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Eulersche Gerade
Die eulersche Gerade oder Euler-Gerade ist eine spezielle Gerade eines nicht-gleichseitigen Dreiecks. Auf ihr liegen u. a. der Schwerpunkt, …
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Bedeutung und zentrale Punkte
Die eulersche Gerade, auch Euler-Gerade, ist eine besondere Gerade in jedem nicht gleichseitigen Dreieck. Auf ihr liegen wichtige ausgezeichnete Punkte des Dreiecks: der Schwerpunkt S, der Umkreismittelpunkt U und der Höhenschnittpunkt H. Leonhard Euler veröffentlichte 1763 die Erkenntnis, dass diese drei Punkte kollinear sind, also auf einer gemeinsamen Geraden liegen.
Der Schwerpunkt S ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Der Umkreismittelpunkt U ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und damit der Mittelpunkt des Umkreises. Der Höhenschnittpunkt H ist der gemeinsame Schnittpunkt der Höhen. Auch der Mittelpunkt N des Feuerbachkreises liegt auf der Euler-Geraden: N ist zugleich der Mittelpunkt der Strecke HU.
Streckenverhältnisse und Gleichungen
Für die vier Punkte H, S, U und N gelten auf der Euler-Geraden die Streckenverhältnisse
|HU| = 3|SU| = 6|NS|, |HS| = 4|NS|, |HN| = 3|NS|, |NU| = 3|NS| und |SU| = 2|NS|.
Mit den Ortsvektoren der Punkte lauten zwei wichtige Gleichungen:
• Euler-Gleichung: 3\vec{S} = \vec{H} + 2\vec{U}.
• Feuerbach-Gleichung: 3\vec{S} = \vec{U} + 2\vec{N}.
Sie beschreiben die Lage des Schwerpunkts im Verhältnis zu Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt und Feuerbachkreismittelpunkt.
Geometrische Begründung
Eine elementargeometrische Begründung verwendet eine zentrische Streckung mit Zentrum S und Streckfaktor -1/2. Dabei werden die Ecken des Dreiecks auf die Seitenmittelpunkte abgebildet. Die Höhen werden dadurch auf die Mittelsenkrechten abgebildet. Deshalb wird auch der Höhenschnittpunkt auf den Umkreismittelpunkt abgebildet.
Der Umkreis wird bei dieser zentrischen Streckung auf den Feuerbachkreis abgebildet. Daraus folgt insbesondere die Lage von H, U und N auf derselben Geraden durch S.
Sonderfälle und weitere Punkte
In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Euler-Gerade die zur Basis gehörige Seitenhalbierende. Diese Gerade ist dort zugleich Mittelsenkrechte, Höhe und Winkelhalbierende.
In einem gleichseitigen Dreieck fallen S, U und H in einem Punkt zusammen. Deshalb spricht man dort nicht von einer Euler-Geraden: Sonst könnte jede Gerade durch diesen Punkt als Euler-Gerade gelten.
In einem rechtwinkligen Dreieck stimmt die Euler-Gerade mit der Seitenhalbierenden zur Hypotenuse überein. In diesem Fall schneiden sich die Mittelsenkrechten auf der Hypotenuse.
Weitere ausgezeichnete Punkte auf der Euler-Geraden des Dreiecks ABC sind der Umkreismittelpunkt X_{26} des Tangentendreiecks sowie der Longchamps-Punkt X_{20}, der Schiffler-Punkt X_{21} und der Exeter-Punkt X_{22}. Der Mittelpunkt des Inkreises liegt genau dann auf der Euler-Geraden, wenn das Dreieck gleichschenklig ist.
Gleichung in baryzentrischen Koordinaten
In baryzentrischen Koordinaten (x:y:z) kann die Euler-Gerade durch gleichwertige Gleichungen beschrieben werden. Für Seitenlängen a, b, c gilt:
(b²-c²)(b²+c²-a²)x + (c²-a²)(c²+a²-b²)y + (a²-b²)(a²+b²-c²)z = 0.
Mit den Innenwinkeln α, β, γ lautet eine weitere Form:
(sin(2γ)-sin(2β))x + (sin(2α)-sin(2γ))y + (sin(2β)-sin(2α))z = 0.
Alternativ gilt:
(tan γ-tan β)x + (tan α-tan γ)y + (tan β-tan α)z = 0.
Analogie beim Tetraeder
Für ein allgemeines Tetraeder \mathcal{T} \subset \mathbb{R}³ gibt es eine entsprechende Euler-Gerade e(\mathcal{T}). Sie ist die Gerade, die den Schwerpunkt S(\mathcal{T}) des Tetraeders mit dem Mittelpunkt U(\mathcal{T}) seiner Umkugel verbindet.