Klassische Mechanik

Gegenstand und Bedeutung

Die klassische Mechanik, auch Newtonsche Mechanik, ist ein Teilgebiet der Physik. Sie beschreibt die Bewegung fester, flüssiger und gasförmiger Körper unter dem Einfluss von Kräften. Sie umfasst auch die Trägheitsbewegung ohne wirkende Kraft sowie das statische Gleichgewicht: Ein Körper bleibt in Ruhelage, obwohl Kräfte auf ihn wirken.

Sie wird unter anderem in Himmelsmechanik, Technischer Mechanik, Hydrodynamik, Aerodynamik, Statik und Biomechanik eingesetzt. Sie erlaubt sehr genaue Vorhersagen, wenn Körper sich im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit langsam bewegen und die Folgen des quantenphysikalischen Welle-Teilchen-Dualismus vernachlässigbar sind. Ein typischer Anwendungsfall ist das Federpendel.

Entwicklung und Geltungsbereich

Die ab dem 17. Jahrhundert entwickelte klassische Mechanik gilt als erste Naturwissenschaft im heutigen Sinn. Galileo Galilei begründete eine Methode, bei der experimentelle Beobachtungen mathematisch analysiert werden. Als Beginn der klassischen Mechanik wird Isaac Newtons Buch Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie von 1687 angesehen. Newton analysierte insbesondere beschleunigte Bewegungen mit einem neuen Kraftbegriff und zeigte mithilfe der Infinitesimalrechnung, dass sich Beobachtungen mit wenigen Grundannahmen erklären lassen. Dies galt unter anderem für Galileis Ergebnisse zum freien Fall und Johannes Keplers Ergebnisse zu Planetenbewegungen.

Bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts wurden Newtonsche Begriffe geklärt und erweitert. Hinzu kamen etwa Drehimpuls, Arbeit, Energie und Spannungstensor sowie Verfahren wie die d’Alembertsche Trägheitskraft und der Lagrange-Formalismus. Dadurch vergrößerte sich das Anwendungsgebiet erheblich. Im 19. Jahrhundert wurde die Newtonsche Mechanik zunehmend im Bauwesen und Maschinenbau genutzt. In der Theoretischen Mechanik kritisierten Ernst Mach, Gustav Kirchhoff und Heinrich Hertz den Kraftbegriff als nicht wirklich grundlegend; Impuls und Energie gewannen an Bedeutung.

Ihre Grenzen wurden Anfang des 20. Jahrhunderts sichtbar. Die Relativitätstheorie revidierte klassische Annahmen über Raum, Zeit und Masse. Die Quantenmechanik erklärte Erscheinungen der Atomphysik. Beide Theorien enthalten die klassische Mechanik als näherungsweise gültigen Grenzfall.

Newtonsche Gesetze und Bewegungsgleichungen

Die verschiedenen Formulierungen der klassischen Mechanik dienen dazu, Bewegungsgleichungen aufzustellen. Sie sind Weiterentwicklungen oder Verallgemeinerungen des zweiten Newtonschen Gesetzes. Bewegungsgleichungen sind Differentialgleichungen zweiter Ordnung: Sie können nach der Beschleunigung aufgelöst werden; ihre Lösung legt Ort und Geschwindigkeit einer Masse zu jeder Zeit fest.

Die Newtonschen Gesetze bilden die Grundlage aller weiteren Ausformungen. Ihr zentrales Konzept sind Kräfte, die die Beschleunigung ẍ einer Masse m hervorrufen. Die vektorielle Summe aller N wirkenden Kräfte F⃗ᵢ bestimmt die Bewegung:

m ẍ⃗ = ∑ᵢ₌₁ᴺ F⃗ᵢ.

Lagrange- und Hamilton-Formalismus

Der Lagrange-Formalismus beschreibt mechanische Gesetze mit der Lagrange-Funktion L. Für Systeme mit generalisiertem Potential und holonomen Zwangsbedingungen – Bedingungen, die sich durch Gleichungen für die Koordinaten ausdrücken lassen – gilt:

L = T − V.

Dabei ist T die kinetische Energie und V die potentielle Energie. Die Euler-Lagrange-Gleichungen verbinden die generalisierten Koordinaten qᵢ, ihre Geschwindigkeiten q̇ᵢ und die Zeit t:

d/dt (∂L/∂q̇ᵢ) = ∂L/∂qᵢ.

Die Hamiltonsche Mechanik ist die am stärksten verallgemeinerte Formulierung und ein Ausgangspunkt für neuere Theorien und Modelle wie die Quantenmechanik. Ihre zentrale Größe ist die Hamilton-Funktion H:

H = ∑ᵢ q̇ᵢpᵢ − L(q⃗, q̇⃗, t).

pᵢ sind die generalisierten Impulse. Ist die potentielle Energie unabhängig von der Geschwindigkeit und hängen die Transformationsgleichungen für die generalisierten Koordinaten nicht von der Zeit ab, gilt H = T + V. Die kanonischen Gleichungen lauten q̇ᵢ = ∂H/∂pᵢ und ṗᵢ = −∂H/∂qᵢ. Der Hamilton-Jacobi-Formalismus verknüpft die Hamilton-Funktion mit der Wirkung.

Grenzen gegenüber Relativitäts- und Quantenmechanik

Viele Alltagsphänomene und technische Anlagen mit bewegten Teilen werden ausreichend genau klassisch beschrieben. Nicht erklärbar oder nicht mit der klassischen Mechanik vereinbar sind jedoch beispielsweise Photoeffekt, Comptonstreuung und Wärmestrahlung. Dafür werden genauere Theorien wie spezielle Relativitätstheorie oder Quantenmechanik verwendet.

In der klassischen Mechanik gibt es keine maximale Signalgeschwindigkeit. Deshalb wären unendlich schnelle Signale zur Synchronisierung aller Uhren denkbar; damit kann es eine absolute Zeit geben, die in jedem Inertialsystem gilt. In der Relativitätstheorie ist die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit die größte Signalgeschwindigkeit. Die klassische Beschreibung ist gültig, wenn die gemessene Geschwindigkeit v gegenüber der Signalgeschwindigkeit c klein ist: v ≪ c. Außerdem muss die Gravitationsenergie eines Körpers gegenüber seiner Ruheenergie vernachlässigbar sein.

Anders als in der Quantenmechanik sind klassische Massenpunkte mit gleichen Observablen wie Masse, Ort und Impuls unterscheidbar. Klassische Körper müssen daher makroskopisch sein und individuelle unterscheidende Eigenschaften besitzen; Elementarteilchen einer Familie lassen sich nicht als klassische Massenpunkte auffassen. Ein klassischer Körper verharrt, wenn er sich selbst überlassen wird, in seinem vorherigen Inertialsystem. Bei einem quantenmechanischen Teilchen ist das nicht zwingend der Fall: Wird seine Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei t = 0 genau an einem Ort als δ-Peak lokalisiert, beginnt diese Wahrscheinlichkeitsverteilung mit zunehmender Zeit zu zerlaufen. Allgemein ist die klassische Mechanik näherungsweise gültig, wenn die De-Broglie-Wellenlänge gegenüber den maßgeblichen räumlichen Abständen vernachlässigbar klein ist.