Polstelle

Grundidee und Bedeutung

Eine Polstelle, kurz Pol, ist eine einpunktige Definitionslücke, bei der die Funktionswerte in jeder Umgebung des fehlenden Punktes betragsmäßig beliebig groß werden. Pole gehören zu den isolierten Singularitäten. Anders als bei unregelmäßigem Verhalten streben die Werte in der Nähe eines Pols in einem bestimmten Sinn gleichmäßig gegen unendlich; deshalb sind dort Grenzwertbetrachtungen möglich.

Von Polen spricht man gewöhnlich bei glatten oder analytischen Funktionen. In der Schulmathematik treten sie vor allem bei reellen gebrochen-rationalen Funktionen auf. Bei anderen Funktionen, etwa f(x)=1/cos x, ist häufig die analytische Fortsetzung auf die komplexen Zahlen zweckmäßig.

Die Ordnung eines Pols ist eine natürliche Zahl und entspricht der Vielfachheit einer Nullstelle. Sie beschreibt, wie schnell die Funktionswerte betragsmäßig gegen unendlich streben: Je höher die Ordnung, desto schneller geschieht dies. Jede Polstelle einer rationalen Funktion besitzt eine endliche und eindeutig bestimmte Ordnung. Gelegentlich spricht man auch von einem Pol der Ordnung 0, wenn tatsächlich keine Polstelle vorliegt.

Pole rationaler Funktionen bestimmen

Jede rationale Funktion kann als Quotient zweier vom Nullpolynom verschiedener Polynome geschrieben werden:

f(x)=A(x)/B(x)=(a_m x^m+…+a_1x+a_0)/(b_n x^n+…+b_1x+b_0), mit m,n∈ℕ₀.

Polstellen können nur an Nullstellen des Nennerpolynoms B auftreten. Ist x₀ eine k-fache Nullstelle von B, so lässt sich B(x)=(x−x₀)^k·S(x) schreiben, wobei S(x₀)≠0 gilt. Ob x₀ wirklich ein Pol ist, hängt vom Zähler A ab:

• Gilt A(x₀)≠0, so ist x₀ eine Polstelle der Ordnung k.
• Hat A bei x₀ eine j-fache Nullstelle und gilt j<k, so bleibt nach dem Kürzen ein Pol der Ordnung k−j.
• Gilt j≥k, so ist die Definitionslücke stetig hebbar und kein Pol.

Kürzt man alle gemeinsamen Linearfaktoren aus Zähler und Nenner, erhält man f(x)=P(x)/Q(x), wobei P und Q keinen Linearfaktor gemeinsam haben. Dann ist x₀ genau dann ein Pol k-ter Ordnung, wenn Q dort eine k-fache Nullstelle besitzt. Gleichwertig dazu hat 1/f bei x₀ eine k-fache Nullstelle.

Rationale Funktionen besitzen keine anderen Arten von Singularitäten und nur endlich viele Polstellen, weil Polynome nur endlich viele Nullstellen haben können.

Graph, Vorzeichen und Grenzwerte

Am Pol verschwindet der Funktionsgraph bei Annäherung ins Unendliche; die Gerade x=x₀ ist eine senkrechte Asymptote. Je höher die Ordnung, desto steiler erscheint der Graph.

Bei einem Pol ungerader Ordnung wechselt das Vorzeichen: Der Graph geht auf den beiden Seiten des Pols in unterschiedliche Bildbereiche und strebt auf einer Seite gegen +∞, auf der anderen gegen −∞. Man spricht von einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Bei einem Pol gerader Ordnung haben die Funktionswerte auf beiden Seiten dasselbe Vorzeichen. Der Graph strebt also beidseitig entweder gegen +∞ oder beidseitig gegen −∞. Dies heißt Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Ein zweiseitiger uneigentlicher Grenzwert lim(x→x₀) f(x) existiert nur, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen. Bei gerader Polordnung ist das stets der Fall; der Grenzwert lautet +∞ oder −∞. Bei ungerader Ordnung wäre ein gemeinsamer Grenzwert nur möglich, wenn +∞ und −∞ gleichgesetzt werden. Eine solche Einpunktkompaktifizierung erhält die Kleiner-gleich-Relation der reellen Zahlen nicht, ist aber nach der Einbettung in die ungeordneten komplexen Zahlen sinnvoll.

Typische Beispiele sind f(x)=1/x² mit einem Pol 2. Ordnung bei x=0 und f(x)=1/(x−2)³ mit einem Pol 3. Ordnung bei x=2. Bei f(x)=(x+2)/(x³+x²−x−1)=(x+2)/((x+1)²(x−1)) liegen ein Pol 2. Ordnung bei x=−1 und ein Pol 1. Ordnung bei x=1 vor. Hat der Zähler zusätzlich den Faktor x+1, wird dieser einmal gekürzt: Für f(x)=(x²+3x+2)/(x³+x²−x−1)=(x+2)/((x+1)(x−1)) sind x=−1 und x=1 Pole 1. Ordnung.

Definition für komplexe Funktionen

Seien G⊂ℂ ein Gebiet, D⊂G eine diskrete Teilmenge und f:G∖D→ℂ holomorph, also komplex differenzierbar. An den Punkten von D kann f isolierte Singularitäten besitzen. Für a∈D betrachtet man den Grenzwert

lim(z→a) (z−a)^k·f(z), k∈ℕ₀.

Für k=0 ist f an a holomorph fortsetzbar; die Singularität ist also hebbar. Ist k≥1 die kleinste Zahl, für die der Grenzwert in ℂ existiert, liegt ein Pol der Ordnung k vor. Gibt es kein solches k, besitzt f bei a eine wesentliche Singularität.

Nach dem riemannschen Hebbarkeitssatz genügt es bereits, dass (z−a)^k·f(z) in einer Umgebung von a beschränkt ist. Mithilfe der Laurent-Reihe lässt sich ein Pol ebenfalls erkennen: Der Hauptteil der Reihe auf einer punktierten Kreisscheibe um a muss endlich sein, und der kleinste Index eines nicht verschwindenden Koeffizienten muss −k betragen.

Diese Definition hilft auch bei Grenzen der rein reellen Betrachtung. Während sich etwa die Pole der Tangensfunktion bestimmen lassen, kann man das Verhalten des Logarithmus bei x=0 nicht auf dieselbe Art als Pol einer glatten reellen Funktion erfassen. Allgemein bereiten glatte, aber nicht analytische Funktionen Schwierigkeiten. Funktionentheoretische Methoden unterscheiden hier genauer: Der komplexe Logarithmus hat bei 0 keinen Pol, sondern einen Verzweigungspunkt.

Meromorphe Funktionen und Zählformel

Eine komplexe Funktion heißt meromorph, wenn sie auf einem Gebiet holomorph ist und als Singularitäten höchstens Pole besitzt. Aufgrund des Identitätssatzes ist die Polstellenmenge einer auf ℂ meromorphen Funktion diskret. In jeder kompakten Teilmenge liegen daher höchstens endlich viele Pole. Auf der gesamten Ebene können dennoch unendlich viele Pole auftreten; ihre Existenz wird durch den Satz von Mittag-Leffler erfasst. Aus den Ordnungen der Null- und Polstellen kann ein Divisor gebildet werden.

Auf der erweiterten komplexen Ebene ℂ̄=ℂ∪{∞} bilden meromorphe Funktionen ihre Pole auf ∞ ab. Wird ∞ auch im Definitionsbereich zugelassen, besitzt ein Polynom k-ten Grades dort einen Pol der Ordnung k. Meromorphe Funktionen ℂ→ℂ, die bei ∞ höchstens einen Pol haben, sind auf der riemannschen Zahlenkugel ℂ̄ holomorph. Jede holomorphe Abbildung ℂ̄→ℂ̄ lässt sich global als Quotient zweier Polynome darstellen und ist damit rational.

Für eine auf G⊂ℂ meromorphe Funktion und eine glatte, geschlossene, rektifizierbare Kurve γ⊂G, die keine Null- oder Polstelle berührt und eine Teilmenge H⊂G berandet, gilt der Satz vom Null- und Polstellen zählenden Integral:

(1/(2πi))∫_γ f′(z)/f(z) dz = N_f−P_f.

Dabei zählen N_f und P_f die in H liegenden Null- beziehungsweise Polstellen einschließlich ihrer Vielfachheiten. Für eine auf G=ℂ̄ meromorphe Funktion wird dies im Artikel als N_f=−P_f angegeben.

Beispiele: f(z)=1/(z²+1) hat einfache, also Pole 1. Ordnung, bei z=±i. Der Kehrwert des Sinus 1/sin z besitzt einfache ungerade Pole bei allen ganzzahligen Vielfachen von π, denn lim(z→nπ) (z−nπ)/sin z=±1. tan z hat ungerade Pole bei z=(k+1/2)·π für k∈ℤ. Pol-Nullstellen-Diagramme können außerdem mehrere Informationen über ein untersuchtes Signal darstellen.