometrie. Er beschreibt die Länge der geraden Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten, also etwa die mit einem Lineal messbare Strecke in Ebene oder Raum.

In kartesischen Koordinaten wird er mit dem Satz des Pythagoras berechnet. Die daraus entstehenden Formeln lassen sich auf n-dimensionale euklidische und unitäre Vektorräume, euklidische Punkträume und Koordinatenräume übertragen. Er wird „euklidisch“ genannt, um ihn von Abständen etwa der hyperbolischen oder riemannschen Geometrie sowie von Abständen in normierten Vektorräumen und beliebigen metrischen Räumen abzugrenzen.

Abstand auf einer Geraden und in der Ebene

Auf einer Geraden haben die Punkte A und B die Koordinaten a und b. Diese geben ihren vorzeichenbehafteten Abstand vom Ursprung an. Ihr Abstand ist der Absolutbetrag der Differenz:

d(A,B)=|b-a|=√((b-a)²).

Für A=-3 und B=2 gilt: d(A,B)=|-3-2|=|-5|=5.

In der Ebene gilt für A=(a₁,a₂) und B=(b₁,b₂):

d(A,B)=√((b₁-a₁)²+(b₂-a₂)²).

Man erhält die Formel, indem man die Punkte durch einen Hilfspunkt zu einem rechtwinkligen Dreieck ergänzt. Dessen Katheten verlaufen parallel zu den Koordinatenachsen; der Satz des Pythagoras liefert |AB|²=|AC|²+|CB|². Für A=(1,1) und B=(5,4) ist d(A,B)=√((5-1)²+(4-1)²)=√(4²+3²)=√25=5.

Abstand im dreidimensionalen Raum

Für zwei Raumpunkte A=(a₁,a₂,a₃) und B=(b₁,b₂,b₃) lautet die Formel:

d(A,B)=√((b₁-a₁)²+(b₂-a₂)²+(b₃-a₃)²).

Zur Herleitung wird der Fußpunkt C des Lotes von B auf eine zu der xy-Ebene parallele Ebene durch A betrachtet. Die Strecke AC berechnet sich zunächst mit der ebenen Abstandsformel. Da BC senkrecht zur xy-Ebene steht, ist das Dreieck ABC rechtwinklig; nochmals angewandt führt der Satz des Pythagoras zur Raumformel.

Für A=(1,5; 2,5; 4) und B=(4,5; 1; 1) ergibt sich d(A,B)=√((1,5-4,5)²+(2,5-1)²+(4-1)²)=√(3²+1,5²+3²)=4,5.

Allgemeine Formel für n Dimensionen

Für A=(a₁,…,aₙ) und B=(b₁,…,bₙ) im ℝⁿ ist der euklidische Abstand definiert durch:

d(A,B)=√((b₁-a₁)²+(b₂-a₂)²+⋯+(bₙ-aₙ)²).

Diese allgemeine Definition enthält die Formeln für Gerade, Ebene und dreidimensionalen Raum als Spezialfälle n=1, 2 und 3. Sie ermöglicht auch Abstandsmessungen in höherdimensionalen, nicht unmittelbar anschaulichen Räumen. Der euklidische Abstand ist eine Metrik und erfüllt insbesondere die Dreiecksungleichung.

Für A=(5,3,-2,4) und B=(1,2,0,3) im ℝ⁴ gilt d(A,B)=√((5-1)²+(3-2)²+(-2-0)²+(4-3)²)=√22.