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Corioliskraft
Jedes Objekt, das sich auf der Erde bewegt, wird durch die Coriolisbeschleunigung abgelenkt, da die Erde ein rotierendes System darstellt. ... Passatzirkulation …
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Grundidee und Definition
Die Corioliskraft ist eine Trägheitskraft oder Scheinkraft, die in einem rotierenden Bezugssystem auftritt. Sie wird sichtbar, wenn sich ein Körper relativ zu diesem System bewegt und seine Bewegung nicht parallel zur Rotationsachse verläuft. Anders als Zentrifugal- und Eulerkraft wirkt sie daher nicht auf einen Körper, der im rotierenden System ruht. Bedeutung hat sie besonders für großräumige Luft- und Meeresströmungen, aber auch in Technik, Astronomie und Molekülphysik.
Für die Winkelgeschwindigkeit ω des Bezugssystems und die darin gemessene Geschwindigkeit v′ lautet die Coriolisbeschleunigung:
a_C = −2 ω × v′
Das Zeichen × bezeichnet das Kreuzprodukt. Für einen Körper der Masse m gilt entsprechend:
F_C = m a_C = −2m ω × v′.
Die Kraft ist proportional zu Masse, Winkelgeschwindigkeit und Relativgeschwindigkeit. Ihre Richtung steht sowohl senkrecht zu ω als auch zu v′. Deshalb verändert sie den Betrag der Geschwindigkeit nicht, sondern nur deren Richtung; sie verrichtet keine Arbeit. Der Ort des Körpers ist für die Corioliskraft unerheblich. Bei einer Bewegung parallel zur Rotationsachse ist das Kreuzprodukt und damit die Corioliskraft null.
Die Kraft heißt Scheinkraft, weil ihr keine Wechselwirkung mit einem anderen Körper und keine Gegenkraft im Sinne von actio und reactio zugeordnet werden kann. Sie wird benötigt, damit das zweite Newtonsche Gesetz auch aus der Sicht eines rotierenden Beobachters verwendet werden kann. Vom Inertialsystem, also einem nicht beschleunigten Bezugssystem, aus lässt sich dieselbe Bewegung ohne Corioliskraft beschreiben.
Ein anschauliches Beispiel ist eine reibungsfrei über eine Drehscheibe rollende Kugel. Für einen Beobachter außerhalb der Scheibe bewegt sie sich geradlinig. Eine mitrotierende Kamera sieht dagegen eine gekrümmte Bahn entgegen der Drehrichtung. Ebenso muss eine Person auf einem „Teufelsrad“ eine seitliche äußere Kraft aufbringen, um entlang einer aufgemalten radialen Linie zu gehen. Der dabei wahrgenommene Trägheitswiderstand ist die Corioliskraft.
Herleitung und wichtige Bewegungsformen
Für ein Inertialsystem K und ein mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω rotierendes System K′ hängen die Geschwindigkeiten durch
v = v′ + ω × r′
zusammen. Bei der zeitlichen Ableitung eines Vektors muss zusätzlich die Drehung der Koordinatenachsen berücksichtigt werden. Zweimaliges Ableiten des Ortes ergibt:
a′ = a − ω × (ω × r′) − 2ω × v′.
Mit m a = F folgt die Bewegungsgleichung im rotierenden System:
m a′ = F − m ω × (ω × r′) − 2m ω × v′.
Der zweite Term ist die Zentrifugalkraft, der dritte die Corioliskraft. Bei veränderlicher Winkelgeschwindigkeit tritt zusätzlich die Eulerkraft −m(dω/dt) × r′ auf. Auch der Lagrange-Formalismus liefert diese drei Trägheitskräfte.
Bei einer radialen Bewegung auf einer Drehscheibe wächst die seitliche Abweichung für ein kleines Zeitintervall nach Δs = ωv(Δt)². Der Vergleich mit Δs = ½a(Δt)² liefert a_C = 2ωv. Eine verbreitete, aber unzureichende Erklärung betrachtet nur die Änderung der nötigen Umfangsgeschwindigkeit und erhält fälschlich ωv, also nur die Hälfte. Der fehlende Anteil entsteht, weil bei der zweiten zeitlichen Ableitung auch die Bewegung der rotierenden Basisvektoren berücksichtigt werden muss.
Wird die Zentrifugalkraft dauerhaft durch eine äußere Kraft ausgeglichen und wirkt nur die Corioliskraft, entsteht im rotierenden System ein Trägheitskreis. Seine Winkelgeschwindigkeit beträgt 2ω entgegen der Rotation des Bezugssystems; für die Geschwindigkeitskomponente v_r senkrecht zur Drehachse ist sein Radius
r* = v_r/(2ω).
Startet dagegen ein kräftefreier Körper vom Mittelpunkt einer Drehscheibe, bewegt er sich im ruhenden System geradlinig. Im rotierenden System ergibt die Überlagerung aus radialer Bewegung und Rotation eine Archimedische Spirale mit α = (ω/v)r.
Corioliskraft auf der Erde
Die Erde ist ein rotierendes Bezugssystem. Ihre Winkelgeschwindigkeit beträgt bei einer Umdrehung in 23 Stunden 56 Minuten 4 Sekunden, also einem Sterntag von 86164 s:
ω = 2π/86164 s = 7,2921 · 10⁻⁵ rad s⁻¹.
Für horizontale Bewegungen auf der geographischen Breite φ fasst man den wirksamen vertikalen Anteil der Erdrotation im Coriolisparameter zusammen:
f_C = 2ω sin φ.
In mittleren nördlichen Breiten liegt f_C typischerweise bei etwa 10⁻⁴ rad s⁻¹. Die horizontale Coriolisbeschleunigung hat den Betrag a_parallel = f_C v_parallel. Sie lenkt Bewegungen auf der Nordhalbkugel nach rechts und auf der Südhalbkugel nach links ab. Am Äquator verschwindet diese horizontale Wirkung, an den Polen ist sie maximal. Ausnahmen von jeder Corioliswirkung sind Bewegungen parallel zur Erdachse, beispielsweise vertikale Bewegungen an den Polen und genau nord- oder südwärts gerichtete Bewegungen am Äquator.
Die Wirkung ist klein, kann sich aber über große Entfernungen und lange Zeiten summieren. Bei f_C = 10⁻⁴ rad s⁻¹ erfährt ein Geschoss mit 1000 m/s eine Beschleunigung von 0,1 m/s²; über 40 km ergibt sich unter diesen Annahmen eine Abweichung von 80 m.
Ost-West-Bewegungen besitzen zusätzlich eine vertikale Corioliskomponente:
a_perp = 2ω cos φ · v_Ost.
Eine Bewegung nach Osten führt zu einer leichten Anhebung, eine nach Westen zu einer Absenkung. Dieser Eötvös-Effekt ist gegenüber der Schwerkraft meist vernachlässigbar und vor allem bei Präzisionsmessungen wichtig. Am Äquator würde ein mit etwa 1000 km/h ostwärts fliegendes Flugzeug dadurch annähernd ein Tausendstel seines Gewichts leichter.
Beim freien Fall wird ein Körper nach Osten abgelenkt. Für Fallhöhe h gilt näherungsweise:
d_Ost = (2/3)ω cos φ · h √(2h/g).
Ein senkrecht nach oben geworfener Körper wird nach Westen abgelenkt. Im Gedankenexperiment von Mersenne beträgt der gesamte Westversatz bei Anfangsgeschwindigkeit v₀:
d_West = (4/3)ω(v₀³/g²) cos φ.
Bei 50° Breite, v₀ = 100 m/s und etwa 500 m Steighöhe sind es theoretisch 65 cm.
Pendel, Ozeane und Atmosphäre
Beim Foucaultschen Pendel summiert sich die Coriolisablenkung jeder Schwingung zu einer Drehung der Schwingungsebene. Auf der Nordhalbkugel erfolgt sie im Uhrzeigersinn, auf der Südhalbkugel gegen den Uhrzeigersinn. Die tägliche Drehung beträgt α = 360° sin φ; die Zeit für eine vollständige Drehung ist T = 2π/(ω|sin φ|). Am Pol dreht sich die Ebene einmal täglich um 360°, am Äquator bleibt sie unverändert. Damit liefert das Pendel einen experimentellen Nachweis der Erdrotation.
In den Ozeanen beeinflusst die Corioliskraft großräumige Strömungen direkt und über den Wind. Ohne andere Kräfte bewegen sich Wasser- oder Luftmassen näherungsweise auf Trägheitskreisen mit
R = v_parallel/f_C = v_parallel/(2ω sin φ).
Bei f_C = 10⁻⁴ rad s⁻¹ und einer Meeresströmung von 0,1 m/s ist R = 1 km. Die Umlaufzeit ist T = 2π/f_C = 43082 s/sin φ; bei 60° Breite sind es rund 14 Stunden, an den Polen mindestens 11 Stunden 58 Minuten 2 Sekunden. Wegen der Breitenabhängigkeit von f_C sind die Bahnen nur näherungsweise Kreise. Ihre leichte Spiralform und der westliche Versatz heißen Beta-Effekt.
Wind überträgt durch Reibung Bewegung auf das Oberflächenwasser. Der entstehende Ekman-Transport wird auf der Nordhalbkugel nach rechts und auf der Südhalbkugel nach links abgelenkt. Nahe dem Äquator führt die Divergenz des Oberflächenwassers zum Aufquellen kühleren Tiefenwassers. Mit zunehmender Tiefe nehmen Geschwindigkeit und Corioliskraft ab, sodass eine Ekman-Spirale entsteht. Wie stark eine Strömung von der Corioliskraft geprägt ist, beschreibt die dimensionslose Rossby-Zahl: Je kleiner sie ist, desto größer ist deren Einfluss. Kleine Badewannen- oder Abflusswirbel werden im Alltag dagegen von Anfangsbewegungen sowie Form und Lage des Behälters und Abflusses bestimmt, nicht nachweisbar von der Erdrotation.
Atmosphärische Strömungen entstehen vor allem durch Druckunterschiede. In der freien Atmosphäre können sich Druckgradientkraft und Corioliskraft ausgleichen. Der dadurch entstehende geostrophische Wind weht parallel zu den Isobaren; Jetstreams sind ein wichtiges Beispiel. Bodennah bremst Reibung den Wind und schwächt damit die Corioliskraft, sodass der ageostrophische Wind schräg vom Hoch zum Tief strömt. Mit wachsender Höhe dreht und verstärkt sich der Wind bis zum geostrophischen Zustand; die Windvektoren bilden eine Ekman-Spirale.
Auf der Nordhalbkugel drehen großräumige Hochdruckgebiete im Uhrzeigersinn und Tiefdruckgebiete gegen den Uhrzeigersinn; auf der Südhalbkugel ist es umgekehrt. Tropische Wirbelstürme entstehen wegen der verschwindenden horizontalen Corioliskraft nicht direkt am Äquator, sondern erst ab ungefähr fünf Breitengraden Abstand. Bei Tornados ist die Corioliskraft gegenüber anderen Kräften nicht wesentlich, weshalb auch auf der Nordhalbkugel beide Drehrichtungen möglich sind.
Weitere Anwendungen
In der Technik muss die Corioliskraft berücksichtigt werden, wenn sich Bewegungen relativ zu einer rotierenden Grundlage überlagern. Bei einem drehenden Kran wird eine gleichzeitig nach innen oder außen fahrende Last seitlich ausgelenkt; beim Einfahren eilt sie der Krandrehung voraus. Entsprechende Effekte treten bei Robotern und Koppelgetrieben mit mehreren Freiheitsgraden auf. Coriolis-Massendurchflussmesser bestimmen den Massenstrom von Flüssigkeiten oder Gasen aus Veränderungen der Schwingung eines Messrohres. In Kreiselpumpen übt das radial strömende Medium ein Bremsmoment auf das Pumpenrad aus. Drehratensensoren nach dem Stimmgabelprinzip messen eine seitliche, näherungsweise zur Winkelgeschwindigkeit proportionale Auslenkung schwingender Zinken.
In der Astronomie stabilisiert die Corioliskraft im rotierenden Bezugssystem Bewegungen um die Lagrange-Punkte L₄ und L₅ eines eingeschränkten Dreikörperproblems. Bei einem Massenverhältnis der beiden großen Körper von mindestens 25:1 kann ein gestörter kleiner Körper den jeweiligen Punkt umkreisen und in seiner Nähe bleiben. Die Trojaner-Asteroiden an den Lagrange-Punkten der Jupiterbahn sind Beispiele. Bei der Sonne trägt die von radialen Konvektionsströmungen hervorgerufene Corioliskraft zur unterschiedlichen Rotation bei: etwa 25,6 Tage am Äquator und 33,5 Tage an den Polen.
In mehratomigen Molekülen beeinflusst die Rotation des gesamten Moleküls seine Valenz- und Deformationsschwingungen. Diese Coriolis-Kopplungen führen abhängig von der Molekülsymmetrie zu kleinen Verschiebungen der Energieniveaus, die in Schwingungsspektren bestimmt werden können.
Im äußeren Erdkern wirkt die Corioliskraft auf Strömungen elektrisch leitfähigen metallischen Materials. Zusammen mit Konvektions- und Induktionsvorgängen können walzenförmige Strudel und ein sich selbst erhaltender Geodynamo entstehen, der ein dipolares Magnetfeld ermöglicht.
Einordnung, Geschichte und Lernhinweise
Pierre-Simon de Laplace leitete 1775 erstmals den mathematisch korrekten Ausdruck der ablenkenden Kraft her. Benannt ist sie nach Gaspard Gustave de Coriolis, der 1835 Bewegungen von Maschinenteilen relativ zu einer Rotation ausführlich untersuchte. Léon Foucaults Pendelversuch von 1851 galt als erste zuverlässige experimentelle Bestätigung einer horizontalen Ablenkung durch die Erdrotation.
Für das Verständnis ist die Trennung der Bezugssysteme entscheidend: Im Inertialsystem bewegt sich ein kräftefreier Körper geradlinig; im rotierenden System erscheint seine Bahn gekrümmt, und diese Abweichung wird durch die Corioliskraft beschrieben. Ein korrektes Modell muss außerdem die dreidimensionale Richtung von Rotationsachse, Geschwindigkeit und Kraft beachten.
Das historische Hadley-Modell erklärt die Passate allein durch die Erhaltung einer breitenkreisparallelen Geschwindigkeit bei Nord-Süd-Bewegungen. Es liefert teilweise die richtige qualitative Ablenkungsrichtung, aber falsche quantitative Ergebnisse und erklärt keine breitenkreisparallelen Bewegungen. Ohne Druckgradienten und andere Kräfte würde die Corioliskraft keine dauerhafte West- oder Ostströmung erzeugen, sondern Trägheitskreise, in denen sich die Masse wieder ihrem Ausgangspunkt nähert.
Auch einfache Versuche mit Stiftlinien auf bewegten Pappscheiben oder einem rotierenden Globus können irreführen, weil ihre gekrümmten Linien nur für einzelne Bewegungsrichtungen der wirklichen Ablenkung entsprechen. Geeigneter sind Drehscheibenexperimente, die gleichzeitig aus einem ruhenden und einem mitrotierenden Bezugssystem beobachtet werden. So wird sichtbar, dass die Corioliskraft keine zusätzliche reale Wechselwirkung ist, sondern eine notwendige Größe zur Beschreibung derselben Bewegung aus einem rotierenden System.
