Wikipedia · einfach zusammengefasst · Stand
Drehmoment
Ein Drehmoment kann die Rotation eines Körpers beschleunigen oder bremsen. Ein Drehmoment, das einen Balken der Länge nach verbiegt, wird Biegemoment genannt.
Inhalt5 Abschnitte
Grundidee und Definition
Das Drehmoment, auch Moment oder Kraftmoment, ist eine physikalische Größe der klassischen Mechanik. Es beschreibt die Drehwirkung einer Kraft auf einen Körper. Für Drehbewegungen hat es eine ähnliche Bedeutung wie die Kraft für geradlinige Bewegungen: Ein Drehmoment kann die Rotation eines Körpers beschleunigen oder bremsen. Bei Motoren bestimmen Drehmoment und Drehzahl zusammen die abgegebene mechanische Leistung.
Wirkt eine Kraft F rechtwinklig auf einen Hebelarm der Länge r, gilt: M = r · F
Greift die Kraft unter dem Winkel φ an, lautet die allgemeine Betragsformel: M = r · F · sin φ
Für φ = 0° oder φ = 180° sind Kraft und Hebelarm parallel; der Sinus ist null und es entsteht kein Drehmoment. Für φ > 180° ist der Sinus negativ, sodass das Drehmoment in die entgegengesetzte Richtung wirkt.
Vektoriell ist das Drehmoment als Kreuzprodukt definiert: ⃗M = ⃗r × ⃗F
Dabei ist ⃗r der Verbindungsvektor vom Bezugspunkt zum Angriffspunkt der Kraft. Die Richtung des Drehmomentvektors gibt den Drehsinn an. Der Vektor steht senkrecht auf der Ebene, die von ⃗r und ⃗F aufgespannt wird. Der Drehsinn lässt sich mit der Rechte-Hand-Regel bestimmen.
Bei einer einzelnen Kraft hängt das Drehmoment vom gewählten Bezugspunkt ab. Dieser Punkt kann frei gewählt werden; er muss weder der Drehpunkt des Körpers noch ein Punkt des Körpers sein. Häufig wird der Ursprung O als Bezugspunkt verwendet. Der Hebelarm a ist der senkrechte Abstand zwischen Bezugspunkt und Wirkungslinie der Kraft. Deshalb gilt für den Betrag auch M = a · F. Eine Kraft kann entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden, ohne ihr Drehmoment zu verändern.
Die SI-Einheit ist der Newtonmeter (Nm): 1 Nm = 1 kg·m²/s².
Im cgs-System lautet die Einheit dyn·cm. Drehmoment und Arbeit besitzen zwar dieselbe Einheitendarstellung N·m, sind aber verschiedene physikalische Größen. Für das Drehmoment darf deshalb der Einheitenname Joule nicht verwendet werden. Arbeit ist skalar, das Drehmoment ein Pseudovektor. Der Zusammenhang zwischen Arbeit und Drehmoment lautet W = M · Δφ, wobei Δφ im Bogenmaß angegeben wird; entsprechend kann 1 J/rad = 1 Nm geschrieben werden.
Arten, Bezugspunkt und Addition
Es werden drei wichtige Arten unterschieden:
- das Drehmoment einer einzelnen Kraft bezüglich eines Punktes,
- das Drehmoment einer einzelnen Kraft bezüglich einer Achse,
- das Drehmoment eines Kräftepaares.
Bei einer Achse wird der Punkt der Achse betrachtet, der dem Angriffspunkt der Kraft am nächsten liegt. Der Abstand des Angriffspunkts von der Achse ist der Hebelarm. Zur Berechnung kann die Kraft auf eine zur Achse senkrechte Ebene projiziert und dort das Punktmoment gebildet werden. Alternativ wird das Moment bezüglich eines beliebigen Punkts der Achse berechnet und anschließend der Drehmomentvektor auf die Achse projiziert.
Ein Kräftepaar besteht aus zwei Kräften mit parallelen Wirkungslinien, gleichem Betrag und entgegengesetzter Richtung. Es kann einen Körper nicht verschieben, sondern versucht, ihn zu drehen. Sind a der Abstand der Wirkungslinien und F der Betrag einer Kraft, gilt: M = F · a.
Das Drehmoment eines Kräftepaares ist unabhängig vom Bezugspunkt. Ein Kräftepaar kann daher beliebig verschoben und durch sein Drehmoment ersetzt werden, ohne seine Wirkung auf den Körper zu ändern. Sein Drehmomentvektor ist ein freier Vektor und kann an jeden beliebigen Ort verschoben werden. Das Drehmoment einer einzelnen Kraft kann dagegen nicht allgemein durch ein Drehmoment ersetzt werden; sein axialer Vektor darf nur entlang der von ihm festgelegten Geraden verschoben werden.
Für mehrere Kräfte ist das Gesamtdrehmoment die Vektorsumme: ⃗M = Σᵢ ⃗rᵢ × ⃗Fᵢ.
Werden Kräftepaare durch ihre Drehmomente ersetzt, müssen diese zusätzlich addiert werden: ⃗M_Ges = Σᵢ ⃗rᵢ × ⃗Fᵢ + Σⱼ ⃗Mⱼ^KP.
Bei nicht im Gleichgewicht befindlichen Systemen verändert eine Verschiebung des Bezugspunkts um den Vektor ⃗s das Moment nach: ⃗M′ = ⃗M − ⃗s × ⃗F,
wobei ⃗F = Σᵢ ⃗Fᵢ die resultierende Kraft ist. Ist die resultierende Kraft null, bleibt das Drehmoment unabhängig vom Bezugspunkt; diese Situation entspricht mindestens einem Kräftepaar.
Der Momentensatz der Statik besagt, dass das Moment der resultierenden Kraft dieselbe Wirkung hat wie die Summe der Einzelmomente: a_R · F_R = a₁ · F₁ + a₂ · F₂ + … + a_n · F_n.
Die Vektoraddition der Kräfte bestimmt Betrag und Richtung der resultierenden Kraft, aber nicht deren Angriffspunkt oder Wirkungslinie. Diese werden mithilfe des Momentensatzes bestimmt.
Gleichgewicht und Verschiebung von Kräften
Ein Körper befindet sich im mechanischen Gleichgewicht, wenn er seinen Bewegungszustand nicht ändert, also weder beschleunigt noch abgebremst wird. Dazu müssen sowohl Kräftegleichgewicht als auch Drehmomentengleichgewicht herrschen. Für einen beliebigen Bezugspunkt A gilt: Σᵢ ⃗Mᵢ^(A) = ⃗0.
Für die Rechnung wählt man zweckmäßig einen Punkt, in dem sich möglichst viele Wirkungslinien schneiden. Bei diesen Kräften ist der Hebelarm null, sodass sie kein Drehmoment beitragen. Auf diese Weise können unbekannte Kräfte berechnet werden. Das Hebelgesetz ist eine besondere Form des Drehmomentengleichgewichts: Kraftarm · Kraft = Lastarm · Last.
Streng genommen sind die Beträge gleich; die beiden Drehmomente wirken gegensinnig und besitzen daher unterschiedliche Vorzeichen. Drehmomente gegen den Uhrzeigersinn werden meist als positiv gezählt.
Drehmomentengleichgewicht bezüglich eines einzigen Punktes bedeutet nicht automatisch, dass der Körper insgesamt im Gleichgewicht ist. Eine einzelne Kraft erzeugt beispielsweise bezüglich eines Punkts auf ihrer Wirkungslinie kein Drehmoment, trotzdem fehlt eine Gegenkraft und es besteht kein vollständiges Gleichgewicht. Innerhalb einer Ebene ist ein Körper insgesamt im Gleichgewicht, wenn er bezüglich drei verschiedenen Punkten im Drehmomentengleichgewicht steht, sofern diese Punkte nicht auf einer Geraden liegen.
Eine Kraft darf nur entlang ihrer Wirkungslinie ohne Wirkungsänderung verschoben werden. Wird sie senkrecht zu ihrer Wirkungslinie um den Abstand a auf eine parallele Wirkungslinie verschoben, verändert sich ihr Moment. Zum Ausgleich muss ein Versetzungsmoment oder Versatzmoment mit dem Betrag F · a hinzugefügt werden. Eine Einzelkraft ist somit äquivalent zu einer versetzten parallelen Kraft und einem zusätzlichen Versetzungsmoment.
In der technischen Mechanik werden unter anderem folgende Bezeichnungen verwendet: Ein Biegemoment beansprucht ein Bauteil auf Biegung, ein Torsionsmoment auf Verdrehung, und ein Schnittmoment ist eine Schnittreaktion beim Freischneiden. Anfahrmoment, Antriebsmoment, Lastmoment, Einspannmoment und Versatzmoment bezeichnen verschiedene Wirkungen oder Einsatzsituationen. Bemessungsmoment und Nennmoment geben das Moment an, für das ein Bauteil beziehungsweise eine Komponente ausgelegt wurde. Das spezifische Drehmoment ist das Moment pro Liter Hubraum: Höchstwerte liegen bei Viertakt-Ottomotoren und großen Viertakt-Dieselmotoren bei 200 Nm/dm³, bei sehr großen Zweitakt-Schiffsdieseln bei 300 Nm/dm³.
Dynamik und Entsprechungen zur geradlinigen Bewegung
In der Dynamik beschreibt ein resultierendes äußeres Drehmoment eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit ⃗ω. Die Winkelbeschleunigung ist ⃗α = d⃗ω/dt. Innere Drehmomente wie Biege- oder Torsionsmomente verändern die Bewegung des gesamten Körpers nicht.
Das Rotations-Trägheitsverhalten hängt von der Masse und ihrer räumlichen Verteilung ab und wird durch das Trägheitsmoment I beschrieben. Bei einer Drehung um eine feste Achse gilt: M = I · α.
Das Trägheitsmoment hängt von der Lage und Richtung der Drehachse ab. Für eine beliebige Raumrichtung wird deshalb der Trägheitstensor 𝐈 verwendet: ⃗M = 𝐈 · ⃗α.
Allgemein ist das Drehmoment die Änderungsrate des Drehimpulses ⃗L: ⃗M = d⃗L/dt.
Diese Beziehung heißt in der Technischen Mechanik auch Drallsatz, Drehimpulssatz, Momentensatz oder Impulsmomentsatz. Im zweidimensionalen Fall beschleunigt oder bremst ein Drehmoment eine Rotation. Im dreidimensionalen Fall kann es zusätzlich die Richtung der Rotationsachse verändern.
Die wichtigsten Entsprechungen zwischen geradliniger Bewegung und Drehbewegung sind:
- Arbeit: W = F · Δs entspricht W = M · Δφ; allgemein gilt W = ∫⃗F(⃗s) · d⃗s beziehungsweise W = ∫⃗M(⃗φ) · d⃗φ.
- Leistung: P = ⃗F · ⃗v entspricht P = ⃗M · ⃗ω.
- Gleichgewicht: Σ⃗Fᵢ = ⃗0 entspricht Σ⃗Mᵢ = ⃗0.
- Beschleunigte Bewegung: ⃗F = m · ⃗a entspricht ⃗M = 𝐈 · ⃗α.
- Änderungsrate: ⃗F = d⃗p/dt entspricht ⃗M = d⃗L/dt.
Messung und technische Anwendungen
Bei einem ruhenden Körper wird das zu messende Drehmoment durch ein statisches Gegenmoment ausgeglichen. Dieses Gegenmoment kann beispielsweise mit einem Hebel erzeugt werden. Sein Betrag ist das Produkt aus Hebelarmlänge und Gegenkraft am Hebelende.
Bei einer rotierenden Welle wird das Drehmoment bei bestimmter Drehzahl mit einem Bremsdynamometer gemessen, etwa einem Pronyschen Zaum oder einer Wasserwirbelbremse. Die Bremse nimmt die übertragene Leistung auf. Eine drehbar gelagerte Maschine oder Bremseinrichtung wird dabei über einen Hebelarm abgestützt; gemessen wird die gegenwirkende Umfangskraft. Wiederholte Messungen liefern eine Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie. Alternativ kann bei bekanntem Trägheitsmoment die Winkelbeschleunigung α gemessen werden: M = I · α.
Beim häufig verwendeten Kurzschlussläufer-Asynchronmotor ist das Drehmoment bei konstanter Netzfrequenz und -spannung von der Drehzahl abhängig. Ein dauerhafter Betrieb ist nur im kleinen Drehzahlbereich rechts der Kipppunkte K1 oder K2 auf der steil abfallenden Kurve möglich. Der Anlaufbereich links davon soll schnell durchfahren werden, weil der Motor dort einen schlechten Wirkungsgrad, hohen Anlaufstrom und ein geringes Drehmoment besitzt. Eine Stern-Dreieck-Anlaufschaltung oder ein Frequenzumrichter kann diese Nachteile vermindern. Ein Reihenschluss-Gleichstrommotor besitzt ein besonders hohes Anlaufmoment und wird daher unter anderem für Handgeräte, Waschmaschinen und Bahnantriebe genutzt.
Bei Verbrennungsmotoren liegt das Leistungsmaximum wegen des zusätzlichen linearen Faktors der Drehzahl bei einer höheren Drehzahl als das Drehmomentmaximum. Für Zweitaktmotoren gilt: M = V_h · p_e /(2π),
für Viertaktmotoren: M = V_h · p_e /(4π).
V_h ist das Hubvolumen, p_e der Mitteldruck des verbrannten Treibstoffs. Bei einem Viertaktmotor mit 2000 cm³ = 0,002 m³ Hubvolumen und p_e = 9 bar = 900.000 Pa ergibt sich: M = (0,002 m³ · 900.000 N/m²)/(4π) = 143 Nm.
Die Leistung einer Drehbewegung lautet: P = 2π nM,
beziehungsweise bei drehzahlabhängigem Moment P(n) = 2π nM(n). Bei 2000 Umdrehungen pro Minute und 143 Nm beträgt die Leistung ungefähr 30 kW.
Für einen Hydraulikmotor gilt mit den Drücken p₁ und p₂ sowie dem geschluckten Ölvolumen Q = q · n: P = (p₁ − p₂) qn.
Zusammen mit P = 2π Mn folgt: M = ((p₁ − p₂) q)/(2π).
