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Umkugel
Der Mittelpunkt einer Umkugel muss von allen Ecken gleich weit entfernt sein. Er muss sich daher auf allen Symmetrieebenen von je zwei Ecken befinden. Da die …
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Definition und Bedeutung
Eine Umkugel eines Polyeders ist eine Kugel, auf der alle Ecken des Polyeders liegen. Sie entspricht in der Raumgeometrie dem Umkreis eines Polygons in der ebenen Geometrie. Nicht jedes Polyeder besitzt eine Umkugel.
Mittelpunkt und mögliche Polyeder
Der Mittelpunkt der Umkugel muss von allen Ecken den gleichen Abstand haben. Deshalb liegt er auf den Symmetrieebenen, die jeweils zu zwei Ecken gehören. Die Schnittmenge dieser Ebenen ist im Allgemeinen leer; daher haben nur bestimmte Polyeder eine Umkugel.
Zu ihnen gehören alle Tetraeder, die fünf Platonischen Körper, sämtliche Archimedischen Körper und alle geraden Dreiecksprismen.
Abgrenzung zum kugelförmigen Hüllkörper
Die kleinste Kugel, die ein Objekt umschließt, heißt kugelförmiger Hüllkörper. Im Unterschied zur Umkugel müssen dabei nicht alle Eckpunkte die Kugel berühren.