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Höhensatz
Der Höhensatz des Euklid, benannt nach Euklid von Alexandria, ist eine Aussage der Elementargeometrie, die in einem rechtwinkligen Dreieck eine Beziehung …
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Kernaussage des Höhensatzes
Der Höhensatz des Euklid gehört zusammen mit dem Satz des Pythagoras und dem Kathetensatz zur Satzgruppe des Pythagoras. Er beschreibt eine Beziehung in einem rechtwinkligen Dreieck: Die Höhe h auf die Hypotenuse teilt diese in die Abschnitte p und q.
Die Höhe ist das geometrische Mittel der beiden Hypotenusenabschnitte. Daher gilt
h = √(pq)
oder gleichwertig als Flächenbeziehung
h² = pq.
Das bedeutet: Die Fläche des Quadrats mit Seitenlänge h ist genauso groß wie die Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen p und q.
Umkehrung und Einordnung
Auch die Umkehrung gilt: Wenn in einem beliebigen Dreieck für die Höhe h und die durch sie erzeugten Abschnitte p und q die Beziehung h² = pq erfüllt ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig.
Der Höhensatz kann außerdem als Spezialfall des Sehnensatzes verstanden werden. Dabei entspricht die erste Sehne dem Durchmesser eines Kreises, während die zweite Sehne senkrecht auf diesem Durchmesser steht. Nach dem Satz des Thales bilden die entstehenden Sehnenabschnitte zusammen mit dem Durchmesser ein rechtwinkliges Dreieck. Wegen der Symmetrie des Kreises sind die beiden Abschnitte der zweiten Sehne gleich lang. Der Sehnensatz führt dann zu h² = pq.
Geometrische Anwendungen
Mit dem Höhensatz lässt sich ein Rechteck mit Zirkel und Lineal in ein flächengleiches Quadrat umwandeln. Für ein Rechteck mit Seitenlängen p und q verlängert man an einem Eckpunkt D die Seite q um p. Dadurch entsteht eine Strecke AB der Länge p + q. Über AB als Durchmesser zeichnet man einen Halbkreis und errichtet in D eine Senkrechte auf AB. Ihr Schnittpunkt C mit dem Halbkreis liefert ein rechtwinkliges Dreieck. Die Höhe h = |DC| erfüllt h² = pq; deshalb ist das Quadrat mit Seitenlänge h flächengleich zum Ausgangsrechteck.
Eine weitere Anwendung ist ein geometrischer Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel für zwei Zahlen p und q. Bei einem Halbkreis mit Durchmesser p + q ist die Höhe das geometrische Mittel √(pq), während der Radius dem arithmetischen Mittel (p + q)/2 entspricht. Da die Höhe höchstens so groß wie der Radius ist, folgt die Ungleichung.
Beweise des Satzes
Über ähnliche Dreiecke: Die Dreiecke ADC und BCD sind ähnlich, da beide mit dem Dreieck ABC in zwei Winkeln übereinstimmen. Aus den Seitenverhältnissen folgt für h, p, q > 0:
h/p = q/h ⇔ h² = pq ⇔ h = √(pq).
Für die Umkehrung ergibt sich aus h² = pq wieder h/p = q/h. Die beiden entstehenden Dreiecke sind dadurch ähnlich. Mit der Winkelsumme folgt für den Winkel bei C:
∠ACB = ∠ACD + ∠DCB = ∠ACD + (90° − ∠ACD) = 90°.
Über Zerlegungen: Schneidet man das rechtwinklige Dreieck entlang der Höhe h, können die beiden Teildreiecke auf zwei Arten zu einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten p + h und q + h zusammengesetzt werden. In einer Anordnung fehlt ein Stück mit der Fläche h², in der anderen eines mit der Fläche pq. Da beide fehlenden Stücke die gleichen Teildreiecke zum selben Dreieck ergänzen, sind sie flächengleich und es gilt h² = pq.
Mit dem Satz des Pythagoras erhält man in den drei rechtwinkligen Dreiecken:
h² = b² − p² und h² = a² − q².
Daraus folgt mit der ersten binomischen Formel:
2h² = a² + b² − p² − q² = c² − p² − q² = (p + q)² − p² − q² = 2pq.
Division durch zwei liefert den Höhensatz. Außerdem kann das Höhenquadrat durch drei Scherungen in ein flächengleiches Rechteck mit den Seitenlängen p und q überführt werden.
Historischer Bezug
Der Höhensatz wird traditionell dem griechischen Mathematiker Euklid zugeschrieben. Er beschreibt ihn in den Elementen als Korollar zu Proposition 8 in Buch VI. In Proposition 14 in Buch II findet sich außerdem eine im Wesentlichen entsprechende Methode zur Quadratur eines Rechtecks. Euklid begründet deren Korrektheit dort jedoch auf etwas kompliziertere Weise und verwendet den Höhensatz nicht als Beweismittel.
