Kongruenzsatz

Grundidee

Ein Kongruenzsatz ist in der ebenen Geometrie eine Aussage, mit der man die Kongruenz von Dreiecken einfach nachweisen kann. Zwei Dreiecke sind kongruent, also deckungsgleich, wenn sie in Form und Flächeninhalt gleich sind. Kongruente Dreiecke dürfen in diesem Sinn als gleich angesehen werden; die Dreieckskongruenz ist eine Äquivalenzrelation.

Sind zwei Dreiecke ABC und DEF kongruent, schreibt man ABC ≅ DEF. Die Kongruenzsätze geben an, welche wenigen Angaben über Seiten und Winkel ausreichen, damit zwei Dreiecke eindeutig bis auf Spiegelung oder Lage bestimmt sind.

Die klassischen Sätze

In den Namen der Kongruenzsätze steht „S“ für die Übereinstimmung einer Seitenlänge und „W“ für die Übereinstimmung eines Winkels.

Der SSS-Satz, der erste Kongruenzsatz, lautet: Zwei Dreiecke, die in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen, sind kongruent.

Der SWS-Satz, der zweite Kongruenzsatz, lautet: Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind kongruent. Der eingeschlossene Winkel ist der Winkel zwischen den beiden gegebenen Seiten.

Der WSW-Satz, der dritte Kongruenzsatz, lautet: Zwei Dreiecke, die in einer Seitenlänge und in den dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent. Ein anliegender Winkel liegt direkt an der gegebenen Seite.

Daraus folgt über den Satz von der Summe der Innenwinkel im Dreieck auch der SWW-Satz: Zwei Dreiecke, die in einer Seitenlänge, einem dieser Seite anliegenden Winkel und dem dieser Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen, sind kongruent.

Der SSW-Satz, der vierte Kongruenzsatz, lautet: Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in jenem Winkel übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüberliegt, sind kongruent. Die Einschränkung auf den Winkel gegenüber der längeren Seite ist wichtig; sie wird manchmal durch Schreibweisen wie SsW, Ssw oder SSW_g gekennzeichnet.

Wichtige Einschränkungen

Nicht jede Kombination aus zwei Winkeln und einer Seite reicht automatisch für Kongruenz aus. Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln und in einer Seitenlänge überein, sind sie nicht zwingend kongruent, wenn nicht bekannt ist, welche der gegebenen Winkel an der gegebenen Seite anliegen. Aus einer Seite und zwei Winkeln können im Allgemeinen drei nicht kongruente Dreiecke entstehen, je nachdem ob der erste, der zweite oder beide Winkel an der Seite liegen.

Stimmen zwei Dreiecke in zwei Innenwinkeln überein, dann stimmen sie wegen der Winkelsumme im Dreieck zugleich in allen drei Innenwinkeln überein. Trotzdem sind sie nicht notwendigerweise kongruent. Sie sind dann ähnlich, das heißt, sie haben gleiche Form, können aber unterschiedlich groß sein.

Konstruktive Beweise

Klassisch beweist man die Kongruenzsätze mit Konstruktionen durch Zirkel und Lineal. Aus den gegebenen Bestimmungsstücken eines Dreiecks wird ein zweites Dreieck konstruiert. Wenn diese Konstruktion nur auf genau eine Weise möglich ist, abgesehen von Spiegelung oder festgelegter Orientierung, sind die Dreiecke kongruent.

Beim SSS-Fall sind a, b und c gegeben. Man trägt eine Strecke BC der Länge a ab. Dann zeichnet man einen Kreis um C mit Radius b und einen Kreis um B mit Radius c. Die Schnittpunkte A_1 und A_2 liefern zwei spiegelsymmetrische und damit kongruente Dreiecke A_1BC und A_2BC. Bei festgelegter Orientierung ist das Dreieck eindeutig.

Beim SWS-Fall sind a, b und γ gegeben. Man konstruiert zwei Halbgeraden mit C als Scheitel, die den Winkel γ einschließen. Auf ihnen trägt man die Längen b beziehungsweise a ab und erhält so die Punkte A und B.

Beim WSW-Fall sind a, β und γ gegeben. Man trägt BC mit der Länge a ab. Dann konstruiert man bei B eine Halbgerade, die mit BC den Winkel β einschließt, und bei C eine Halbgerade, die mit BC den Winkel -γ einschließt. Die beiden Halbgeraden schneiden sich im Punkt A.

Beim gültigen SSW-Fall sind b, c und γ gegeben, wobei c > b gilt. Man konstruiert zwei Halbgeraden mit C als Scheitel, die den Winkel γ einschließen. Auf einem Schenkel trägt man die kürzere Strecke b ab und erhält A. Der Kreis um A mit Radius c schneidet den anderen Schenkel in einem Punkt B.

Der zweideutige Fall

Der SSW-Satz gilt nicht allgemein, wenn der gegebene Winkel der kürzeren Seite gegenüberliegt. Es gibt inkongruente Dreiecke, die in zwei Seiten und dem der kürzeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.

Im beschriebenen Beispiel stimmen die Dreiecke A_1BC und A_2BC in den Seitenlängen a und c sowie im Winkel γ = ∠A_1CB beziehungsweise γ = ∠A_2CB überein. Trotzdem unterscheiden sich die Seitenlängen b_1 und b_2 sowie die Winkel ∠CBA_1 und ∠CBA_2. Hier gilt c < a, also gerade nicht die Voraussetzung des SSW-Satzes. Dieser Fall heißt sSW-Fall.

Der sSW-Fall ist jedoch nicht immer zweideutig. Hat die kürzere Seite die Länge a sin γ, dann ist das Dreieck rechtwinklig und eindeutig bestimmt.

Bedeutung in Beweisen

Die vier Kongruenzsätze sind eine wichtige Grundlage für Kongruenzbeweise in der Elementargeometrie. In einem solchen Beweis zeigt man zuerst, dass zwei passend gewählte Dreiecke kongruent sind. Danach darf man folgern, dass entsprechende Seitenlängen gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß sind.

In Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie hat SWS den Rang eines Axioms. Die anderen Kongruenzsätze werden aus SWS und den übrigen Axiomen bewiesen. Hilbert hielt das für nötig, weil bei Euklid Beweisideen vorkamen, die nicht rein logisch aus dessen Axiomen und Postulaten folgten, sondern sich auf die anschaulich einleuchtende freie Beweglichkeit der Dreiecke stützten.

Es gibt auch Dreieckskonstruktionen aus anderen drei Bestimmungsstücken, etwa Inkreisradius, Umkreisradius, Fläche oder Höhen. Die zugehörigen Kongruenzaussagen zählen jedoch nicht zu den klassischen Kongruenzsätzen.

In der sphärischen Geometrie ist die Lage teilweise anders: Dort sind zwei sphärische Dreiecke bereits kongruent und nicht nur ähnlich, wenn sie in den drei Innenwinkeln übereinstimmen. Außerdem ist die Angabe des dritten Winkels dort nicht redundant; der Grund hängt mit dem sphärischen Exzess zusammen.