Leonhard Euler – einfach erklärt

Bedeutung und Lebensweg

Leonhard Euler (15. April 1707 in Basel; 18. September 1783 nach gregorianischem Kalender in Sankt Petersburg) war ein Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom, Geograph, Logiker und Ingenieur. Er prägte die Mathematik des 18. Jahrhunderts und gilt als einer der produktivsten und einflussreichsten Mathematiker überhaupt. Seine Forschungen reichten von Analysis, Zahlentheorie, Graphentheorie und Topologie bis zu Mechanik, Strömungslehre, Optik, Astronomie, Ballistik und Musiktheorie. Von ihm sind 866 Publikationen bekannt; seine gesammelten Schriften umfassen 76 Bände.

Euler wuchs in Riehen bei Basel auf. 1720 begann er mit 13 Jahren an der Universität Basel zunächst Theologie sowie Griechisch und Hebräisch zu studieren. Johann I Bernoulli erkannte seine mathematische Begabung, unterrichtete ihn und überzeugte seinen Vater, ihn Mathematik und Physik studieren zu lassen. 1726 schloss Euler seine Arbeit De Sono über die Schallausbreitung ab.

1727 ging er an die Kaiserlich Russische Akademie der Wissenschaften in Sankt Petersburg. Dort arbeitete er unter anderem mit Daniel Bernoulli zusammen, wurde 1731 Professor für Physik und übernahm 1733 die Professur für Mathematik. 1734 heiratete er Katharina Gsell; von ihren 13 Kindern überlebten fünf die Kindheit.

1741 wechselte Euler an die Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften in Berlin. Während seiner 25 Berliner Jahre verfasste er mehr als 380 Artikel und bedeutende Lehrwerke, darunter Introductio in analysin infinitorum (1748) und Institutiones calculi differentialis (1755). Nach Konflikten mit Friedrich II. kehrte er 1766 nach Sankt Petersburg zurück.

1771 erblindete Euler vollständig. Mithilfe seines außergewöhnlichen Gedächtnisses, seiner geistigen Rechenfähigkeit, seiner Söhne und seines Sekretärs Nikolaus Fuss arbeitete er dennoch weiter; fast die Hälfte seines Lebenswerks entstand in seiner zweiten Petersburger Zeit. Am 18. September 1783 starb er nach einer Hirnblutung, kurz nachdem er noch über Uranus und dessen Umlaufbahn gesprochen hatte.

Notation, Funktionen und Analysis

Euler schuf oder verbreitete zahlreiche Schreibweisen, die heute selbstverständlich sind. Er schrieb als Erster f(x) für den Wert einer Funktion f beim Argument x. Eine Funktion verstand er als eine Größe, die auf beliebige Weise von einer anderen Größe abhängt oder durch sie bestimmt wird. Außerdem etablierte er e als Basis des natürlichen Logarithmus, i als imaginäre Einheit, Σ für Summen und die heute üblichen Bezeichnungen der trigonometrischen Funktionen. Die Verwendung von π für das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser wurde durch ihn allgemein bekannt, stammte aber ursprünglich von William Jones.

Euler zählt zu den Begründern der Analysis. Er bewies die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion: eˣ = Σ von n = 0 bis ∞ über xⁿ/n! = 1 + x + x²/2 + x³/6 + …

Mit seiner Lösung des Basler Problems zeigte er: Σ von n = 1 bis ∞ über 1/n² = 1 + 1/4 + 1/9 + … = π²/6.

Er erweiterte Exponentialfunktion und Logarithmus auf komplexe Zahlen. Die Eulersche Formel verbindet Exponentialfunktion und Trigonometrie: e^(iφ) = cos(φ) + i sin(φ). Für φ = π entsteht die Eulersche Identität e^(iπ) + 1 = 0.

Euler entwickelte außerdem den Pentagonalzahlensatz und wichtige Methoden für Reihen, Integrale und Differentialgleichungen. Zu seinen Näherungsverfahren gehören das explizite Euler-Verfahren und die Euler-Maclaurin-Formel. Die Euler-Mascheroni-Konstante definierte er durch γ := lim für n → ∞ [Σ von k = 1 bis n über 1/k − log(n)] ≈ 0,57721. Die nach ihm benannte Eulersche Zahl ist e ≈ 2,71828.

Zahlentheorie, Variationsrechnung und neue Strukturen

In der Zahlentheorie verband Euler die Untersuchung ganzer Zahlen und Primzahlen mit Methoden der Analysis. Er bewies, dass die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen divergiert, und fand mit der Euler-Produktformel einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und der Riemannschen Zeta-Funktion. Seine Arbeiten bereiteten damit Entwicklungen vor, die später zum Primzahlsatz führten.

Euler bewies den kleinen fermatschen Satz und Fermats Satz über die Summe zweier Quadrate. Er führte die Phi-Funktion φ(m) ein; sie zählt die zu m teilerfremden ganzen Zahlen a mit 0 < a ≤ m. Mit ihr verallgemeinerte er Fermats kleinen Satz zum Satz von Euler. Der Euklid-Euler-Satz beschreibt den Zusammenhang zwischen geraden vollkommenen Zahlen und Mersenne-Primzahlen. 1772 bewies Euler, dass 2³¹ − 1 = 2.147.483.647 eine Primzahl ist; bis 1867 galt sie als größte bekannte Primzahl.

Als Schöpfer der methodischen Variationsrechnung gilt Euler wegen seines Werkes Methodus inveniendi lineas curvas von 1744. Die Variationsrechnung sucht nicht nur größte oder kleinste Zahlenwerte, sondern ganze Kurven oder Funktionen, für die eine Kenngröße extremal wird. Ein historisches Beispiel ist die Brachistochrone, also die Kurve, auf der ein Körper unter Schwerkraft in kürzester Zeit von einem Punkt zu einem tiefer gelegenen Punkt gelangt. In Eulers Werk erscheint erstmals das grundlegende Instrument, das heute Euler-Lagrange-Gleichung heißt.

Mit dem Königsberger Brückenproblem begründete Euler die Graphentheorie. Die Frage war, ob man jede der sieben Brücken Königsbergs genau einmal überqueren und zum Ausgangspunkt zurückkehren kann. Euler bewies, dass dies unmöglich ist, weil der zugehörige Graph keinen Eulerkreis besitzt. Für konvexe Polyeder beziehungsweise planare Graphen fand er außerdem E − K + F = 2, wobei E die Ecken, K die Kanten und F die Flächen bezeichnet. Die daraus entwickelte Euler-Charakteristik wurde grundlegend für die Topologie.

In der Logik verwendete Euler geschlossene Kurven, um Beziehungen zwischen Begriffsmengen und syllogistische Schlussformen darzustellen. Diese Euler-Diagramme werden weiterhin in Logik und anderen Wissenschaften eingesetzt.

Mechanik, Physik und Anwendungen

Euler machte die Analysis zu einem grundlegenden Werkzeug der Mechanik. In Mechanica (1736) und Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765) beschrieb er Bewegungsgesetze mithilfe von Gleichungen und Differentialgleichungen. Er formulierte Bewegungen systematisch in unabhängigen, rechtwinkligen kartesischen Koordinaten. Seine Einteilung unterschied Punktmechanik, starre Körper, biegsame und elastische Körper, Gase sowie Flüssigkeiten.

1750 stellte Euler das Prinzip „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ im Zusammenhang mit der Rotation starrer Körper dar. 1757 veröffentlichte er die Euler-Gleichungen für die Bewegung idealer, also reibungsfreier Fluide. Er arbeitete außerdem zur Turbinengleichung und Kreiseltheorie. Seine Analyse der Knickung eines unter Druck stehenden Stabes begründete die Stabilitätstheorie; die Euler-Bernoulli-Balkengleichung wurde zu einer Grundlage des Ingenieurwesens.

Die Kontinuumsmechanik behandelt Materie als stetig verteiltes Medium. Euler beschrieb jedes Teilchen durch stetige, differenzierbare Ortsfunktionen und formulierte die Kontinuitätsgleichung ∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0. Sie drückt die Erhaltung der Masse in einem strömenden Medium aus.

In der Astronomie bestimmte Euler Bahnen von Kometen und anderen Himmelskörpern, untersuchte die Mondbewegung und berechnete die Sonnenparallaxe. Auf seinen Formeln beruhten Mondtafeln Tobias Mayers, mit denen sich die geographische Länge eines Schiffes genauer bestimmen ließ. In der Optik unterstützte Euler die Wellentheorie des Lichts und berechnete Linsensysteme zur Verringerung von Farbfehlern. Seine erweiterte deutsche Übersetzung von Benjamin Robins’ New principles of gunnery wurde zu einem wichtigen Lehrbuch der Ballistik.

Euler setzte Mathematik auch bei Bevölkerungswachstum, Renten, Lotterien, Lebenserwartung und Lebensversicherungen ein. In seiner Musiktheorie ordnete er Intervallen und Akkorden einen mathematischen „Grad der Lieblichkeit“ zu: Größere Werte bedeuteten höhere Komplexität und geringere Annehmlichkeit.

Naturphilosophie und wissenschaftliche Methode

Euler war überzeugt, dass Mathematik einen unmittelbaren Bezug zur Wirklichkeit besitzt. Sie sollte Naturerscheinungen präzise beschreiben und spekulative Erklärungen durch überprüfbare Zusammenhänge ersetzen. Zugleich verband er seine mathematische Naturforschung mit metaphysischen und religiösen Grundannahmen.

Nach seinem Kontinuitätsprinzip macht die Natur keine Sprünge. Materie sei unendlich teilbar, besitze überall Ausdehnung und lasse keinen leeren Raum zurück. Infinitesimale Größen wie dx, dt und dm dienten ihm als mathematische Darstellungen unendlich kleiner materieller Teile. Mit dieser Vorstellung begründete er die formale Kontinuumsmechanik.

Als wesentliche Eigenschaften der Materie betrachtete Euler Ausdehnung, Trägheit und Undurchdringlichkeit. Undurchdringlichkeit bedeutet, dass zwei Körper oder selbst kleinste Bestandteile nicht zugleich denselben Ort einnehmen können. In seinen Überlegungen zu Raum und Zeit nahm er einen absoluten Raum an, in dem Lage und Bewegung eines Körpers bestimmt werden können.

Euler vertrat zudem eine teleologische Sicht: Naturvorgänge seien zweckmäßig geordnet und folgten häufig einem Maximum- oder Minimumprinzip, etwa dem Prinzip der kleinsten Aktion. Er beanspruchte dafür nicht eindeutig die Priorität und bezeichnete Pierre de Maupertuis als Urheber; historische Belege stellen Euler teilweise als gleichberechtigten Entdecker dar.

Religiös war Euler ein überzeugter reformierter Christ. Er hielt die Bibel für maßgeblich und verteidigte die göttliche Offenbarung. Die bekannte Geschichte, er habe Denis Diderot mit einer algebraischen Formel einen Gottesbeweis vorgelegt, gilt dagegen als apokryph und ist durch keine zeitgenössische Quelle belegt.

Arbeitsweise, Vermittlung und Nachwirkung

Euler verband außergewöhnliche Produktivität mit einem sehr guten Gedächtnis, starker Konzentrationsfähigkeit und beständiger Arbeit. Seine Schriften waren didaktisch aufgebaut: Er erklärte Probleme ausführlich, entwickelte Begriffe schrittweise und zeigte teilweise auch erfolglose Lösungswege. Seine Bücher gelten deshalb als frühe Lehrbücher im modernen Sinn. Die populärwissenschaftlichen Briefe an eine deutsche Prinzessin vermittelten Physik, Astronomie, Mathematik, Philosophie und Theologie auch einem nicht spezialisierten Publikum.

Aus heutiger Sicht waren Eulers Methoden nicht immer nach den später entwickelten Maßstäben mathematischer Strenge abgesichert. Besonders sein Umgang mit unendlich großen und unendlich kleinen Größen führte zu Kritik. Eine axiomatische Definition der reellen Zahlen und moderne Konvergenz- und Stetigkeitskriterien standen ihm jedoch noch nicht zur Verfügung. Trotz gelegentlicher logischer Lücken gelangte er durch seine Rechenmethoden und sein Gespür sehr häufig zu richtigen Ergebnissen.

Euler führte umfangreiche wissenschaftliche Briefwechsel, besonders mit Christian Goldbach, Daniel und Johann Bernoulli, Alexis Clairaut, Pierre Louis de Maupertuis, Jean d’Alembert und Joseph-Louis Lagrange. Dabei wurden neue Ideen oft schon vor ihrer Veröffentlichung offen diskutiert. Ein längerer Streit betraf die Frage, ob unstetige oder nicht differenzierbare Funktionen Lösungen des Problems der schwingenden Saite sein dürfen; abschließend geklärt wurden die Fragen erst im folgenden Jahrhundert durch Joseph Fourier.

Eulers Arbeiten beeinflussten unter anderem Laplace, Lagrange, Gauß, Jacobi, Abel, Galois, Weierstraß und Riemann. Seine Methoden und Resultate tragen in vielen Gebieten seinen Namen, darunter Eulerkreis, Euler-Charakteristik, Euler-Lagrange-Gleichung, Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik, Euler-Verfahren, Euler-Maclaurin-Formel und Eulersche Phi-Funktion. Die seit 1911 herausgegebenen Opera Omnia sichern sein Werk in den Bereichen Mathematik, Mechanik, Astronomie, Physik und Korrespondenz.