Höhenschnittpunkt

Definition und Lage

Der Höhenschnittpunkt, auch Orthozentrum genannt, ist der gemeinsame Schnittpunkt der drei Höhen eines Dreiecks. Eine Höhe ist das Lot zu einer Dreiecksseite, das durch die gegenüberliegende Ecke verläuft. Der Höhenschnittpunkt gehört zu den vier klassischen ausgezeichneten Punkten des Dreiecks.

Seine Lage hängt von den Winkeln des Dreiecks ab:

Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt innerhalb des Dreiecks.
Bei einem stumpfwinkligen Dreieck, also bei einem Winkel über 90°, liegt er außerhalb des Dreiecks.
Bei einem rechtwinkligen Dreieck fällt der Höhenschnittpunkt mit dem Scheitel des rechten Winkels zusammen.

Warum sich die drei Höhen schneiden

Um zu zeigen, dass sich alle drei Höhen im selben Punkt schneiden, zeichnet man durch jede Ecke die Parallele zur gegenüberliegenden Dreiecksseite. Dadurch entsteht aus dem Dreieck ABC ein größeres Dreieck A'B'C'. Je zwei der vier dabei entstehenden Teildreiecke bilden ein Parallelogramm. Weil in einem Parallelogramm gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, sind die Seiten des neuen Dreiecks jeweils doppelt so lang wie die entsprechenden Seiten des ursprünglichen Dreiecks.

Daraus folgt, dass die Höhen des ursprünglichen Dreiecks mit den Mittelsenkrechten des neuen Dreiecks übereinstimmen. Eine Mittelsenkrechte, auch Streckensymmetrale genannt, ist die Gerade, die eine Strecke im rechten Winkel halbiert. Da sich die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks in einem Punkt schneiden, müssen sich auch die drei Höhen des ursprünglichen Dreiecks in einem Punkt schneiden.

Umgekehrt kann man das Dreieck ABC als Dreieck seiner Mittelparallelen in das Dreieck A'B'C' einbeschreiben. Deshalb fällt der Umkreismittelpunkt des ursprünglichen Dreiecks mit dem Höhenschnittpunkt des einbeschriebenen Dreiecks zusammen.

Verallgemeinerung in der synthetischen Geometrie

Der Beweis zeigt zugleich eine Äquivalenz zwischen dem Höhenschnittpunktsatz und dem Mittellotensatz. Diese Beziehung lässt sich in der synthetischen Geometrie auf affine Translationsebenen mit einer Orthogonalitätsrelation verallgemeinern.

Voraussetzung ist, dass jede Strecke der Ebene eine Mitte besitzt. Das ist genau dann der Fall, wenn die Ebene das affine Fano-Axiom erfüllt. Aus der Existenz der entsprechenden Schnittpunkte für beliebige Dreiecke kann dann geschlossen werden, dass die Translationsebene eine pappussche Ebene ist. In der synthetischen affinen Geometrie wird der Höhenschnittpunktsatz daher als Axiom behandelt.

Wichtige Eigenschaften und Koordinaten

Die Fußpunkte Hₐ, H_b und H_c der drei Höhen bilden das Höhenfußpunktdreieck des Dreiecks ABC. Bei einem spitzwinkligen Dreieck ist der Höhenschnittpunkt H des ursprünglichen Dreiecks der Inkreismittelpunkt dieses Höhenfußpunktdreiecks. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ist H dagegen ein Ankreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks.

Für die Abschnitte auf den Höhen gilt die Gleichheit der Produkte:

AH · HHₐ = BH · HH_b = CH · HH_c.

Der Höhenschnittpunkt liegt gemeinsam mit dem Schwerpunkt und dem Umkreismittelpunkt auf der eulerschen Geraden. Die Fußpunkte der Höhen sowie die Mittelpunkte der „oberen Höhenabschnitte“, also der Abschnitte zwischen dem Höhenschnittpunkt und jeweils einer Ecke, liegen auf dem Feuerbach-Kreis. Spiegelt man den Höhenschnittpunkt an den drei Seiten des Dreiecks, liegen die drei Bildpunkte auf dem Umkreis.

Für ein Dreieck mit Seitenlängen a, b und c sowie Innenwinkeln α, β und γ lauten die trilinearen Koordinaten des Höhenschnittpunkts X₄:

sec α : sec β : sec γ.

Gleichwertige baryzentrische Koordinaten sind:

1/(b² + c² − a²) : 1/(c² + a² − b²) : 1/(a² + b² − c²)

oder

tan α : tan β : tan γ.

Orthozentrische Quadrupel

Ein Dreieck ABC und sein Höhenschnittpunkt H bilden zusammen ein orthozentrisches Quadrupel. Für diese vier Punkte gelten zwei zentrale Aussagen:

Nimmt man drei der vier Punkte A, B, C und H zu einem Dreieck, so ist der jeweils vierte Punkt der Höhenschnittpunkt dieses Dreiecks.
Die von jeweils drei der vier Punkte gebildeten Dreiecke besitzen kongruente Umkreise, also Umkreise gleicher Form und Größe.

Für den zweiten Satz kann man ohne Einschränkung die Dreiecke ABC und ABH betrachten. Der Beweis verwendet den zweiten Schnittpunkt P des Umkreises von ABC mit der verlängerten Dreieckshöhe durch C. Winkel an den Höhen und Umfangswinkel am Kreisbogen über AP führen dazu, dass die rechtwinkligen Dreiecke BHF und PBF nach dem Kongruenzsatz WSW kongruent sind. Daraus folgt nach SWS die Kongruenz der Dreiecke ABH und BAP. Weil BAP denselben Umkreis wie ABC besitzt, sind auch die Umkreise von ABC und ABH kongruent.

Sonderfall: Sind drei der vier Punkte A, B, C und H Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks, fällt der jeweils vierte Punkt mit einem der drei anderen Punkte zusammen.

Geschichtliche Entwicklung

In Euklids Elementen wird der Höhenschnittpunkt nicht erwähnt. Er erscheint jedoch im Buch der Lemmata (Liber assumptorum), einer dem griechischen Mathematiker Archimedes zugeschriebenen Sammlung geometrischer Sätze. Auch Pappos setzt ihn in den Collectiones (VII, 62) als bekannt voraus.

Im 11. Jahrhundert formulierte und bewies Ali ibn Ahmad al-Nasawi den Satz in seinem Kommentar zum Buch der Lemmata. Er schrieb ihn Abu Sahl al-Quhi aus dem 10. Jahrhundert zu. Der arabische Beweis wurde im frühen 17. Jahrhundert für lateinische Ausgaben des Buchs der Lemmata übersetzt, war in Europa jedoch wenig bekannt. Deshalb wurde der Satz zwischen dem 17. und 19. Jahrhundert mehrfach neu bewiesen.

Zu diesen erneuten Beweisen gehören der Beweis von Samuel Marolois in seiner Geometrie von 1619, ein Beweis Isaac Newtons in seiner unvollendeten Schrift Geometry of Curved Lines sowie ein Beweis von William Chapple aus dem Jahr 1749. Der Beweis, der den Höhenschnitt auf den Schnitt der Mittelsenkrechten zurückführt, wurde 1804 von François-Joseph Servois und unabhängig davon 1810 von Carl Friedrich Gauß gefunden und 1873 neu herausgegeben.