Verkettungszeichen

Bedeutung und allgemeine Verwendung

Das Verkettungszeichen ∘, auch Kreisoperator oder „Kringel“ genannt, ist ein mathematisches Zeichen. Es drückt die Verkettung zweier Funktionen, Relationen oder Wörter aus. Eine Verkettung bedeutet, dass zwei Vorgänge oder Strukturen miteinander verbunden werden. Besteht keine Verwechslungsgefahr mit der Multiplikation, wird das Zeichen häufig weggelassen.

Allgemeiner kann ∘ neben den Zeichen •, ∗ und ⋅ als Platzhalter für binäre Verknüpfungen verwendet werden. Eine binäre Verknüpfung ist eine Verknüpfung, die jeweils zwei Elemente einer algebraischen Struktur miteinander verbindet.

Verkettung von Funktionen

Sind A, B und C Mengen sowie f: A → B und g: B → C Funktionen, wird ihre Verkettung durch

(g ∘ f)(x) = g(f(x))

notiert. Dabei wird die Verkettung von rechts nach links ausgeführt: Zuerst wird f angewandt, danach g. Der Ausdruck g ∘ f kann als „g verknüpft mit f“, „g komponiert mit f“, „g nach f“ oder „g Kringel f“ gelesen werden.

In der Literatur kommt gelegentlich auch eine umgekehrte Reihung vor. Dort wird (f ∘ g)(x) = g(f(x)) geschrieben. Bei der Verwendung des Zeichens muss daher auf die jeweils geltende Notationsweise geachtet werden.

Verkettung von Relationen und Wörtern

Für binäre Relationen wird das Zeichen allgemeiner als Verkettungsoperator verwendet. Sind A, B und C Mengen sowie R ⊆ A × B und S ⊆ B × C binäre Relationen, dann gilt:

S ∘ R = {(a,c) ∈ A × C | ∃ b ∈ B: (a,b) ∈ R ∧ (b,c) ∈ S}.

Das Ergebnis heißt Relationsprodukt oder relatives Produkt. Ein Paar (a,c) gehört also zum Ergebnis, wenn es ein b ∈ B gibt, sodass (a,b) zu R und (b,c) zu S gehört. Auch bei Relationen wird gelegentlich die umgekehrte Schreibweise R ∘ S verwendet.

In der theoretischen Informatik bezeichnet ∘ außerdem die Konkatenation von Wörtern. Für die Wörter x = (x₁, x₂, …, xₙ) und y = (y₁, y₂, …, yₖ) über einem Alphabet lautet sie:

x ∘ y = (x₁, x₂, …, xₙ, y₁, y₂, …, yₖ).

Dabei wird y direkt an x angehängt. x ist das Präfix und y das Suffix des Ergebnisses. Die Konkatenation von Wörtern ist ein Spezialfall der Konkatenation von Mengen.

Kodierung und ähnliche Zeichen

In Unicode ist das Verkettungszeichen als U+2218 definiert. Seine englische Bezeichnung lautet „ring operator“, die deutsche Bezeichnung „Kreisoperator“. In HTML kann es als ∘ oder ∘ geschrieben werden; in LaTeX lautet der Befehl \circ.

Das Zeichen ∘ kann unter anderem mit dem lateinischen Kleinbuchstaben o (U+006F), dem Gradzeichen ° (U+00B0), dem griechischen Kleinbuchstaben Omikron ο (U+03BF), dem kyrillischen Kleinbuchstaben о (U+043E), dem tiefgestellten lateinischen Kleinbuchstaben ₒ (U+2092), dem weißen Kreis ○ (U+25CB), dem weißen Aufzählungszeichen ◦ (U+25E6), dem mittleren kleinen weißen Kreis ⚬ (U+26AC) und dem ideografischen Satzende 。 (U+3002) verwechselt werden.