Archimedischer Körper

Was sind archimedische Körper?

Die archimedischen Körper sind eine Klasse von regelmäßigen geometrischen Körpern, benannt nach dem griechischen Mathematiker Archimedes, der sie vermutlich bereits im 3. Jahrhundert v. Chr. alle entdeckte. Seine Schrift ist nicht erhalten; überliefert ist nur eine Zusammenfassung des alexandrinischen Mathematikers Pappos (4. Jahrhundert n. Chr.). Es handelt sich um konvexe Polyeder (Vielflächner) mit folgenden Eigenschaften: Die Seitenflächen sind regelmäßige Polygone (Vielecke), alle Ecken verhalten sich zueinander völlig gleich (Uniformität der Ecken), und der Körper ist weder ein platonischer Körper noch ein Prisma oder Antiprisma. Je nach Zählweise gibt es 13 oder 15 solcher Körper.

Exakte Definition

Grundlage ist die globale Uniformität der Ecken: Die Symmetriegruppe des Polyeders operiert transitiv auf seinen Ecken. Anschaulich bedeutet das: Zu jedem Paar (a, b) von Ecken kann man das Polyeder so drehen und spiegeln, dass die Ecke a dort liegt, wo zuvor die Ecke b war, ohne dass man die beiden Lagen des Polyeders unterscheiden kann. Es gibt einfache Klassen konvexer Polyeder mit regelmäßigen Flächen, die diese Eigenschaft erfüllen: die fünf platonischen Körper, alle Prismen (zwei kongruente regelmäßige n-Ecke und n Quadrate, an jeder Ecke treffen sich ein n-Eck und zwei Quadrate; bei n = 4 ergibt sich ein Würfel) und alle Antiprismen (zwei kongruente n-Ecke und 2n gleichseitige Dreiecke, an jeder Ecke ein n-Eck und drei Dreiecke; bei n = 3 ergibt sich ein Oktaeder). Die archimedischen Körper sind definiert als alle konvexen Polyeder mit regelmäßigen Seitenflächen und globaler Uniformität der Ecken, die nicht in eine dieser drei Klassen fallen.

Wichtige Eigenschaften

Unterscheidet man nicht zwischen ähnlichen Körpern, gibt es genau 13 archimedische Körper. Von zweien – dem abgeschrägten Hexaeder und dem abgeschrägten Dodekaeder – existieren je zwei spiegelbildliche Varianten, die nicht durch Drehung ineinander überführbar sind; zählt man diese doppelt, erhält man 15. Weil die Seitenflächen regelmäßige Polygone sind, haben alle Kanten die gleiche Länge. Aus der globalen Uniformität folgt die lokale Uniformität: An jeder Ecke treffen (im Uhrzeiger- oder Gegenuhrzeigersinn gelesen) dieselben Polygon-Typen zusammen. Umgekehrt folgt aus der lokalen Uniformität im Allgemeinen nicht die globale – Gegenbeispiel ist das Pseudo-Rhombenkuboktaeder. Die Flächenfolge an einer Ecke charakterisiert jeden archimedischen (und platonischen) Körper eindeutig. Die dualen Polyeder der archimedischen Körper sind die catalanischen Körper, deren Eigenschaft die Uniformität der Flächen ist. Jeder archimedische Körper kann durch Abstumpfen aus einem platonischen Körper erzeugt werden (dabei werden Stücke weggeschnitten, während die – meist verkleinerten – Flächen erhalten bleiben); dabei kann er auch aus dem dualen platonischen Körper entstehen. Jeder archimedische Körper besitzt eine Umkugel (durch die Ecken) und eine Kantenkugel (durch die Kantenmittelpunkte), aber keine Inkugel, weil die Mittelpunkte verschiedenartiger Flächen nicht den gleichen Abstand vom Körpermittelpunkt haben.

Ableitung aus platonischen Körpern und Übersicht der Körper

Die meisten archimedischen Körper entstehen aus den platonischen Körpern (Tetraeder, Hexaeder/Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder) durch Operationen wie Abstumpfen, Rektifikation, Doppelabstumpfen und Doppelrektifikation (verschieden starke Formen des Abstumpfens, bei denen die Schnittebenen konzentrisch in Richtung des Körpermittelpunkts verschoben werden), sowie die anspruchsvolleren Operationen Kantellation, Abschrägen und Kantitrunkation. Beispiele: Aus dem Hexaeder entstehen durch Abstumpfen der Hexaederstumpf, durch Rektifikation der Kuboktaeder, durch Kantellation das Rhombenkuboktaeder, durch Kantitrunkation das Große Rhombenkuboktaeder. Beim Tetraeder sind nicht alle Ergebnisse archimedische Körper: Doppelabstumpfen ergibt das Oktaeder, Abschrägen das Ikosaeder. Die 13 Körper mit Flächen, Ecken, Kanten und Flächenfolge an den Ecken sind: Tetraederstumpf (8 Flächen, 4 Dreiecke und 4 Sechsecke, 18 Kanten, 12 Ecken, 3,6,6), Kuboktaeder (14 Flächen, 8 Dreiecke, 6 Quadrate, 24 Kanten, 12 Ecken, 3,4,3,4), Hexaederstumpf (14 Flächen, 8 Dreiecke, 6 Achtecke, 36 Kanten, 24 Ecken, 3,8,8), Oktaederstumpf (14 Flächen, 6 Quadrate, 8 Sechsecke, 36 Kanten, 24 Ecken, 4,6,6), Rhombenkuboktaeder (26 Flächen, 8 Dreiecke, 18 Quadrate, 48 Kanten, 24 Ecken, 3,4,4,4), Großes Rhombenkuboktaeder oder Kuboktaederstumpf (26 Flächen, 12 Quadrate, 8 Sechsecke, 6 Achtecke, 72 Kanten, 48 Ecken, 4,6,8), Abgeschrägtes Hexaeder oder Cubus simus (38 Flächen, 32 Dreiecke, 6 Quadrate, 60 Kanten, 24 Ecken, 3,3,3,3,4), Ikosidodekaeder (32 Flächen, 20 Dreiecke, 12 Fünfecke, 60 Kanten, 30 Ecken, 3,5,3,5), Dodekaederstumpf (32 Flächen, 20 Dreiecke, 12 Zehnecke, 90 Kanten, 60 Ecken, 3,10,10), Ikosaederstumpf oder Fußballkörper (32 Flächen, 12 Fünfecke, 20 Sechsecke, 90 Kanten, 60 Ecken, 5,6,6), Rhombenikosidodekaeder (62 Flächen, 20 Dreiecke, 30 Quadrate, 12 Fünfecke, 120 Kanten, 60 Ecken, 3,4,5,4), Großes Rhombenikosidodekaeder oder Ikosidodekaederstumpf (62 Flächen, 30 Quadrate, 20 Sechsecke, 12 Zehnecke, 180 Kanten, 120 Ecken, 4,6,10), Abgeschrägtes Dodekaeder oder Dodecaedron simum (92 Flächen, 80 Dreiecke, 12 Fünfecke, 150 Kanten, 60 Ecken, 3,3,3,3,5). Zu jedem Körper existiert ein dualer Körper, z. B. Triakistetraeder zum Tetraederstumpf, Rhombendodekaeder zum Kuboktaeder, Pentakisdodekaeder zum Ikosaederstumpf.

Raumfüllungen und das Pseudo-Rhombenkuboktaeder

Der dreidimensionale euklidische Raum kann lückenlos mit platonischen oder archimedischen Körpern gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden – solche dreidimensionalen Parkettierungen heißen Raumfüllungen. Beispiele sind Raumfüllungen aus nur Oktaederstümpfen, mit Tetraederstumpf und Tetraeder, mit Kuboktaeder und Oktaeder, mit Hexaederstumpf und Oktaeder, mit Rhombenkuboktaeder, Würfel und Tetraeder, mit Großem Rhombenkuboktaeder und Achteckprisma sowie weitere Kombinationen. Der Oktaederstumpf ist der einzige archimedische Körper, mit dem der Raum allein lückenlos ausgefüllt werden kann. Das Pseudo-Rhombenkuboktaeder entsteht, wenn man beim Rhombenkuboktaeder eine Kappe um 45 Grad verdreht. 1930 stellte der britische Mathematiker J. C. P. Miller fest, dass dieses konvexe Polyeder mit regelmäßigen Seitenflächen die lokale Uniformität der Ecken erfüllt, aber nicht zu den archimedischen Körpern gehört. An jeder Ecke stoßen wie beim Rhombenkuboktaeder drei Quadrate und ein Dreieck zusammen; trotzdem lassen sich zwei verschiedene Typen von Ecken unterscheiden, wenn man auch weiter entfernte Nachbarflächen einbezieht. Manchmal wird es als 14. archimedischer Körper klassifiziert; in der Regel gilt es aber nicht als archimedischer Körper, sondern als Johnson-Körper J37 (auch Miller's solid genannt). Die Forderung der starken Uniformität der Ecken schließt es aus der Definition aus.

Geschichtlicher Hintergrund

Archimedes diskutierte die Körper in einem heute nicht mehr erhaltenen Werk. Pappus von Alexandria erwähnte im fünften Buch seiner Mathematischen Sammlungen (Synagoge), dass Archimedes 13 Polyeder auflistete, jeweils mit kurzen Angaben zur Zahl der Flächen verschiedener Art. In der Renaissance erschienen einige Körper bei Piero della Francesca (De quinque corporibus regularibus), bei Wenzel Jamnitzer (Perspectiva Corporum Regularium) sowie bei Luca Pacioli (Summa de arithmetica, Divina proportione) mit Zeichnungen von Leonardo da Vinci; Netze zeigte Albrecht Dürer in seiner Underweysung der Messung. Um 1620 vervollständigte Johannes Kepler in den Harmonices Mundi die Wiederentdeckung der 13 Polyeder und definierte auch Prismen, Antiprismen und die Kepler-Poinsot-Körper. Möglicherweise entdeckte Kepler auch das Pseudo-Rhombenkuboktaeder: Er spricht an einer Stelle von 14 archimedischen Körpern, seine Liste umfasst aber nur 13. Die erste eindeutige Aussage über die Existenz dieses Körpers stammt von Duncan Sommerville (1905); er tauchte auf, als Mathematiker das Rhombenkuboktaeder falsch durch Hinzufügung zweier um 45° gegeneinander verdrehter Quadratkuppeln zu einem Achtecksprisma konstruierten. Grünbaum wies darauf hin, dass beim lokal definierten „identischen Ecken“ der 14. Körper mitzuzählen wäre; wenn nur 13 Körper aufgezählt werden, muss die Definition globale Symmetrien (Ecken-Transitivität) statt lokaler Eigenschaften verwenden.