Lorentzkraft

Grundidee und Begriff

Die Lorentzkraft ist die Kraft, die eine elektrische Ladung in einem magnetischen oder elektrischen Feld erfährt. Ein elektrisches Feld wirkt auf bewegte und unbewegte Ladungen, ein Magnetfeld dagegen nur auf bewegte Ladungen. Häufig meint der Begriff nur die magnetische Komponente; in neuerer Literatur wird aber meist die gesamte Kraft aus elektrischer und magnetischer Komponente als Lorentzkraft im weiteren Sinne bezeichnet.

Die magnetische Komponente ist am größten, wenn sich die Ladung senkrecht zu den magnetischen Feldlinien bewegt. Sie ist gleich Null, wenn sich die Ladung entlang einer Feldlinie oder genau entgegengesetzt dazu bewegt. Die Kraftrichtung steht immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung und zu den Magnetfeldlinien. Man kann sie mit der Drei-Finger-Regel bestimmen: für negative Ladungen mit der linken Hand, für positive Ladungen mit der rechten Hand.

Die Bezeichnung ist doppeldeutig: Ältere Lehrwerke unterscheiden die magnetische Lorentzkraft im engeren Sinne von der Coulombkraft, also der Kraft eines elektrischen Feldes auf eine Ladung. Neuere Darstellungen fassen beide als Komponenten derselben Gesamtkraft auf.

Formeln für Ladungen im Feld

Bewegt sich eine elektrische Ladung q mit der Geschwindigkeit v durch ein elektromagnetisches Feld, lautet die Lorentzkraft im weiteren Sinne:

F = F_E + F_B = qE + q v × B.

Dabei ist E die elektrische Feldstärke, B die magnetische Flussdichte und × das Kreuzprodukt. Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor, der senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren steht. Deshalb verrichtet die magnetische Kraft in einem räumlich und zeitlich konstanten Magnetfeld ohne äußeres elektrisches Feld keine Arbeit an der Ladung: Die kinetische Energie und die Bahngeschwindigkeit bleiben unverändert. In Wirklichkeit können abgelenkte Teilchen allerdings Bremsstrahlung aussenden und dadurch Energie verlieren.

Wenn nur die magnetische Komponente als Lorentzkraft bezeichnet wird, gilt:

F_L = q v × B.

Die elektrische Komponente wird dann als Coulombkraft geschrieben:

F_C = qE.

Für den Betrag der magnetischen Lorentzkraft auf eine Punktladung gilt:

|F_L| = |q| |v| |B| sin α,

wobei α der Winkel zwischen Bewegungsrichtung und Magnetfeldrichtung ist. Bei Bewegung genau senkrecht zum Magnetfeld wird sin α = 1, also:

|F_L| = |q| |v| |B|.

Die Richtung hängt vom Vorzeichen der Ladung ab: Gleich bewegte positive und negative Ladungen werden in entgegengesetzte Richtungen abgelenkt; bewegen sie sich zusätzlich in entgegengesetzte Richtungen, kann ihre magnetische Ablenkung wieder gleich gerichtet sein.

Stromdurchflossene Leiter

Die Lorentzkraft verbindet Elektrizität und Mechanik besonders deutlich bei stromdurchflossenen Leitern. Fließt Strom durch einen Leiter, der quer oder schräg zu den Feldlinien eines Magnetfeldes liegt, wirkt eine Kraft auf den Leiter. Der Leiterschaukelversuch und die Stromwaage zeigen diese Wirkung. Physikalisch entsteht sie aus der Lorentzkraft auf die bewegten Ladungsträger im Leiter.

Für ein gerades Drahtstück mit gerichteter Länge ℓ in einem homogenen Magnetfeld B und bei konstantem Strom I gilt:

F_L = I (ℓ × B).

Für den Betrag gilt:

|F_L| = |I| |ℓ| |B| sin α,

wobei α der Winkel zwischen Drahtlängsrichtung und magnetischer Flussdichte B ist. Steht der Draht senkrecht zum Magnetfeld, vereinfacht sich das zu:

|F_L| = |I| |ℓ| |B|.

Für gekrümmte Leiter muss man die Kraft über kleine Leiterstücke integrieren:

F_L = I ∫ dℓ × B.

Kombiniert man diese Kraft mit dem Biot-Savart-Gesetz für das Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters, erhält man die Kraft zwischen zwei dünnen, parallelen Leitern. Für zwei parallele Leiter der Länge ℓ im Abstand r mit den Stromstärken I1 und I2 gilt:

F12 = ℓ · (μ0 / 2π) · (I1 I2 / r).

Diese Kraft ist bei gleichgerichteten Strömen anziehend und bei entgegengesetzt gerichteten Strömen abstoßend.

Induktion und Lenzsche Regel

Die Lorentzkraft erklärt auch, wie mechanische Bewegung in elektrische Spannung umgewandelt werden kann. Wird ein gerades Leiterstück der Länge l mit konstanter Geschwindigkeit v quer durch ein homogenes Magnetfeld B geschoben, verschiebt die Lorentzkraft die Leitungselektronen zu einem Ende des Leiters. Dadurch entsteht Ladungstrennung und damit eine elektrische Spannung.

Im Gleichgewicht hält die elektrische Coulombkraft die magnetische Lorentzkraft auf:

F_L + F_C = 0.

Daraus folgt für die Induktionsspannung:

U_ind = ℓ · E = -ℓ · (v × B) = (ℓ × B) · v.

Wenn die Vektoren ℓ, v und B paarweise senkrecht zueinander stehen, ergibt sich die bekannte Formel:

U_ind = -|ℓ| |v| |B|.

Wird der bewegte Leiter über einen ohmschen Widerstand R zu einer geschlossenen Leiterschleife verbunden, kann ein Induktionsstrom fließen. Nach der Kirchhoffschen Maschenregel gilt:

I_ind = -U_ind / R.

Dieser Strom erzeugt wiederum eine Lorentzkraft, die der ursprünglichen Bewegung entgegenwirkt:

F_L2 = -(ℓ² B² / R) · v.

Damit erklärt die Lorentzkraft die Lenzsche Regel: Der induzierte Strom wirkt seiner Ursache entgegen. Ist der Widerstand unendlich groß, etwa bei offenem Stromkreis, ist keine Gegenkraft zu spüren. Wird R sehr klein, etwa bei Supraleitern, kann die Gegenkraft Bewegung praktisch verhindern. Generatoren nutzen diesen Zusammenhang zur Umwandlung mechanischer in elektrische Energie; Elektromotoren kehren den Vorgang um und wandeln elektrische Energie in mechanische Arbeit.

Herleitung, Einheiten und Geschichte

In der theoretischen Physik kann die Lorentzkraft aus dem Wirkungsprinzip hergeleitet werden. Für ein Teilchen der Ladung q und Masse m verwendet man eine Lagrangefunktion mit skalarem Potential Φ und Vektorpotential A. Daraus folgen die Felder

E = -∇Φ - ∂A/∂t

und

B = ∇ × A.

Die Euler-Lagrange-Gleichungen führen schließlich zur Bewegungsgleichung

dp/dt = F = q(E + v × B).

Neben der SI-Schreibweise gibt es eine Formulierung im Gauß-System, das besonders in der theoretischen Physik sowie in England und den USA verwendet wird. Dort steht bei der magnetischen Komponente ein Faktor v/c:

F_L = q_cgs ((v/c) × B_cgs),

und im weiteren Sinn:

F = q_cgs (E_cgs + (v/c) × B_cgs).

Historisch enthalten Arbeiten von James Clerk Maxwell aus den Jahren 1861 und 1864 bereits einen Anteil, der heute als Vorläufer der Lorentzkraft gelten kann. Die Behandlung der Kräfte auf bewegte Punktladungen in Magnetfeldern erfolgte 1881 durch J. J. Thomson, dort noch mit einem fehlerhaften Vorfaktor 1/2. Die korrekte Form leiteten Oliver Heaviside 1889 und Hendrik Antoon Lorentz 1895 ab.

Von 1948 bis 2019 war die Lorentzkraft Grundlage der Definition der SI-Basiseinheit Ampere. Ein Ampere war die Stromstärke, die in zwei parallelen, im Abstand von 1 m im Vakuum angeordneten geradlinigen, unendlich langen Leitern mit vernachlässigbar kleinem kreisförmigem Querschnitt eine Kraft von 2 · 10^-7 N je m Leiterlänge hervorrufen würde.

Anwendungen und Beispiele

Die Lorentzkraft wird in vielen technischen Geräten und physikalischen Verfahren genutzt. Dazu gehören rotierende elektrische Maschinen wie Elektromotoren und Generatoren. In Ablenkmagneten und Ablenksystemen dient sie zur Fokussierung und Ablenkung geladener Teilchenstrahlung, zum Beispiel in Kathodenstrahlröhren, Bildröhren und Kreisbeschleunigern.

Ein Wienfilter nutzt ein Kräftegleichgewicht zwischen Lorentz- und Coulombkraft, sodass nur Ionen einer bestimmten Geschwindigkeit passieren. Auch magnetfeldabhängige Widerstände, die Feldplatte, der Hall-Effekt und Hall-Sensoren beruhen auf der Ablenkung bewegter Ladungen. Weitere Anwendungen sind magnetohydrodynamische Generatoren und Antriebe, elektrodynamische Wandler wie Lautsprecher, dynamische Mikrofone und Drehspulmesswerke, der magnetische Einschluss von Plasma in Kernfusionsreaktoren wie Tokamak und Stellarator, die berührungslose Durchflussmessung mit Lorentzkraft-Anemometrie und die Massenspektrometrie.

Ein Beispiel aus der Natur ist die Ablenkung des Sonnenwinds durch das Magnetfeld der Erde im Van-Allen-Gürtel. Auch hier wirkt die Lorentzkraft auf geladene Teilchen.