Kuboktaeder

Grundidee und Aufbau

Das Kuboktaeder, auch Kubooktaeder oder Kubo-Oktaeder genannt, ist ein Polyeder, also ein Vielflächner. Es hat 14 Seitenflächen: 6 Quadrate und 8 gleichseitige Dreiecke. Außerdem besitzt es 12 gleichartige Ecken und 24 gleich lange Kanten. An jeder Ecke treffen zwei Dreiecke und zwei Quadrate aufeinander; dieser Eckentyp wird als {3.4.3.4} beschrieben.

Wegen seiner Regelmäßigkeit gehört das Kuboktaeder zu den 13 archimedischen Körpern. Archimedische Körper sind konvexe Polyeder mit regelmäßigen Vielecken als Flächen und gleichartigen Ecken. Zusammen mit dem Ikosidodekaeder ist das Kuboktaeder der einzige konvexe quasireguläre Körper. „Quasiregulär“ bedeutet hier, dass alle Kanten symmetrieäquivalent sind, also durch Symmetrien des Körpers ineinander überführt werden können. Sein Schläfli-Symbol ist r{4,3} oder r{3,4}, seine Symmetriegruppe ist die Oktaedergruppe O_h. Der duale Körper des Kuboktaeders ist das Rhombendodekaeder.

Koordinaten, Symmetrie und Formeln

Für ein Kuboktaeder mit Mittelpunkt im Ursprung und Kantenlänge √2 lauten die kartesischen Koordinaten seiner Ecken: (±1, ±1, 0), (±1, 0, ±1) und (0, ±1, ±1). Damit lassen sich alle 12 Ecken im dreidimensionalen Koordinatensystem beschreiben.

Mit 12 Ecken, 14 Flächen und 24 Kanten erfüllt das Kuboktaeder den eulerschen Polyedersatz e + f − k = 2. Eingesetzt ergibt das 12 + 14 − 24 = 2.

Alle Flächen des Kuboktaeders sind regulär, also regelmäßige Vielecke. Sie sind aber nicht alle gleichartig, weil es Quadrate und Dreiecke gibt. Deshalb besitzt das Kuboktaeder keine Inkugel, also keine Kugel, die alle Flächen berührt. Es besitzt jedoch eine Kantenkugel, weil alle Kanten symmetrieäquivalent sind: An jeder Kante berühren sich genau ein Quadrat und ein Dreieck. Außerdem besitzt es eine Umkugel, weil alle Ecken symmetrieäquivalent sind. Der Umkugelradius, also der Abstand der Ecken vom Mittelpunkt, ist gleich der Kantenlänge a.

Für ein Kuboktaeder mit Kantenlänge a gelten die Formeln: Volumen V = (5/3) a³√2, Oberflächeninhalt A_O = 2a²(3 + √3), Umkugelradius R = a und Kantenkugelradius r = (a/2)√3. Der Flächenwinkel zwischen Quadrat und Dreieck beträgt ungefähr 125° 15′ 52″ und erfüllt cos α = −(1/3)√3. Der 3D-Kantenwinkel beträgt 120° mit cos γ = −1/2. Der Eckenraumwinkel beträgt ungefähr 0,7837π mit cos Ω = −7/9. Die Sphärizität beträgt ungefähr 0,905 und ist Ψ = ∛(25π)/(3 + √3).

Projektionen, Schnitte und Kugelpackung

Für das Kuboktaeder gibt es besondere orthogonale Projektionen. Eine orthogonale Projektion ist eine senkrechte Abbildung eines räumlichen Körpers auf eine Ebene. Je nach Blickrichtung treten dabei vor allem die Ecken, die Kanten, die Dreiecke oder die Quadrate hervor.

Das Kuboktaeder kann entlang sechs zusammenhängender Kanten geschnitten werden. Die Schnittfläche ist dann ein regelmäßiges Sechseck. Insgesamt sind vier solche Schnitte möglich. Diese Sechsecke sind keine Symmetrieebenen des Kuboktaeders, sondern Fixebenen von Drehspiegelsymmetrien.

In der Kugelpackung spielt das Kuboktaeder ebenfalls eine Rolle. Sechs Kugeln, die eng um eine Ursprungskugel liegen, können ihre Mittelpunkte in sechs Ecken eines Kuboktaeders haben, die in einer Ebene liegen. Über und unter diesem Sechseck liegen jeweils drei weitere Ecken, die den Mittelpunkten weiterer Kugeln entsprechen, welche die Ursprungskugel berühren. Das Kuboktaeder ist damit ein Koordinationspolyeder der kubisch dichtesten Kugelpackung. Dies gilt auch für das nicht reguläre Antikuboktaeder, bei dem die oberen und unteren Kugeln vertikal übereinanderliegen und nicht versetzt wie beim Kuboktaeder.

Verwandtschaft mit anderen Körpern

Das Kuboktaeder lässt sich aus Würfel und Oktaeder ableiten. Wenn sich ein Würfel und ein Oktaeder durchdringen, entsteht als Schnittmenge, also als gemeinsamer Kern, ein Kuboktaeder. Die 6 Quadrate stammen dabei von den Flächen des Würfels, die 8 Dreiecke von den Flächen des Oktaeders. Auch durch Abstumpfung kann es entstehen: Stumpft man die Ecken eines Würfels bis zur Mitte seiner Kanten ab, bilden sich an den bisherigen Würfelecken 8 Dreiecke. Stumpft man die Ecken eines Oktaeders bis zur Kantenmitte ab, entstehen 6 Quadrate.

Auch aus einem Tetraeder kann ein Kuboktaeder entstehen. Wird ein Tetraeder entlang seiner 6 Kanten ausgedehnt, entstehen 6 Vierecke. An den bisherigen Ecken bilden sich 4 neue Dreiecke zusätzlich zu den 4 ursprünglichen. Wird der Vorgang fortgeführt, bis die Vierecke Quadrate sind, erhält man ein Kuboktaeder. Man kann dies auch als Abstumpfung der Kanten eines Tetraeders auffassen.

Durch Verdrehung eines Kuboktaeders kann ein Ikosaeder entstehen. Die Dreiecke des Kuboktaeders bleiben dabei unverändert. Die Quadrate werden zu 6 Rhomben verzerrt und durch neue Kanten geteilt, sodass 12 zusätzliche regelmäßige Dreiecke entstehen. Zusammen mit den 8 ursprünglichen Dreiecken ergibt das 20 Dreiecke, also ein Ikosaeder.

Der duale Körper des Kuboktaeders ist das Rhombendodekaeder. Es besitzt 12 Flächen und 14 Ecken, also das umgekehrte Verhältnis zum Kuboktaeder. Wie bei allen Archimedischen Körpern ist der Dualkörper ein Catalanischer Körper. Während das Kuboktaeder die Schnittmenge bei der Durchdringung von Würfel und Oktaeder ist, bildet das Rhombendodekaeder dazu den Hüllkörper.

Weitere verwandte Formen

Das Große Rhombenkuboktaeder wird auch Kuboktaederstumpf genannt. Dieser Name ist jedoch irreführend, denn es lässt sich nicht wirklich durch Abstumpfen eines Kuboktaeders herstellen. Beim Kuboktaeder treffen an den Ecken Dreiecke mit 60°-Winkeln und Quadrate mit 90°-Winkeln aufeinander. Eine Abstumpfung würde deshalb Rechtecke statt Quadrate erzeugen. Dennoch ist das abgestumpfte Kuboktaeder topologisch gleichwertig zum Kuboktaederstumpf, weil beide dieselbe Anzahl an Flächen, Kanten und Ecken besitzen.

Zum Kuboktaeder gibt es vier verschiedene Sternformen. Der erste stellare Körper ist identisch mit der Durchdringung von Würfel und Oktaeder. Außerdem teilen zwei nicht-konvexe Körper die Positionen der Kanten und Ecken mit dem Kuboktaeder: Beim Kubohemioktaeder bestehen nur die Quadrate, beim Oktahemioktaeder nur die Dreiecke. Die übrigen Flächen werden durch die vier Sechsecke innerhalb des Kuboktaeders eingenommen. Das Kuboktaeder ist die konvexe Hülle dieser beiden Körper.

Wird ein Kuboktaeder entlang eines seiner Sechsecke durchschnitten, entstehen zwei Dreieckskuppeln, der Johnson-Körper J_3. Außerdem kann man sich das Kuboktaeder als Zusammensetzung aus sechs Quadratpyramiden J_1 und acht Tetraedern vorstellen.

Vorkommen und Anwendungen

Als einziger der Archimedischen Körper soll das Kuboktaeder schon Platon bekannt gewesen sein.

In der Chemie und Kristallographie tritt das Kuboktaeder bei Kristallformen auf. Die kristalline Struktur synthetischer Diamanten basiert idealerweise auf dem Würfel oder dem Oktaeder, meist aber auf dem Kuboktaeder. Oft sind diese Formen nicht völlig regelmäßig, sondern nur Annäherungen. Natürliche Diamanten weisen meist eine oktaedrische kristalline Struktur auf. Das Kuboktaeder ist außerdem die Kristallform des Minerals Argentit Ag_2S.

In Buckminster Fullers Jitterbug-Transformation ist das Kuboktaeder mit 24 Kanten das ausgedehnteste Stadium; seine 6 Quadrate existieren dabei nur virtuell. Durch Verdrehen entsteht ein Ikosaeder, bei dem 12 seiner 20 Dreiecke und 6 seiner 30 Kanten nur virtuell existieren. Weitere Verdrehung führt zum Oktaeder, dann zum Tetraeder und schließlich zu einem ebenen Dreieck.

Auch in Kunst und Spiel kommt das Kuboktaeder vor. Der Barbarossaleuchter im Aachener Dom besitzt vier Kuboktaeder an den Stellen, an denen sich die Aufhängeseile teilen; es ist unklar, ob sie wie der Kronleuchter selbst aus dem 12. Jahrhundert stammen. Leonardo da Vinci zeichnete für Luca Paciolis De divina proportione von 1509 mehrere Polyeder, darunter das Kuboktaeder. In M. C. Eschers Holzstich Sterne von 1948 erscheint unten links ein kleines Kuboktaeder. Der Spielball des Tipp-Kick-Spiels ist ebenfalls ein Kuboktaeder.