Orthogonalprojektion

Grundidee und geometrische Bedeutung

Eine Orthogonalprojektion, auch orthogonale oder senkrechte Projektion genannt, bildet einen Punkt auf eine Gerade oder Ebene so ab, dass die Verbindungslinie zwischen Ausgangspunkt P und Bildpunkt P′ senkrecht auf der Geraden beziehungsweise Ebene steht. Der Bildpunkt heißt Lotfußpunkt, die Verbindung PP′ heißt Lot. Es gelten P′ ∈ g und PP′ ⟂ g beziehungsweise P′ ∈ E und PP′ ⟂ E. Bei einer Ebene steht das Lot auf allen Geraden der Ebene senkrecht, die durch P′ verlaufen.

Der Lotfußpunkt ist unter allen Punkten der Geraden oder Ebene derjenige mit dem kürzesten Abstand zum Ausgangspunkt. Die Orthogonalprojektion ist ein Spezialfall der Parallelprojektion: Alle Projektionsstrahlen verlaufen parallel, und ihre Richtung stimmt mit der Normalenrichtung der Geraden oder Ebene überein. Ganze geometrische Objekte werden punktweise projiziert; so ergibt die Projektion einer Geraden auf eine Ebene im Allgemeinen eine in der Ebene liegende Gerade.

In der linearen Algebra wird diese Idee auf Untervektorräume verallgemeinert. Ein Vektor wird in einen Anteil im Unterraum und einen dazu orthogonalen Rest zerlegt. In der Funktionalanalysis gilt das entsprechend für unendlichdimensionale Skalarprodukträume, insbesondere für Funktionenräume.

Darstellung und Projektion im Koordinatensystem

In der darstellenden Geometrie und im technischen Zeichnen erzeugen Projektionen zweidimensionale Bilder dreidimensionaler Körper. Bei einer Orthogonalprojektion treffen die parallelen Projektionsstrahlen im rechten Winkel auf die Bildebene. Verwendet man drei paarweise senkrechte Projektionsebenen, spricht man von einer Dreitafelprojektion oder Normalprojektion.

Für einen Raumpunkt (x,y,z) lauten die Projektionen auf die Koordinatenebenen:

• xy-Ebene: (x,y,z) ↦ (x,y,0) • xz-Ebene: (x,y,z) ↦ (x,0,z) • yz-Ebene: (x,y,z) ↦ (0,y,z)

Liegt eine zu zwei Koordinatenachsen parallele Ebene nicht im Ursprung, ersetzt man die 0 durch den Wert ihres Schnittpunkts mit der dritten Koordinatenachse. Bei der orthogonalen Axonometrie, etwa Isometrie oder Dimetrie, wird das Objekt vor seiner Projektion auf bestimmte Weise gedreht.

Berechnung für Geraden und Ebenen

Eine Gerade wird in Parameterform durch r = r₀ + λu beschrieben. Dabei ist r₀ ein Stützvektor und u ein Richtungsvektor. Für den Ortsvektor x ergibt sich die Orthogonalprojektion aus der Bedingung, dass P_g(x) − x zu u orthogonal ist:

P_g(x) = r₀ + (((x − r₀) · u)/(u · u))u.

Für eine Ursprungsgerade ist r₀ = 0 und damit P_g(x) = ((x · u)/(u · u))u. Ist u ein Einheitsvektor, vereinfacht sich dies zu P_g(x) = (x · u)u. In zwei Dimensionen kann man alternativ einen Normalenvektor n verwenden:

P_g(x) = x − (((x − r₀) · n)/(n · n))n.

Für x = (4,3)ᵀ und u = (1,2)ᵀ erhält man P_g(x) = (10/5)(1,2)ᵀ = (2,4)ᵀ. Für x = (3,9,6)ᵀ und u = (2,1,2)ᵀ ergibt sich P_g(x) = (27/9)(2,1,2)ᵀ = (6,3,6)ᵀ.

Eine Ebene besitzt in Parameterform die Darstellung r = r₀ + λu + μv, wobei die Spannvektoren u und v nicht kollinear sein dürfen. Sind u und v orthogonal und verläuft die Ebene durch den Ursprung, gilt

P_E(x) = ((x · u)/(u · u))u + ((x · v)/(v · v))v.

Bei orthonormalen Spannvektoren wird daraus P_E(x) = (x · u)u + (x · v)v. Sind die Spannvektoren nicht orthogonal, kann man sie mit dem Gram-Schmidtschen Verfahren orthogonalisieren. Beispielsweise ist w = v − ((v · u)/(u · u))u zu u orthogonal. Für eine beliebige Lage der Ebene folgt

P_E(x) = r₀ + (((x − r₀) · u)/(u · u))u + (((x − r₀) · w)/(w · w))w.

Alternativ berechnet man mit einem Normalenvektor n = u × v:

P_E(x) = x − (((x − r₀) · n)/(n · n))n.

Für x = (3,9,6)ᵀ sowie die orthogonalen Spannvektoren u = (2,1,2)ᵀ und v = (2,−2,−1)ᵀ ergibt sich P_E(x) = (2,7,8)ᵀ.

Verallgemeinerung in der linearen Algebra

In einem endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraum V mit Skalarprodukt ⟨·,·⟩ sind zwei Vektoren genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Eine Orthogonalprojektion auf einen Untervektorraum U ist eine lineare Abbildung P_U: V → U mit P_U(v) ∈ U und ⟨P_U(v) − v,u⟩ = 0 für alle u ∈ U. Der Rest P_U(v) − v liegt somit im orthogonalen Komplement U⊥, also im Unterraum aller Vektoren, die zu jedem Vektor aus U orthogonal sind.

Für eine Orthogonalbasis {u₁,…,uₖ} von U gilt

P_U(v) = Σᵢ₌₁ᵏ (⟨v,uᵢ⟩/⟨uᵢ,uᵢ⟩)uᵢ.

Bei einer Orthonormalbasis, deren Vektoren zusätzlich die Länge 1 besitzen, vereinfacht sich die Formel zu P_U(v) = Σᵢ₌₁ᵏ ⟨v,uᵢ⟩uᵢ. Bei einer nicht orthogonalen Basis erhält man die Koeffizienten aus einem linearen Gleichungssystem mit der regulären Gramschen Matrix (⟨uᵢ,uⱼ⟩) oder orthogonalisiert die Basis mit dem Gram-Schmidtschen Verfahren. Für den affinen Unterraum U₀ = r₀ + U gilt mit einer Orthogonalbasis {w₁,…,wₖ}:

P_U₀(v) = r₀ + Σᵢ₌₁ᵏ (⟨v − r₀,wᵢ⟩/⟨wᵢ,wᵢ⟩)wᵢ.

Eine Orthogonalprojektion lässt bereits im Unterraum liegende Vektoren unverändert und ist idempotent: P_U² = P_U. Sie ist außerdem selbstadjungiert. Nach dem Satz des Pythagoras gilt für jedes u ∈ U:

‖u − v‖² = ‖u − P_U(v)‖² + ‖P_U(v) − v‖² ≥ ‖P_U(v) − v‖².

Damit ist P_U(v) die eindeutige Bestapproximation von v in U. Liegt v in U⊥, ist P_U(v) = 0. Außerdem zerfällt v in P_U(v) + P_U⊥(v).

Matrixdarstellung und wichtige Eigenschaften

Bezüglich einer Orthonormalbasis kann eine Orthogonalprojektion als Matrix-Vektor-Produkt Q_Ux geschrieben werden. Sind y₁,…,yₖ die Koordinatenvektoren einer Orthogonalbasis von U, dann gilt

Q_U = Σᵢ₌₁ᵏ (yᵢyᵢᴴ)/(yᵢᴴyᵢ).

Das Zeichen H bezeichnet die Adjungierung, im reellen Fall also die Transposition. Für eine Orthonormalbasis vereinfacht sich die Formel zu Q_U = Σᵢ₌₁ᵏ yᵢyᵢᴴ. Bilden die Spalten der Matrix A eine beliebige, nicht notwendig orthogonale Basis von U, folgen aus den Normalgleichungen AᴴAc = Aᴴx die Projektionsmatrix und Projektion

Q_U = A(AᴴA)⁻¹Aᴴ, Q_Ux = Ac.

Für einen affinen Unterraum U₀ = r₀ + U lautet die Abbildung P_U₀(v) = Q_Ux + (I − Q_U)s, wobei s der Koordinatenvektor von r₀ ist. Der Komplementärraum besitzt die Projektionsmatrix Q_U⊥ = I − Q_U.

Orthogonalprojektionsmatrizen sind idempotent, Q_U² = Q_U, und selbstadjungiert beziehungsweise im reellen Fall symmetrisch. Für einen k-dimensionalen Unterraum gilt rang Q_U = spur Q_U = k. Ihre Eigenwerte sind k-mal 1 und n−k-mal 0; die zugehörigen Eigenräume sind U und U⊥. Ist U ≠ {0}, beträgt die Spektralnorm 1.

Unendlichdimensionale Räume und Anwendungen

In der Funktionalanalysis ist eine Orthogonalprojektion ein Operator P_U: V → V mit im P_U = U und ker P_U = U⊥. Der komplementäre Operator I − P_U hat das Bild U⊥ und den Kern U. Ist V ein Hilbertraum, also ein vollständiger Skalarproduktraum, und U ein abgeschlossener Unterraum, garantiert der Projektionssatz Existenz und Eindeutigkeit. Jeder Vektor besitzt dann genau eine Zerlegung v = u + u⊥ mit u ∈ U und u⊥ ∈ U⊥; entsprechend gilt V = U ⊕ U⊥. Endlichdimensionale Unterräume sind stets abgeschlossen, und in diesem Fall ist die Vollständigkeit von V nicht erforderlich.

Hat U die abzählbare Orthonormalbasis {u₁,u₂,…}, lautet die Reihendarstellung P_U = Σᵢ₌₁∞ ⟨·,uᵢ⟩uᵢ. Auch in nicht separablen Hilberträumen gilt eine entsprechende Summe über eine beliebige Indexmenge, wobei nur abzählbar viele Summanden ungleich null sind. Der Operator ist stetig, linear, idempotent, selbstadjungiert, normal und positiv. Er ist genau dann kompakt, wenn U endlichdimensional ist, und liefert die Bestapproximation: ‖P_Uv − v‖ = inf_{u∈U} ‖u − v‖. Für U ≠ {0} gilt ‖P_U‖ = 1.

Ein Funktionenbeispiel ist der Raum L² der quadratisch integrierbaren reellen Funktionen auf [−1,1] mit ⟨f,g⟩ = ∫₋₁¹ f(x)g(x) dx. Für den Unterraum der linearen Funktionen ist {1/√2, (√3/√2)x} eine Orthonormalbasis. Die Projektion von f(x) = eˣ lautet

P_Uf = 1/2(e − 1/e) + (3/e)x.

Orthogonalprojektionen werden unter anderem für Abstandsberechnungen und Spiegelungen, Grundrissprojektionen und Orthofotos, die Zerlegung von Kräften sowie Reflexionen und Schatten eingesetzt. Weitere Anwendungen sind das Gram-Schmidtsche Verfahren, die Methode der kleinsten Quadrate, Verfahren der konjugierten Gradienten und Krylow-Unterraum-Verfahren, die Bestapproximation von Funktionen, Fourier- und Wavelet-Analyse, partielle Differenzialgleichungen, quantenmechanische Zustände, Hauptkomponentenanalyse und bedingte Erwartungswerte.