Kreise am Dreieck

Wichtige Kreise am Dreieck

Zu den grundlegenden Kreisen eines Dreiecks gehören Umkreis, Inkreis, die drei Ankreise und der Feuerbach-Kreis. Sie wurden bereits in der Antike von griechischen Mathematikern untersucht. Sie entstehen durch besondere Punkte und Geraden des Dreiecks, etwa Mittelsenkrechten oder Winkelhalbierende.

Umkreis

Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der durch alle drei Ecken des Dreiecks geht. Sein Mittelpunkt hat von allen drei Ecken denselben Abstand. Deshalb liegt er auf allen drei Mittelsenkrechten, also den Streckensymmetralen der Dreiecksseiten.

Inkreis und Ankreise

Der Inkreis berührt im Inneren des Dreiecks alle drei Seiten. Er ist der größte Kreis, der vollständig im Dreieck liegt. Sein Mittelpunkt hat zu allen drei Seiten den gleichen Abstand und liegt daher auf allen drei Winkelhalbierenden der Innenwinkel.

Ein Dreieck besitzt außerdem drei Ankreise. Jeder Ankreis berührt das Innere einer Dreiecksseite sowie die Verlängerungen der beiden anderen Seiten. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Innenwinkels mit den Winkelhalbierenden der beiden nicht anliegenden Außenwinkel.

Feuerbach-Kreis

Der Feuerbach-Kreis, auch Neun-Punkte-Kreis genannt, hat Eigenschaften, die erst in der Neuzeit entdeckt wurden. Auf ihm liegen neun Punkte: die drei Seitenmittelpunkte, die drei Fußpunkte der Dreieckshöhen und die drei Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte zwischen Höhenschnittpunkt und Ecken.

Sein Mittelpunkt liegt auf der eulerschen Geraden. Diese Gerade verläuft durch Umkreismittelpunkt, Höhenschnittpunkt und Schwerpunkt. Der Radius des Feuerbach-Kreises ist halb so groß wie der Umkreisradius. Außerdem berührt der Feuerbach-Kreis den Inkreis und alle drei Ankreise.