Stammbruch

Begriff und Grundidee

Ein Stammbruch ist ein Bruch mit der Zahl 1 im Zähler und einer beliebigen natürlichen Zahl im Nenner. Stammbrüche sind daher genau die Kehrwerte natürlicher Zahlen. Beispiele sind 1/2 und 1/6. Der Bruch 2/3 ist dagegen kein Stammbruch, weil sein Zähler 2 und nicht 1 ist.

Jeder Bruch der Form a/b mit natürlichen Zahlen a und b kann als Summe von Stammbrüchen dargestellt werden. Ist a > b, kommt zusätzlich ein ganzzahliger Anteil hinzu. Beispielsweise gilt:

2/3 = 1/2 + 1/6.

Die Zerlegung eines Bruchs in eine Summe von Stammbrüchen heißt Stammbruchentwicklung. Ein dafür verwendetes Verfahren arbeitet nach dem Prinzip eines Greedy-Algorithmus: Man zieht zunächst den ganzzahligen Anteil ab und wählt anschließend jeweils den größten Stammbruch, der kleiner oder gleich dem verbleibenden Rest ist.

Verfahren zur Zerlegung

Ausgangspunkt ist ein echter, bereits gekürzter Bruch a/b mit a < b. Das Verfahren geht schrittweise vor:

• Zunächst wird ein neuer Bruch c/d gebildet. Dabei gilt c = a und d = n · a > b, wobei n ∈ ℕ minimal gewählt wird. Der neue Nenner ist also das kleinste Vielfache des alten Zählers, das größer als der alte Nenner ist. Wegen dieser Konstruktion lässt sich c/d immer zum Stammbruch 1/n kürzen.

• Danach wird der ursprüngliche Bruch als Summe aus diesem neuen Bruch und der verbleibenden Differenz geschrieben: a/b = c/d + (a/b − c/d), wobei c/d = 1/n ist.

• Die Differenz wird berechnet. Es gilt: a/b = 1/n + (na − b)/(nb).

• Wenn möglich, wird die Differenz (na − b)/(nb) gekürzt.

• Ist die gekürzte Differenz selbst ein Stammbruch, endet das Verfahren. Andernfalls wird das Verfahren mit dieser Differenz wieder ab dem ersten Schritt durchgeführt.

Auf diese Weise entsteht eine Summe von Stammbrüchen. Bei diesem Verfahren haben die verwendeten Stammbrüche verschiedene Nenner. Das Verfahren endet stets nach endlich vielen Schritten.

Beispiel und Grenzen

Für den Bruch 2/3 wird zunächst der neue Bruch 2/4 gebildet. Da 2/4 zum Stammbruch 1/2 gekürzt werden kann, gilt zunächst:

2/3 = 2/4 + (2/3 − 2/4).

Die Differenz wird berechnet:

2/3 = 2/4 + (2/3 − 2/4) = 1/2 + 2/12.

Nach dem Kürzen ist 2/12 = 1/6. Damit erhält man:

2/3 = 1/2 + 1/6.

Da 1/6 bereits ein Stammbruch ist, wird das Verfahren beendet.

Die Methode liefert jedoch nicht immer die kürzestmögliche Darstellung. Für 59/120 ergibt sie:

59/120 = 1/3 + 1/7 + 1/65 + 1/10920.

Eine kürzere Darstellung ist:

59/120 = 1/5 + 1/6 + 1/8.

Geschichtlicher Zusammenhang und weitere Anwendungen

Die alten Ägypter notierten nur echte Brüche. Da sie – außer für 2/3 und 3/4 – keine eigenen Hieroglyphen für andere Brüche besaßen, mussten sie diese in Summen von Stammbrüchen zerlegen. Dieser Zusammenhang steht mit der ägyptischen Zahlschrift in Verbindung.

Leonardo Fibonacci veröffentlichte den beschriebenen Algorithmus 1202 im Liber abaci. Die allgemeine Gültigkeit des Algorithmus wurde erst 1880 von dem britischen Mathematiker James Joseph Sylvester bewiesen.

Ein ungelöstes mathematisches Problem zur Stammbruchentwicklung ist die Erdős-Straus-Vermutung. Außerdem sind manche statistisch erfassten Größen proportional zu Stammbrüchen verteilt. Dies stellt eine einfache Zipfverteilung dar.