Transformationssatz

Bedeutung und Grundidee

Der Transformationssatz, auch Transformationsformel genannt, beschreibt in der Analysis, wie sich mehrdimensionale Integrale bei einem Wechsel des Koordinatensystems verändern. Er verallgemeinert damit die Integration durch Substitution auf Funktionen mehrerer Variablen.

Der Satz ist besonders nützlich, wenn ein Integral in neuen Koordinaten leichter berechnet werden kann. Beim Koordinatenwechsel muss berücksichtigt werden, wie die Transformation Flächen- oder Volumenelemente vergrößert oder verkleinert. Dies geschieht durch den Betrag der Funktionaldeterminante.

Transformationsformel

Sei Ω ⊆ ℝ^d eine offene Menge und Φ: Ω → Φ(Ω) ⊆ ℝ^d ein Diffeomorphismus, also eine differenzierbare, umkehrbare Abbildung mit differenzierbarer Umkehrabbildung. Dann ist eine Funktion f auf Φ(Ω) genau dann integrierbar, wenn die Funktion

x ↦ f(Φ(x)) · |det(DΦ(x))|

auf Ω integrierbar ist. In diesem Fall gilt:

∫_{Φ(Ω)} f(y) dy = ∫_Ω f(Φ(x)) · |det(DΦ(x))| dx.

DΦ(x) ist die Jacobi-Matrix der Transformation Φ. Sie enthält die partiellen Ableitungen ihrer Komponenten. Ihre Determinante det(DΦ(x)) heißt Funktionaldeterminante. Deren Betrag beschreibt den lokalen Faktor, um den Φ ein d-dimensionales Volumenelement verändert. Der Betrag ist nötig, damit der Faktor unabhängig von einer möglichen Umkehrung der Orientierung nicht negativ wird.

Volumen und affine Abbildungen

Für die konstante Funktion f = 1 ist das Integral über Φ(Ω) gleich dem Volumen beziehungsweise dem d-dimensionalen Lebesgue-Maß der Bildmenge. Daher folgt:

vol(Φ(Ω)) = ∫_Ω |det(DΦ(x))| dx.

Ist Φ linear oder affin, also Φ(x) = Ax + b mit einer d × d-Matrix A und einem Vektor b ∈ ℝ^d, dann ist DΦ(x) = A konstant. Somit gilt:

vol(Φ(Ω)) = |det(A)| · vol(Ω).

Der Betrag der Determinante von A ist damit der Faktor, um den eine lineare oder affine Abbildung das Volumen verändert. Die Verschiebung durch b hat keinen Einfluss auf das Volumen.

Gauß-Integral in Polarkoordinaten

Als Anwendung wird gezeigt, dass das Integral über die Gauß-Glocke

1/(σ√(2π)) · e^{−(1/2)((x−μ)/σ)^2}

gleich 1 ist. Dazu genügt der Nachweis

(∫{−∞}^{∞} e^{−x²} dx)² = ∫{−∞}^{∞}∫_{−∞}^{∞} e^{−x²−y²} dx dy = π.

Die Funktion f(x,y) = e^{−x²−y²} = e^{−r²} ist rotationssymmetrisch. Deshalb wird das zweidimensionale Integral von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten umgewandelt. Man setzt

Ω = ℝ_{>0} × (0,2π)

und verwendet die Transformation

Φ(r,φ) = (r cos φ, r sin φ).

Ihre Funktionaldeterminante ist

det DΦ(r,φ) = | cos φ −r sin φ; sin φ r cos φ | = r(cos²φ + sin²φ) = r.

Das Komplement von Φ(Ω) in ℝ² ist eine Nullmenge und beeinflusst den Wert des Integrals nicht. Der Transformationssatz liefert daher

∫{−∞}^{∞}∫{−∞}^{∞} e^{−x²−y²} dx dy = ∫_0^{2π}∫_0^{∞} r e^{−r²} dr dφ = ∫_0^{2π} 1/2 dφ = π.

Das innere Integral kann mit der Substitution t = r² ausgewertet werden. Daraus folgt für das ursprüngliche eindimensionale Integral der zur Normierung der Gauß-Glocke benötigte Wert.