Differential (Mathematik)

Grundidee und Definition

Ein Differential beschreibt in der Analysis den linearisierten, also durch eine Gerade angenäherten Anteil des Zuwachses einer Funktion. Für eine differenzierbare Funktion y = f(x) gilt der grundlegende Zusammenhang

dy = f′(x) dx.

Dabei ist f′(x) die Ableitung an der Stelle x, dx der betrachtete Argumentzuwachs und dy der daraus berechnete lineare Anteil des Funktionszuwachses. Statt dy schreibt man auch df(x) oder dfₓ. In Integral- und Ableitungsschreibweisen wie ∫ₐᵇ f(x) dx und df/dx wird das Differential in der elementaren Analysis heute häufig nur als Bestandteil der Notation behandelt.

Ändert sich x um Δx, so beträgt der tatsächliche Funktionszuwachs

Δy = f(x + Δx) − f(x).

Ist f bei x differenzierbar, gilt

f′(x) = lim(h→0) [f(x+h)−f(x)]/h

und der Zuwachs lässt sich zerlegen:

Δy = f′(x)·Δx + φ(Δx)·Δx,

wobei lim(h→0) φ(h) = 0 ist. Der erste Summand ist linear in Δx und heißt Differential. Für kleine Δx ist er im Allgemeinen eine gute Näherung für Δy. Bei einer affinen Funktion f(x) = mx+b ist diese Näherung exakt: Δy = m·Δx.

Formal sei f: D → ℝ bei x ∈ D differenzierbar. Für h ∈ ℝ ist das Differential definiert durch

df(x)(h) := f′(x)·h.

Bei festem x ist df(x) somit eine lineare Abbildung, die jedem h den Wert f′(x)h zuordnet. Für die identische Funktion id(x)=x gilt wegen id′(x)=1: dx(h)=h. In moderner Sprache bildet df(x) einen Tangentialvektor h aus Tₓℝ ≃ ℝ auf f′(x)h ab. Differentiale sind daher keine notwendigen „unendlich kleinen Zahlen“. Ein anderer strenger Zugang, die Nichtstandardanalysis, präzisiert allerdings den historischen Begriff der Infinitesimalzahl.

Höhere Differentiale und Rechenregeln

Ist f an der Stelle x n-mal differenzierbar und dx=h, so heißt

dⁿy := dⁿf(x) := f⁽ⁿ⁾(x) dxⁿ

das Differential n-ter Ordnung. Dabei ist f⁽ⁿ⁾(x) die n-te Ableitung und dxⁿ die n-te Potenz von dx. Insbesondere gelten d²y=h²f″(x), d³y=h³f‴(x) und allgemein dⁿy=hⁿf⁽ⁿ⁾(x). Für n>1 ist die Zuordnung h ↦ f⁽ⁿ⁾(x)hⁿ im Allgemeinen nicht linear.

Die Rechenregeln folgen aus dy=(dy/dx)dx und den üblichen Ableitungsregeln:

• Konstante und Faktor: d(c)=0 und d(cy)=c dy.

• Addition und Subtraktion: d(u+v)=du+dv und d(u−v)=du−dv.

• Produktregel: d(uv)=v du+u dv. Falls die Quotienten definiert sind, kann dies auch als d(uv)=(uv)(du/u+dv/v) geschrieben werden.

• Quotientenregel: d(u/v)=(v du−u dv)/v². Entsprechend gilt, wo definiert, d(u/v)=(u/v)(du/u−dv/v).

• Kettenregel: Hängt z von y und y von x ab, dann gilt dz=(dz/dy)dy und dy=(dy/dx)dx, also

dz = (dz/dy)·(dy/dx) dx.

Beispielsweise sind für u=x² und v=sin(x) die Differentiale du=2x dx und dv=cos(x) dx. Daher folgt mit der Produktregel

d(x²sin(x)) = x²cos(x) dx + 2x sin(x) dx.

Für y=1+x² und z=√y gilt dy=2x dx und dz=dy/(2√y). Somit ist

d(√(1+x²)) = x/√(1+x²) dx.

Mehrere Variablen und Differentialformen

Für eine differenzierbare Funktion f(x₁,…,xₙ) heißt

df = Σᵢ₌₁ⁿ (∂f/∂xᵢ) dxᵢ

das totale oder vollständige Differential. Die partielle Ableitung ∂f/∂xᵢ beschreibt dabei die Änderung bezüglich einer einzelnen Variablen, während die übrigen Variablen festgehalten werden. Auch das totale Differential ist der lineare Anteil des Zuwachses. Für einen Vektorzuwachs Δx gilt

Δy = grad f(x)·Δx + r(Δx),

wobei grad f(x) der Gradient, also der Vektor aller partiellen Ableitungen, ist und

lim(Δx→0) r(Δx)/‖Δx‖ = 0

gilt.

Eine strenge moderne Deutung liefert die Differentialgeometrie. Auf einer offenen Menge U⊂ℝⁿ ist eine 1-Form oder Pfaffsche Form ω eine Zuordnung, die jedem Punkt p eine Linearform ωₚ: TₚU→ℝ zuweist. Solche Linearformen heißen Kotangentialvektoren. Das Differential df einer differenzierbaren Funktion f: U→ℝ ist eine exakte 1-Form. Für einen Tangentialvektor X gilt

(df)ₚ(X)=Xf.

Dies ist die Richtungsableitung von f in Richtung X. Ist γ ein Weg mit γ(0)=p und γ̇(0)=X, dann gilt

(df)ₚ(X) = (d/dt)|ₜ₌₀ f(γ(t)).

Mit dem Standard-Skalarprodukt lässt sich dies als (df)ₚ(X)=⟨grad f,X⟩ schreiben.

Neben d werden weitere Zeichen verwendet: ∂ bezeichnet ein partielles Differential. δ kann eine virtuelle Verschiebung oder ein inexaktes Differential kennzeichnen. Eine virtuelle Verschiebung δxᵢ ist eine gedachte infinitesimale Verschiebung eines Teilchens, die mit den Zwangsbedingungen verträglich ist; eine Zeitänderung wird dabei nicht berücksichtigt. Aus dg=Σᵢ(∂g/∂qᵢ)dqᵢ+(∂g/∂t)dt wird deshalb δg=Σᵢ(∂g/∂qᵢ)δqᵢ. Holonome Zwangsbedingungen können durch eine passende Auswahl von n=3N−s generalisierten Koordinaten qₖ berücksichtigt werden.

Differentiale in Integralen

Beim bestimmten Integral ∫ₐᵇ f(x) dx kann dx anschaulich als Breite eines schmalen Teilintervalls verstanden werden. Das Produkt f(x) dx entspricht dann dem Flächeninhalt eines schmalen Rechtecks. Durch immer feinere Unterteilungen und einen Grenzübergang entsteht der Flächeninhalt unter dem Graphen zwischen x=a und x=b. Die Unterteilung muss nicht gleichmäßig sein. Ober- und Untersummen verwenden innerhalb der Teilintervalle entsprechende Maximal- beziehungsweise Minimalwerte.

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es für eine stetige Funktion ein ξ∈[a,b] mit

∫ₐᵇ f(x) dx = f(ξ)·∫ₐᵇ dx.

Formal sei f integrierbar und F eine Stammfunktion mit dF=f(x)dx. Das Differential dF ist eine 1-Form, die über das Intervall [a,b] integriert werden kann; das Ergebnis ist das Lebesgue-Integral ∫ₐᵇf(x)dx.

In mehrdimensionalen Integralen treten besondere Differentiale auf: das Linienelement beim Kurvenintegral, das skalare oder vektorielle Oberflächenelement beim Oberflächenintegral und das Volumenelement beim Volumenintegral. Ihre Darstellung hängt vom verwendeten Koordinatensystem ab.

Differentiale als Rechenhilfe

In praktischen Rechnungen werden Differentiale häufig wie algebraische Variablen behandelt. Streng genommen ist dieses formale Rechnen nicht immer zulässig, kann aber Rechnungen vereinfachen und als Vorlage für exakte Beweise dienen.

Bei der Substitution im Integral

∫ x sin(x²+1) dx

setzt man t=x²+1. Aus dt/dx=2x folgt dt=2x dx. Damit erhält man

∫ x sin(x²+1) dx = 1/2 ∫ sin(t) dt = −1/2 cos(x²+1)+C,

wobei C∈ℝ ist.

Auch bei der Separation der Variablen wird diese Schreibweise eingesetzt. Für f′(x)=−k f(x) und f(0)=C₀ setzt man y=f(x) und schreibt

(1/y)dy = −k dx.

Nach der Integration folgt ln(y)=−kx+C und schließlich

f(x)=C₀ exp(−kx).

Ein geometrisches Beispiel ist der Kreis mit Radius r. Seine Parametrisierung lautet (x,y)=(r cos t,r sin t) für t∈[0,2π]. Daraus folgt d⃗r=(−r sin t,r cos t)dt und für das Linienelement ds=r dt. Der Umfang ist daher

U=∫₀²π r dt=2rπ.

Für einen geraden oder schiefen Kegel mit Radius r und Höhe h ergibt ein Schnitt im Abstand x von der Spitze nach dem Strahlensatz rₛ/x=r/h. Das Volumenelement ist

dV=rₛ²π dx=(r²/h²)x²π dx.

Die Integration liefert

V=∫₀ʰ (r²/h²)x²π dx = (1/3)r²πh.

Anwendungsgrenzen und Entwicklung

In der stochastischen Analysis dient die Differentialschreibweise als Kurzform für Gleichungen von Itō-Integralen. Ist Hₜ bezüglich eines Wiener-Prozesses Wₜ Itō-integrierbar und

Xₜ=X₀+∫₀ᵗ Hₛ dWₛ,

so schreibt man kurz dXₜ=HₜdWₜ. Bei stochastischen Prozessen mit nichtverschwindender quadratischer Variation gelten die gewöhnlichen Differentialregeln jedoch nicht unverändert; sie müssen gemäß der Itō-Formel angepasst werden.

Historisch stand der Differentialbegriff im 17. und 18. Jahrhundert im Mittelpunkt der Infinitesimalrechnung. Gottfried Wilhelm Leibniz verwendete das Integralzeichen erstmals 1675 in einem Manuskript; am 11. November 1675 traten bei ihm sowohl ∫f(x)dx als auch dx auf. In seiner Veröffentlichung „Nova methodus“ von 1684 stellte er Rechenregeln und die Kettenregel dar. Die moderne, auf Bernhard Riemann zurückgehende Integralauffassung beschreibt das Integral dagegen als Grenzwert von Rechteckflächen bei immer feineren Unterteilungen.

Seit dem 19. Jahrhundert wurde die Analysis durch Augustin Louis Cauchy und Karl Weierstraß auf Grundlage des Grenzwertbegriffs streng aufgebaut. Cauchy betrachtete Differentiale als endliche Größen und setzte dx=h mit konstantem, aber nicht näher bestimmtem h. Die veränderliche Größe Δx war bei ihm unendlich klein; mit Δx=αh und infinitesimalem α bestimmte er das Verhältnis durch

dy/dx = lim(α→0) Δy/Δx.

Damit konnte er auch höhere Differentiale bilden: dy=y′h, d²y=y″h² und d³y=y‴h³. Über die historische und logische Einordnung von Cauchys Umgang mit unendlich kleinen Größen gab es unterschiedliche Bewertungen; insbesondere blieben Fragen zu ihrer Behandlung umstritten. Heute liefern Grenzwerte, lineare Abbildungen und Differentialformen die üblichen strengen Grundlagen.