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Quadratur des Rechtecks
Die Quadratur des Rechtecks ist eine klassische Aufgabe der Geometrie. Mit Lineal und Zirkel soll aus einem gegebenen Rechteck ein Quadrat mit gleich großer …
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Aufgabe und mathematische Grundlage
Die Quadratur des Rechtecks ist eine klassische geometrische Konstruktionsaufgabe: Aus einem gegebenen Rechteck soll allein mit Lineal und Zirkel ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt entstehen. Anders als die mit diesen Mitteln nicht lösbare Quadratur des Kreises ist sie auf mehreren Wegen möglich.
Die Konstruktionen beruhen vor allem auf Sätzen über rechtwinklige Dreiecke. Dabei sind a und b die Katheten, also die Seiten am rechten Winkel, c ist die Hypotenuse, h die Höhe auf c und p sowie q sind die beiden Abschnitte der Hypotenuse. Es gelten:
• Höhensatz von Euklid: h² = p · q
• Kathetensatz von Euklid: a² = c · p und b² = c · q
Für ein Rechteck mit den Seitenlängen p und q beträgt der Flächeninhalt p · q. Deshalb muss die Seite des flächengleichen Quadrats die Länge √(p · q) besitzen. Diese Länge ist das geometrische Mittel von p und q.
Konstruktion mit dem Höhensatz
Die beiden Seiten des gegebenen Rechtecks werden als Hypotenusenabschnitte p und q eines rechtwinkligen Dreiecks aufgefasst. Dazu wird die kürzere Rechteckseite um 90° geschwenkt, sodass zusammen mit der anderen Seite die Basis des Dreiecks entsteht. Über dieser Basis zeichnet man einen Thaleskreis, also einen Kreis, dessen Durchmesser die Basis ist.
Die Verlängerung der kürzeren Rechteckseite trifft den Thaleskreis. Die dadurch bestimmte Strecke ist die Höhe h des rechtwinkligen Dreiecks. Nach dem Höhensatz gilt h² = p · q. Ein Quadrat über h hat daher denselben Flächeninhalt wie das ursprüngliche Rechteck. Die Konstruktion funktioniert unabhängig von den Proportionen des Rechtecks.
Konstruktion mit dem Kathetensatz
Bei dieser Methode wird die längere Rechteckseite als gesamte Hypotenuse c eines rechtwinkligen Dreiecks verwendet. Die kürzere Seite wird um 90° nach innen gedreht. Sie bildet dadurch den Hypotenusenabschnitt q und legt zugleich den Fußpunkt der Höhe h fest.
Über c wird ein Thaleskreis gezeichnet. Die durch den Höhenfußpunkt verlaufende Höhe schneidet den Kreis und bestimmt den dritten Eckpunkt des rechtwinkligen Dreiecks. So erhält man die Kathete b. Nach dem Kathetensatz gilt b² = c · q. Da c und q den Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks entsprechen, besitzt das über b errichtete Quadrat genau dessen Flächeninhalt.
Konstruktion mit dem Sehnensatz
Für ein Rechteck mit Länge p und Breite q werden zunächst die Endpunkte einer langen Seite mit A und B bezeichnet. Die Strecke AB wird mithilfe eines Viertelkreises um q bis C verlängert, sodass AC aus den Abschnitten p und q besteht. Anschließend zeichnet man die Mittelsenkrechte von AC und wählt auf ihr einen Punkt M. Ein Kreis um M mit dem Radius |MA| enthält AC als Sehne.
Durch B wird ein Kreisdurchmesser gezogen, dessen Endpunkte E und F sind. Damit entstehen zwei sich in B kreuzende Sehnen: AC wird in die Abschnitte p und q, EF in die Abschnitte b und c geteilt. Eine in B errichtete Senkrechte zu EB trifft die Kreislinie in G. Die Strecke BG ist die gesuchte Quadratseite a.
Nach dem Sehnensatz gilt AB · BC = EB · BF beziehungsweise p · q = b · c. Weil EF durch den Kreismittelpunkt verläuft, lässt sich zugleich der Zusammenhang mit dem Höhensatz erkennen: Im rechtwinkligen Dreieck EFG ist BG die Höhe h = a. Daraus folgt a² = p · q und damit a = √(p · q). Das Quadrat über BG ist somit flächengleich zum gegebenen Rechteck. Zusätzlich eingezeichnete gestrichelte Linien und das Rechteck mit der Fläche b · c dienen nur der Veranschaulichung und sind für die Konstruktion nicht erforderlich.
Konstruktion mit dem Sekanten-Tangenten-Satz
Im gegebenen Rechteck seien p die Länge und q die Breite. Die Länge p wird als Strecke PR markiert; innerhalb von PR wird die Strecke QR mit der Länge q festgelegt. M₁ ist der Mittelpunkt von PQ. Danach zeichnet man den Kreis k₁ mit dem Durchmesser PQ und den Kreis k₂ mit dem Durchmesser M₁R. Ein Schnittpunkt beider Kreise wird T genannt.
Nach dem Satz von Thales ist der Winkel M₁TR ein rechter Winkel. Deshalb ist RT eine Tangente an den Kreis k₁. Der Sekanten-Tangenten-Satz liefert (RT)² = p · q. Somit ist RT die Seitenlänge eines Quadrats, dessen Flächeninhalt genauso groß ist wie der des ursprünglichen Rechtecks.