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Mathematik I - 12 - Vektorrechnung 05 - Kreuz- und Spatprodukt
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 79 Zeilen
- in diesem video tutorial kommen wir jetzt zu zwei weiteren rechenoperationen auf weg zu räumen und das ist das kreuz und das sogenannte sportprodukte
- beginnt mit dem kreuz produkt das heißt auch vector produkt einfach weil das ergebnis 1 victor ist und dieses kreuz produkt gibt es nur auf dem
- hochrhein also nur für drei tage wir schreiben dass man in den komponenten schreibweise und das kreuz produkt das sie
- kennzeichnet durch das kreuz zwischen diesen beiden ausgangs vektoren bekommen sie indem sie diese ausdrücke bilden für die erste komponente zum
- beispiel a 2 x b 3 - a 3 x b 2 eine zweite ist es dann aber dreimal b11 b3 und so weiter um sich dass insbesondere am anfang
- merken zu können bringen sie sich vielleicht dieses schema 1 zeigt dass ein beispiel wir haben hier
- die rektoren 5 - 2 und 1 sowie 4 2 - 3 wir wollen das kreuz produkt dieser beiden vektoren ausrechnen zunächst mal schreiben sie die ersten
- beiden komponenten für beide vektoren nochmal unten dran das heißt für den ersten vector 5 und minus zwei und für den zweiten 4 und 2
- anschließend zeichnen sie so ein kreuz an sie beginnen dabei mit den zweiten und der mit der zweiten und der dritten komponente
- und diese linien verbinden jeweils zwei zahlen die miteinander multipliziert werden müssen also - 2 - 3 und 1 und 2 sie beginnen jeweils mit der linie die
- links oben anfängt und rechts oben aufhört das ist das erste produkt und das zweite produkt ziehen sie jetzt davon ab also bekommen wir hier -
- zweimal - 3 - 1 x 2 und jetzt machen sie das gleiche noch einmal aber ein zweiter unten das heißt diese neuen plänen der blau gezeichnet verbinden eins und vier
- und fünf und minus drei und wieder bekommen sie die entsprechenden produkte 1 x 45 x - 3 und das gleich noch ein drittes mal und sie bekommen dadurch die
- dritte komponente unseres ergebnis sektors und das müssen jetzt halt noch ausrechnen im genannten fall bekommen sie in der ersten komponente 62 also
- vier in der zweiten komponente 4 + 15 es gibt 19 und in der dritten komponente 10 + 8 es gibt 18
- ich gebe ihnen zunächst mal noch ein paar einfache rechenwege oder auch geometrische interpretationen zum kreuz produkt mit
- zunächst mal ist das kreuz produkt nicht kommunikativ im gegenteil wenn sie die beiden ausgangs vektoren miteinander vertauschen erhalten sie genau das
- negative von dem was sie ursprünglich erhalten haben man sagt es ist so genannte kommunikativ das
- distribute gesetz ist aber ganz normal gültig das heißt wenn sie a kreuz b + c bilden ist das dasselbe wie paarkreuz b + 18
- das was dem assoziativ gesetz entsprechen würde ist hier überhaupt nicht richtig das heißt paarkreuz b kreuz c in klammern kommt was völlig
- anderes raus als wenn sie zuerst das kreuz produkt am kreuz bilden und anschließend das kreuz produkt mit c
- dann ist es so dass die vektoren a b und das ergebnis am kreuz b in dieser reihenfolge ein rechtssystem bilden das ist hier kein begriff aus dem
- politischen bereich sondern es bedeutet dass diese vektoren so orientiert sind dass sie den daumen dass ihre rechte hand in richtung
- orientieren können den zeigefinger in richtung b und den mittelfinger in richtung kreuz b wenn das nicht möglich ist
- dann spricht mal umgekehrt von einem link system dann ist es nämlich möglich die vektoren er in den zoo zu orientieren dass sie den entsprechenden
- fingern der linken hand entsprechen und zum abschluss noch ein beispiel zum kreuz produkt halten sie das genau klar 21
- halten sie das video bitte kurz an um dieses kreuz produkt auszurechnen ja sie merken schon wenn es ja wenn das kreuz produkte sie neu ist das erfordert
- schon deutlich mehr über ganze skala produkt das muss man häufig machen um es dann fehlerfrei hinzukriegen ich habe hier die einzelne therme noch mal hin
- geschrieben die sie auswerten müssen also - 1 mal 4 - - zweimal 0 für die erste komponente und so weiter und wenn sie das
- ausrechnen bekommen sie hier - 4 -14 und 1 heraus ich habe noch ein zweites kreuz produkt für sie auch hier wieder bitte das video
- kurz anhalten um dieses kreuz produkt auszurechnen auch hier habe ich wieder zunächst mal die einzel therme hingeschrieben und
- wenn sie das dann auswerten erhalten sie - drei minus sechs und minus 5 ja ich möchte nochmal auf die geometrischen interpretation des kreuz
- produkts zu sprechen kommen ganz wichtig ist dass das kreuz produkte immer senkrecht auf den beiden ausgangsverfahren und wie steht
- das ist die eigenschaft die wir am häufigsten ausnutzen werden da komm ich auch gleich noch darauf zu sprechen eine andere wichtige eigenschaft ist
- dass der betrag des kreuz produktes immer gleich der fläche des von a&b aufgespannten parallelogramm es ist
- das bedeutet auch dass wenn sie das kreuz bilden da kommt der 0 vector aus das dann gar kein parallelogramm aufgespannt wird und das heißt dass a
- und b quasi in dieselbe oder entgegengesetzte richtung zueinander zeigen vereinfacht gesagt a und b sind linie abhängig
- daraus ergibt sich auch wozu man dass kalla produkt sozusagen brauchen kann wir können es immer dann gebraucht zum beispiel wenn man zu zwei gegebenen
- vektoren einen vektor sucht der senkrecht auf beiden steht ja zum beispiel wenn wir gegen normalen form einer ebene später mal ausrechnen wurden
- außerdem kann man das prima gebrauchen wenn man von einer fläche entweder den inhalt oder die orientierung der fläche haben möchte der inhalt nutzt die zweite
- eigenschaft obenaus die orientierung die erste damit kommen wir jetzt zur zweiten rechenoperation die ich in diesem video
- tutorial einführen möchte das spart produkt das spart produkt ist insofern etwas ungewöhnliches als dass sie drei ausgangs lektoren brauchen um das
- spart produkt auszurechnen geschrieben hat das gute stück durch diese in klammern und diese drei vektoren die hier durch komma getrennt
- sind definiert es ist das spart produkt als kalla produkt des ersten victors mit dem kreuz produkt der beiden anderen betriebe kreuz 10
- das ergebnis ist logischerweise eine zahl weil sie ja als letzte rechenoperation 1 kalla produkt ausführen
- und diese zahl diese bekommen ist gleich dem volumen des von a b und c aufgespannten parallel ips da ist ein kleiner schreibfehler drin ein
- parallelität ist etwas was man früher auch einen start nannte daher der name und geometrisch ist das vereinfacht gesagt die dreidimensionale version
- eines parallelogramm ja das ist also ein räumlicher körper mit sechs saiten und die sich gegenüber liegenden flächen sind jeweils parallel zueinander
- sie können auch sagen das ding ist so ähnlich sieht so aus wie ein verzerrter würfel
- auch hier wieder ein paar rechen regeln hier ist es ebenfalls so dass wenn sie zwei sektoren vertauschen dass sie dann das negative
- des ursprünglichen resultat erhalten dabei ist es egal ob sie die ersten zwei lektoren oder den ersten und dritten oder den
- zweiten und dritten vertauschen wenn sie hingegen eine sogenannte zyklische vertauschung vornehmen das heißt sie setzen den ersten vector
- sozusagen ganz ans ende oder umgekehrt den letzten sektor an den anfang dann ändert sich das spart produkt nicht das können sie sich so klar machen dass
- sie die zyklische vertauschung bekommen können in dem sie zweimal ein
- paarweise vertauschung vornehmen das heißt dieses bca dass sich hier durch zyklische vertauschung bekommen habe kriegen sie aus der paarweisen
- vertauschung die ich einen ersten schon vorgenommen arbeitet bac in dem sie anschließend noch das aber des 2000 haben weil sie praktisch zweimal dadurch
- und minus-zeichen bekommen dreht sich das ihm wieder auf dann ist das sparprodukt genau dann größer null wenn die drei vektoren in
- dieser reihenfolge natürlich wieder ein rechtssystem bilden und es ist logischerweise kleiner als 0 wenn sie einen link system bilden
- stellt sich noch die frage was ist gleich null gleich null ist es dann wenn sie quasi kein parallelogramm aufspannen können kein parallelität das heißt wenn
- sie irgendwie in einer ebene orientiert sind oder mathematische ausgedrückt wird die drei rektoren linie abhängig sind diese letzte eigenschaft
- ist übrigens sehr praktisch sie haben schon gelernt lineare abhängigkeit von drei vektoren auszurechnen ist nicht immer so einfach
- wenn man immer das muss man nur das spart produkt ausrechnen und schauen ob das null ist damit kommen wir jetzt eigentlich zu
- beispielen ich habe ein erstes beispiel halten sie das video bitte an und berechnet sie dieses sparprodukt erst mal selbst
- ok sie haben festgestellt das ist schon ziemlich aufwendig sie müssen zunächst mal das kreuz produkt der hinteren beiden rektoren ausreichender
- kommentierenden - 462 raus und dann müssen sie das scala produkt mit dem ersten bilden 14 - 2 was sie hier bekommen ist 24 ok
- damit nochmal eingeübt wird habe ich noch ein zweites beispiel das zeigt übrigens auch gleich noch was neues wieder wieder bitte das video anhalten
- und dieses staates produkt erst mal selbst ausrechnen gut die vorgehensweise war im prinzip die gleiche sie rechnen erst mal das
- kreuz produkte hinteren beiden rektoren aus da bekommen sie 26 - 10 -14 und wenn sie dann dass kalla produkt mit den erst mit dem ersten vector bilden
- kommt hier genau null raus nur das zweimal 26 52 - 10 - 42 0 und das bedeutet das dass von den drei vektoren aufgespannte volumen 0 ist und
- das bedeutet drei sektoren liegen in einer ebene oder das bedeutet das gleiche sie sind linearen so würde das ja vorher schon gesagt haben das spart
- produkt ist null wenn die drei vektoren blicken abhängig sind das erlaubt es uns die aufgabe sozusagen noch ein klein bisschen komplizierter zu
- machen wir stellen uns die frage wann diese drei sektoren wobei die letzten beiden noch einen parameter t enthalten
- linear abhängig sind sie wissen jetzt dass sie im prinzip das sparprodukt ausrechnen müssen und es null setzen müssen und dann bekommen sie
- eben die werte von t für die direktorin linie abhängig sind halten sie das video bietet dazu wieder an und versuchen das erst mal selbst
- okay sie haben das spart produkt erst mal hin geschrieben dann haben sie das kreuz produkt der hinteren beiden rektoren berechnete
- system - 2 - 26 - tsc quadrat dann haben sie das scala produkt mit dem ersten vector gebildet das ergibt hier t quadrat - 8 t und das ist das ergebnis
- des staates produkt und das muss null sein damit die vektoren linear abhängig sind das ist eine verhältnismäßig eine quadratische gleichungen sie können das
- t ausklammern und dann ist die quadratische gleichungen schon facto regiert die lösungen sind t1 gleich null und t2 gleich 8
- damit haben sie auch dieses etwas längere video tutorial durchgearbeitet
Zum Nachlesen
KreuzproduktUnter Vorwegnahme der Bilinearität des Kreuzprodukts (siehe Eigenschaften) lässt sich die rechte Seite ausmultiplizieren: a → × b → = a 1 b 1 ( e → 1 × e → …
SpatproduktDas Spatprodukt, auch gemischtes Produkt genannt, ist das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten Vektor.
VektorAddition und Subtraktion · Multiplikation mit einem Skalar · Skalarprodukt · Kreuzprodukt · Spatprodukt · Länge/Betrag eines Vektors · Dyadisches Produkt.
Äußeres TensorproduktBei der Berechnung der Inhalte verformter Flächen wird das Kreuzprodukt von mit einem Tensor transformierten Vektoren benötigt, was sich mit dem äußeren …