Gruppenoperation

Grundidee und Definition

Eine Gruppenoperation, auch Gruppenaktion oder Gruppenwirkung, beschreibt, wie eine Gruppe (G, *) als aktiver Teil auf einer Menge X als passivem Teil wirkt. Jedes g ∈ G bewirkt dabei eine bijektive Selbstabbildung von X. So lassen sich Symmetrien von Objekten untersuchen; umgekehrt kann eine Aktion auch Informationen über die Struktur der Gruppe liefern. Eine Menge mit G-Operation heißt G-Menge.

Eine Linksaktion ist eine Abbildung ▷ : G × X → X mit (g,x) ↦ g ▷ x. Sie erfüllt e ▷ x = x sowie (g*h) ▷ x = g ▷ (h ▷ x) für alle g,h ∈ G und x ∈ X. Daher ist x ↦ g ▷ x bijektiv; ihre Umkehrabbildung ist x ↦ g⁻¹ ▷ x. Bei endlichem X sind diese Abbildungen Permutationen und liefern den Homomorphismus Θ▷ : G → Sym(X), g ↦ [x ↦ g ▷ x], die Permutationsdarstellung. Bei strukturierten, auch unendlichen Mengen müssen die Abbildungen die jeweilige Struktur bewahren, also Automorphismen sein.

Eine Rechtsaktion x ◁ g erfüllt x ◁ e = x und x ◁ (g*h) = (x ◁ g) ◁ h. Sie lässt sich durch g ▷ x := x ◁ g⁻¹ in eine Linksaktion übersetzen. Ohne diese Umformung führt eine Rechtsaktion bei der Zuordnung zu Selbstabbildungen zu einem Antihomomorphismus.

Bahnen, Transitivität und Stabilisatoren

Die Bahn oder der Orbit eines Punktes x ist G ▷ x := {g ▷ x | g ∈ G}. Die Bahnen partitionieren X und sind die Äquivalenzklassen der Relation x ∼ y genau dann, wenn ein g ∈ G mit g ▷ x = y existiert. Der Bahnenraum ist G\X := {G ▷ x | x ∈ X}. Ein Fundamentalbereich F ⊂ X enthält genau einen Punkt jeder Bahn, also ein Repräsentantensystem. Beispielsweise ist [0,1) × [0,1) ein Fundamentalbereich von ℝ² für die Wirkung von ℤ²: (x,y) = (u+m,v+n) mit (m,n) = (⌊x⌋,⌊y⌋) und (u,v) ∈ [0,1) × [0,1).

Eine Aktion ist transitiv, wenn sich jedes x durch ein Gruppenelement auf jedes y überführen lässt; dann gibt es genau eine Bahn. Sie ist scharf transitiv, wenn dieses Gruppenelement eindeutig ist. k-fache Transitivität bedeutet Transitivität auf den geordneten k-Tupeln paarweise verschiedener Elemente; bei scharfer k-facher Transitivität ist das überführende Element eindeutig. k-fache Homogenität verlangt schwächer nur, dass jede k-elementige Teilmenge auf jede andere abgebildet werden kann, ohne eine Reihenfolge festzulegen.

Der Stabilisator eines Punktes ist G_x = {g ∈ G | g ▷ x = x}. Es gibt die kanonische Bijektion G/G_x → G ▷ x, g*G_x ↦ g ▷ x. Für endliches G gilt deshalb die Bahnformel |G ▷ x| · |G_x| = |G|. Sind x und y in derselben Bahn, so sind G_x und G_y konjugierte Untergruppen. Für endliches X und ein Repräsentantensystem R der Bahnen gilt die Bahnengleichung #X = Σ_{x∈R}(G:G_x).

Invarianz, Primitivität und Treue

Eine Teilmenge Y ist unter einer Untergruppe H invariant, wenn H ▷ Y ⊂ Y; dann gilt bereits H ▷ Y = Y. Die punktweise Fixgruppe einer Teilmenge lautet Fix_G(Y) = {g ∈ G | für alle y ∈ Y: g ▷ y = y}. Sie ist im Allgemeinen kleiner als die größte Untergruppe, die Y als Menge stabilisiert. Für h ∈ G gilt Fix_G(h ▷ Y) = h*Fix_G(Y)*h⁻¹. Die maximale Y stabilisierende Untergruppe ist zugleich der Normalisator von Fix_G(Y): Nor_G(Fix_G(Y)) = Inv_G(Y).

Die Fixpunktmenge einer Untergruppe H ist X^H = {x ∈ X | jedes h ∈ H fixiert x}. Aus H ⊃ H′ folgt X^H ⊂ X^H′. Zwei Teilmengen heißen konjugiert, wenn eine durch ein Gruppenelement auf die andere abgebildet wird. Beschränkt man eine transitive Aktion auf einen Normalteiler N, so sind dessen Bahnen unter G konjugiert; auf ihnen wirkt G/N wohldefiniert.

Eine transitive Aktion heißt primitiv, wenn nur die trivialen, von G permutierten Partitionen existieren: die Zerlegung in Einermengen und X selbst. Sonst heißen die Blöcke einer nichttrivialen Partition Imprimitivitätsgebiete. Für x ∈ X gilt: Die Aktion ist genau dann imprimitiv, wenn eine echte Zwischengruppe G_x ⊊ H ⊊ G existiert. Äquivalent dazu ist die Aussage, dass G_x maximal in G ist, genau dann wenn die Aktion primitiv ist.

Eine Aktion ist frei oder semiregulär, wenn G_x = {e} für alle x ∈ X. Sie ist treu bzw. effektiv, wenn nur e ganz X punktweise fixiert, also ker Θ▷ trivial ist. Jede freie Aktion auf einer nichtleeren Menge ist treu. Ist eine Aktion nicht treu, wirkt G/(ker Θ▷) treu auf X.

Permutationsdarstellungen und Würfelbeispiel

Bei einer treuen Aktion auf endlichem X lässt sich G als Untergruppe von Sym(X) auffassen, also als Permutationsgruppe. Der Grad ist die Anzahl der permutierten Elemente. Zwei Permutationsgruppen auf X₁ und X₂ sind äquivalent, wenn eine Bijektion Φ : X₁ → X₂ die Permutationen durch π ↦ Φ ∘ π ∘ Φ⁻¹ ineinander überführt. Entsprechend sind zwei Darstellungen von G äquivalent, wenn Φ(g ▷₁ x) = g ▷₂ Φ(x) gilt. Isomorphe Gruppen können dennoch inäquivalente Aktionen besitzen.

Beim Würfel permutiert eine Drehung um die Achse durch die Mittelpunkte der Flächen ABCD und EFGH die Raumdiagonalen als AG ↦ BH ↦ CE ↦ DF ↦ AG. Die Spiegelung an der Ebene ABGH fixiert AG und BH und vertauscht CE und DF. Die Punktspiegelung am Mittelpunkt bildet dagegen jede Raumdiagonale auf sich selbst ab. Transpositionen beliebiger Paare der vier Raumdiagonalen entstehen durch geeignete Ebenenspiegelungen und erzeugen alle 4! = 24 Permutationen. Da genau zwei Würfelsymmetrien alle Raumdiagonalen festlassen, Identität und Punktspiegelung, besitzt die Würfelgruppe 24 · 2 = 48 Symmetrieabbildungen.

Die isomorphen Vierergruppen V₁ = {e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} und V₂ = {e,(12),(34),(12)(34)} zeigen den Unterschied: V₁ wirkt auf {1,2,3,4} scharf transitiv, aber imprimitiv; V₂ hat die zwei Bahnen {1,2} und {3,4} und wirkt nicht transitiv. Eine Wirkung auf einer Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums lässt sich linear fortsetzen und wird bezüglich dieser Basis durch Permutationsmatrizen dargestellt.

Aktionen einer Gruppe auf sich selbst

Eine Gruppe wirkt durch Linksmultiplikation auf sich selbst: g ▷ x = gx. Diese Aktion ist treu und liefert den Satz von Cayley: Jede endliche Gruppe der Ordnung n ist isomorph zu einer Untergruppe von Sym_n. Wirkt eine Untergruppe H auf G, so sind ihre Bahnen die Rechtsnebenklassen Hg; die Linksnebenklassen sind gH. Für endliches G folgt aus den gleich großen Nebenklassen der Satz von Euler-Lagrange: |G| = (G:H) · |H|. Eine Untergruppe H ist ein Normalteiler, wenn gH = Hg für alle g ∈ G; dann ist G/H mit (g₁H) ⊛ (g₂H) := (g₁g₂)*H eine Faktorgruppe.

G wirkt transitiv auf den Linksnebenklassen G/H durch γ ▷ (gH) = (γg)H. Der Kern der daraus gewonnenen Darstellung ist ker Θ_H = ⋂_{g∈G} gH*g⁻¹. Ein trivialer Kern ergibt eine treue Permutationsdarstellung vom Grad (G:H), der kleiner als (G:1) sein kann.

Bei der Konjugationsaktion gilt g ▷ h = ghg⁻¹. Ihre Bahnen heißen Konjugationsklassen, der Stabilisator von x heißt Zentralisator Z_G(x), und |G ▷ x| = (G:Z_G(x)). Für eine endliche Operatorgruppe lautet die Klassengleichung (G:1) = Σ_{x∈R}(G:Z_G(x)).

Strukturerhaltende Aktionen

Die Automorphismengruppe Aut(L) eines Körpers L wirkt durch σ ▷ y = σ(y) auf L. Für G ⊂ Aut(L) ist L^G = {y ∈ L | σ(y) = y für alle σ ∈ G} der Fixkörper. Ist L/K algebraisch und G = Aut(L/K), so ist L/K eine Galois-Erweiterung; bei endlichem Grad oder endlicher Gruppe gilt [L:K] = (G:1). Die Bahnen der Galoisgruppe sind genau die über K konjugierten Elemente: Sie haben dasselbe Minimalpolynom über K. Dessen Nullstellen bilden wegen der Normalität der Erweiterung eine Bahn.

Für eine endliche G-invariante Menge Y = {y₁,…,y_n} liegen die Koeffizienten von (X-y₁)···(X-y_n) in K. Das Polynom ist genau dann über K irreduzibel, wenn G transitiv auf Y wirkt. Der Hauptsatz der Galoistheorie ordnet Zwischenkörpern Z die Untergruppen G(L/Z) = Aut(L/Z) und Untergruppen U die Fixkörper L^U zu; diese Abbildungen sind inverse Anti-Isomorphismen der Verbände der Zwischenkörper und Untergruppen.

Ein G-Modul ist eine abelsche Gruppe (M,+), auf der G zusätzlich mit g ▷ (x+y) = (g ▷ x)+(g ▷ y) wirkt. Die Aktion liefert einen Homomorphismus G → Aut(M). Bei einem Vektorraum wirkt insbesondere K{0} durch skalare Multiplikation. Allgemein ist eine strukturverträgliche Gruppenaktion auf einem Objekt X einer Kategorie ein Gruppenhomomorphismus G → Aut X.